黑龙江省海林市朝鲜族中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 8页

海林市朝鲜族中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 若A={a，b，c}，则有几个真子集（　　）‎ A. 3 B. ‎8 ‎C. 7 D. 9‎ 2. 下列函数中哪个是幂函数（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 某中学有高一学生700人，高二学生670人，高三学生630人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取200人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为（　　）‎ A. 63 B. ‎67 ‎C. 70 D. 50‎ 4. 设有一个直线回归方程为=2-1.5，则变量x增加一个单位时（　　）‎ A. y平均增加个单位 B. y平均增加2个单位 C. y平均减少个单位 D. y平均减少2个单位 5. ‎1037和425的最大公约数是（　　）‎ A. 51 B. ‎17 ‎C. 9 D. 3‎ 6. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，则（∁UM）∩N（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知α=，则cosα=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 函数的定义域是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 不等式6-x-2x2＜0的解集是（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 10. 某赛季，甲．乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲．乙两名运动员的中位数分别是（　　）‎ A. 19,15 B. 15,‎19 ‎C. 25,22 D. 22,25‎ 11. cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 12. ‎{an}是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于（　　）‎ A. 667 B. ‎668 ‎C. 669 D. 670‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 13. 化简[2+8）-（4-2）]的结果是______ ．‎ 14. 一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是______ ．‎ 15. 下列各数75（8），210（7），1200（3），111111（2）中最小的数是______．‎ 16. 函数的单调递增区间是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 17. 由经验得知：在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.10‎ ‎0.16‎ ‎0.30‎ ‎0.30‎ ‎0.10‎ ‎0.04‎ ‎（1）求至多2人排队的概率； （2）求至少2人排队的概率． ‎ 1. 过点P（4，-1）且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程． ‎ 2. 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4 （1）数列中有多少项是负数？ （2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值． ‎ 3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点． 求证：MN∥平面PAD．‎ ‎ ‎ 1. 设函数． （1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数f（x）的最大值． ‎ 2. 已知直线l：x-2y-5=0与圆C：x2+y2=50，求： （1）交点A、B的坐标；           （2）△AOB的面积． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解，集合A的真子集有23-1=7个， 故选：C． 利用真子集个数公式2n-1，求出即可． 考查集合的子集，基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：幂函数是y=xα，α∈R，显然y==x3，是幂函数．y=，y=，y=（-2x）-3都不满足幂函数的定义，所以A正确． 故选：A． 直接利用幂函数的定义判断即可． 本题考查幂函数的定义的应用，基本知识的考查． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：根据分层抽样的定义可知高三抽取的人数为， 故选：A． 根据分层抽样的定义分别求出a，b，c即可． 本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵直线回归方程为 =2-1.5，① ∴y=2-1.5（x+1）② ∴②-①=-1.5 即y平均减少1.5个单位， 故选：C． 根据所给的回归直线方程，把自变量由x变化为x+1，表示出变化后的y的值，两个式子相减，得到y的变化． 本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述y的变化时，要注意加上平均变化的字样，本题是一个基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：1037=425×2+187，425=187×2+51，187=51×3+34，51=34×1+17，34=17×2． ∴1037和425的最大公约数是17． 故选：B． 利用“辗转相除法”即可得出． 本题考查了“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的方法，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∁UM={0，4}， ∴（∁UM）∩N={0，4}． 故选：A ‎． 利用集合的运算性质即可得出． 本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵α=，∴cosα=cos=cos（）=-cos=-． 故选：D． 由已知直接利用三角函数的诱导公式求解． 本题考查三角函数的值的求法，训练了诱导公式的应用，是基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数中， 令log2（1-x）≥0，解得1-x≥1， 即x≤0， 所以函数y的定义域是（-∞，0]． 故选：D． 根据函数y的解析式，列出不等式组求出解集即可． 本题考查了求函数的定义域问题，是基础题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：-2x2-x+6＜0 因式分解得：-（2x-3）（x+2）＜0， 即：（2x-3）（x+2）＞0， 解得：x＞或x＜-2， 所以原不等式的解集是{x|x＜-2或x＞}， 故选：D． 把原不等式的左边分解因式后，在不等式两边都除以-1，不等式号方向改变，即可得出原不等式的解集． 此题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，是一道基础题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：根据茎叶图中数据知，甲运动员得分从小到大排列为： 7，8，9，13，17，19，24，25，26，32，41， 所以甲的中位数是19； 乙运动员得分从小到大排列为： 5，6，8，11，11，15，20，22，30，31，38， 所以乙的中位数是15． 故选：A． 根据茎叶图中数据，分别把甲、乙运动员得分从小到大排列，即可求出它们的中位数． 本题考查了根据茎叶图中的数据求中位数的问题，是基础题． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：cos45°cos15°+sin15°sin45°=（cos45°-15°）=cos30°=， 故选：B． 直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值． 本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵{an}是首项a1=1，公差d=3的等差数列， ∴an=1+（n-1）×3=3n-2， ∵an=2005， ∴3n-2=2005， 解得n=669． 故选C． 首先由a1和d求出an，然后令an=2005，解方程即可． 本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，注意方程思想的应用． 13.【答案】-+2 ‎ ‎【解析】解：[（2+8）-（4-2）]=[+4-4+2] =•（-3）+•6 =-+2． 故答案为：-+2． 根据向量的线性运算法则进行计算即可． 本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应根据向量的线性运算法则进行计算，即可得出正确的答案，是基础题． 14.【答案】4s2 ‎ ‎【解析】解：由题意知，原来的平均数为，新数据的平均数变为2 原来的方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]， 现在的方差S′2=[（2x1-2）2+（2x2-2）2+…+（2xn-2）2] =[4（x1-）2+4（x2-）2+…+4（xn-）2] =4s2， ∴求得新数据的方差为4s2． 故答案为：4s2． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都乘以a，所以平均数变，方差也变． 本题说明了当数据都乘以一个数a时，方差变为原来的a2倍． 15.【答案】111111（2） ‎ ‎【解析】解：75（8）=5+7•81=61， 210（7）=0+1•7+2•72=105， 1200（3）=2•32+1•33=45， 111111（2）=1+1•2+1•22+1•23+1•24=31， 最小的数是111111（2）． 故答案为：111111（2）． 由非十进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，将各数化成十进制数后比较大小即可得到答案． 本题考查的知识点是进制之间的转换，根据几进制转化为十进制的方法，我们将转化结果利用等比数列的前n项和公式进行求解，是解答本题的关键． 16.【答案】（-∞，0） ‎ ‎【解析】解：函数的单调递增区间，即函数t=2-3x2 的增区间，而t=2-3x2 的图象的对称轴为x=0， 故函数t=2-3x2 的增区间（-∞，0）， 故答案为：（-∞，0）． 由题意利用复合函数的单调性，本题即求函数t=2-3x2 ‎ 的增区间，再利用二次函数的性质得出结论． 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于基础题． 17.【答案】解：（1）至多2人排队的概率为P=0.10+0.16+0.30=0.56； （2）至少2人排队的概率为P′=1-（0.10+0.16）=0.74． ‎ ‎【解析】（1）利用互斥事件的概率公式计算即可； （2）利用对立事件的概率公式计算即可． 本题考查了互斥事件与对立事件的概率计算问题，是基础题． 18.【答案】解：由题意可设所求直线的方程为4x+3y+m=0， 将点P（4，-1）代入到直线方程得：16-3+m=0， 解得m=-13 ∴所求直线的方程为4x+3y-13=0． ‎ ‎【解析】利用待定系数法可设所求直线方程为4x+3y+m=0，代入点P的坐标即可求出m的值． 本题主要考查与已知直线垂直的直线方程，属于基础题． 19.【答案】解：（1）由n2-5n+4＜0，得1＜n＜4， 故数列中有两项为负数； （2）an=n2-5n+4=-， 因此当n=2或3时，an有最小值，最小值为-2． ‎ ‎【解析】（1）令an=n2-5n+4＜0，解出n的范围，由此可得负项的项数； （2）对an进行配方，利用二次函数的性质即可求得最小值． 本题考查数列的函数特性，数列是特殊的函数，其定义域为正整数集或其有限子集，所以数列的很多问题可以从函数角度进行分析解决． 20.【答案】证明：取CD的中点E，连接ME，NE． 由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD， ​∵NE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴NE∥平面PAD． 由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形AMED是平行四边形， ∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD． 又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD， ∴MN∥平面PAD． ‎ ‎【解析】本题主要考查线面平行的判定，三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理是解题的关键. 取CD的中点E，连接ME，NE，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，进而得到NE∥平面PAD．由M是线段AB的中点，E是CD的中点，利用平行四边形的性质可得四边形AMED是平行四边形，可得ME∥平面PAD．进而得到平面MNE∥平面PAD，利用面面平行的性质可得MN∥平面PAD． 21.【答案】解：（1）f（x）=2cos2x+2cosxsinx=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+）， ∴f（x）的最小正周期为T==π． 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得：-+kπ≤x≤+kπ， ∴f（x）的单调递增区间是：[-+kπ，+kπ]，k∈Z． （2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]， ‎ ‎∴当2x+=时，f（x）取得最大值1+2=3． ‎ ‎【解析】（1）利用二倍角公式化简f（x），根据周期公式和正弦函数的单调性得出f（x）的周期和单调区间； （2）根据x的范围得出2x+的范围，再利用正弦函数的性质得出f（x）的最大值． 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题． 22.【答案】解：（1）联立方程整理可得，y2+4y-5=0 解可得，或 即交点坐标A（7，1）B（-5，-5） （2）设直线x-2y-5=0与x轴的交点M（5，0） S△AOB=S△AOM+S△BOM===联立 ‎ ‎【解析】（1）要求交点A、B的坐标，只要联立方程即可求解 （2）要求△AOB的面积，根据题意可得S△AOB=S△AOM+S△BOM=，代入可求 本题主要考查了直线与圆的相交求解交点，常联立方程进行求解，体现了曲线位置关系及方程的相互转化的思想的应用． ‎