2018-2019学年陕西省榆林市第二中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（Word版） 9页

榆林市第二中学2018--2019学年第二学期 第二次月考 高二年级数学（理科）试题 命题人： 时间：120 分钟 满分：150 分 第一卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分) 1．已知 为虚数单位，复数 ，则复数 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象 限 2．一个物体的位移 (米)和与时间 (秒)的关系为 ，则该物体在 4 秒末的瞬时速度是（ ） A．12 米/秒 B．8 米/秒 C．6 米/秒 D．8 米/秒 3．给出下列四个命题：（1）若 ，则 ；（2） 虚部是 ；（3） 若 ；(4）若 ，且 ，则 为实数；其中正确命题 的个数为（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4．在复平面内复数 （ 是虚数单位， 是实数）表示的点在第四象 限，则 的取值范围是（ ） A. < B. C. < < 2 D. < 2 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ） A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； B．猜想数列 的通项公式为 ； C．半径为 圆的面积 ，则单位圆的面积 ； D．由平面直角坐标系中圆的方程为 ，推测空间直角坐 b b 1 2 − b 1 2 − 1 2 − b b i 1 2 1 iz i += − − z s t 24 2s t t= − + z C∈ 2 0z ≥ 2i 1- 2i , i ia b a b> + > +则 1 2,z z 1 2z z> 1 2,z z (1 i)(2 i)b+ + i b > 1 1 1, , ,1 2 2 3 3 4 ⋅⋅⋅× × × 1 ( 1)na n n = + ( )n N+∈ r 2S rπ= S π= 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 标系中球的方程为 ． 6．已知 ,则 A．- 4 B．0 C． D． 7．若函数 在点 处的切线与 垂直,则 等 于( ) A．2 B．0 C． D． 8． 的值为（ ） A．0 B． C．2 D．4 9．设 是一个多项式函数,在 上下列说法正确的是（ ） A． 的极值点一定是最值点 B． 的最值点一定是极值点 C． 在 上可能没有极值点 D． 在 上可能没有最值点 10．函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图像如图所示， 则函数 在 内有极小值点（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．已知 且 ,计算 ,猜想 等于 （ ） A． B． C． D． 12．给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f′(x)存在，且导函数 f′(x)在 D 上 也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数，记 f″(x)＝(f′(x))′，若 f″(x)<0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π 2)上不是凸 函数的是(　　) A．f(x)＝sinx＋cosx B. f(x)＝lnx－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D. f(x)＝－xe－x 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 2( ) 2 (1)f x x x f ′= + ⋅ 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − = ( )=)0('f 2- 3- ( ) lnf x x ax= − ( )1,P b 3 2 0x y+ − = 2a b+ 1- 2- ( )2 2 sin cos dx x x π π− +∫ 4 π ( )f x [ ],a b ( )f x ( )f x ( )f x [ ],a b ( )f x [ ],a b ( )f x ( ),a b ( )f x′ ( ),a b ( )f x ( ),a b 1 11, n na a a+= > ( ) ( )2 1 12 1 0n n n na a a a+ +− − + + = 2 3,a a na n 2n 3n 3n n+ − 13.已知 是虚数单位,若 ,则 ________. 14．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1 在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极 小值，则实数 a 的取值范围是________________． 15．甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、 吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞， 乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽 车的品牌分别是________________． 16．如图为函数 f(x)的图像，f′(x)为函数 f(x)的导函数，则不等式 x·f′(x)<0 的 解集为________． 第二卷 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．） 17.（满分 10 分）求抛物线 与直线 所围成的图形的面积。 18.(满分 12 分) 已知曲线 y＝x3，求： (1) 曲线在点 P(1,1)处的切线方程； (2) 过点 P(1,0)的曲线的切线方程． 19.（满分 12 分）用数学归纳法证明 ，6 )12)(1(321 2222 ++=++++ nnnn i ( )1 2z i i− = z = 2 1y x= − 2, 0x y= = 20．（满分 12 分） 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方 的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入， 在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润 （元）与年产量 （吨）满足函 数关系 ．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 元（以下称 为赔付价格）． （1）将乙方的年利润 （元）表示为年产量 （吨）的函数，并求出乙方 获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 （元），在乙方 按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大 净收入，应向乙方要求的赔付价格 是多少？ 21．（满分 12 分） 设函数 f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)的极小值大于 0，求 k 的取值范围． )( •∈ Nn x t 2000x t= s s w t 20.002y t= s 22．（满分 12 分）已知函数 （ 为实数）． （1）若 ，求证：函数 在 上是增函数； （2）求函数 在 上的最小值及相应的 值. 2( ) lnf x a x x= + a 2a =- ( )f x ),1( +∞ ( )f x [1,e] x 高二年级月考数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A A C A D C C A B D 二、填空题 13． 14． (－∞，0)∪(9，＋∞) 15.吉利，奇瑞 16．　(－3，－1)∪(0,1) 三、解答题 17.解 由 ，得抛物线与轴的交点坐标是 和 ，所求图形分成两块， 分别用定积分表示面积 ， . 故面积 = = = . 18.解：y′＝3x2. (1)当 x＝1 时，y′＝3，即在点 P(1,1)处的切线的斜率为 3， ∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0. (2)设切点坐标为(x0， y0)，则过点 P 的切线的斜率为 ， 由直线的点斜式，得切线方程 y－ ＝ (x－x0)， ∵P(1,0)在切线上，∴ －2 ＝0. 解之得 x0＝0 或 x0＝ . 当 x0＝0 时，切线方程为 y＝0. 当 x0＝ 时，切线方程为 27x－4y－27＝0. 2 2 1 0x − = ( 1,0)− (1,0) 1 2 1 1 | 1|dS x x− = −∫ 2 2 2 1 ( 1)dS x x= −∫ 1 22 2 1 2 1 1 | 1|d ( 1)dS S S x x x x− = + = − + −∫ ∫ 1 22 2 1 1 (1 )d ( 1)dx x x x− − + −∫ ∫ 3 3 1 2 1 1( ) ( )3 3 x xx x−− + − 1 1 8 1 81 1 2 ( 1)3 3 3 3 3 − + − + − − − = 2 03x 3 0x 2 03x 2 03x 3 0x 19、证明： 20 解：（1）因为赔付价值为 元/吨，所以乙方的实际年利润为： . 因为 所以当 取得最大 值． 所以乙方取得最大年利润的年产量 吨. （2）设甲方净收入为 元，则 . 将 代入上式，得到甲方净收入 与赔付价格之间的函数关系式： 又 令 ，得 . 当 时， ；当 时， ． 所以 时， 取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格 （元/吨）时，获最大净收入． )0(2000 ≥−= tsttw ,1000)1000(2000 2 2 sstssttw +−−=−= wst ,)1000( 2时= 2)1000( st = 2002.0 tstv −= 2)1000( st = 4 32 100021000 ssv ×−= 0=′v s v v 5 32 5 3 2 2 ' )8000(1000100081000 s s ssv −=×+−= 20s = 20s < 0' >v 20s> 0' 0 时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－2 k)． ∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2 k ，＋∞)， 单调减区间为(0，2 k)． (2)当 k＝0 时，函数 f(x)不存在极小值． 当 k>0 时，由(1)知 f(x)的极小值为 f(2 k)＝8 k2 －12 k2 ＋1>0，即 k2>4， 又 k>0，∴k 的取值范围为(2，＋∞)． 22．解：（1）当 时， ， 时， . 故函数 在 上是增函数． （2） 当 ， . 若 ， 在 上非负（仅当 ， 时， ）， 故函数 在 上是增函数. 此时， ． 若 ， 当 时， ． 当 时， ，此时， 是减函数． 2−=a xxxf ln2)( 2 −= ),1( +∞∈x 0)1)(1(2)1(222)( 2 ' >+−=−=+−= x xx x xxxxf ( )f x ),1( +∞∈x x axxf += 2 ' 2)( ],1[ ex∈ ]2,2[2 22 eaaax ++∈+ 2a -≥ )(' xf [1,e] 2a =- 1x = 0)(' =xf ( )f x [1,e] min[ ( )] (1) 1f x f= = 22e 2a- < <- 2 ax = - 0)(' =xf 1 2 ax -≤ ≤ 0)(' xf ( )f x min[ ( )] ( ) ln( )2 2 2 2 a a a af x f= - = - - 22ea -≤ )(' xf [1,e] 22ea =- ex = 0)(' =xf ( )f x [1,e] 2 min[ ( )] (e) ef x f a= = + 2a -≥ ( )f x 1 x 22e 2a- < <- ( )f x ln( )2 2 2 a a a - - x 22ea -≤ 2+ ea x e