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  • 2021-06-15 发布

2019届二轮复习(理)专题47抛物线学案(全国通用)

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‎1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;‎ ‎2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ ‎ ‎ ‎1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.‎ ‎2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) ]‎ y2=-2px(p>0) 学 ]‎ x2=2py(p>0) ‎ x2=-2py(p>0)‎ p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标 O(0,0)‎ 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e=1‎ 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识拓展 ‎1.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径.‎ ‎2.y2=ax(a≠0)的焦点坐标为,准线方程为x=-. ‎ ‎3.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 ‎(1)x1x2=,y1y2=-p2.‎ ‎(2)弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).‎ ‎(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.‎ ‎(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.‎ 高频考点一 抛物线的定义及应用 例1、 (1)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .‎ ‎(2)若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为 .‎ ‎(2)将x=3代入抛物线方程 y2=2x,得y=±.‎ ‎∵>2,∴A在抛物线内部,如图. ‎ 设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d.‎ 当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,‎ ‎∴点P的坐标为(2,2).‎ 答案 (1)9 (2)(2,2)‎ ‎【方法规律】与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.‎ ‎【举一反三】 (1)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于点C,若|AF|=6,=λ(λ>0),则λ的值为(  )‎ A. B. C. D.3‎ ‎(2)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为 .‎ ‎ ‎ ‎(2)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.‎ 答案 (1)D (2)y2=4x ‎【变式探究】(1)设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|= .‎ ‎(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为 .‎ 答案 (1)8 (2)4‎ 解析 (1)分别过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,‎ 得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.‎ ‎(2)如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. ‎ 即|PB|+|PF|的最小值为4.‎ 高频考点二 抛物线的标准方程和几何性质 例2、(1)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(  )‎ A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y ‎(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎ ‎ ‎(2)不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2(r>0),‎ ‎∵|AB|=4,|DE|=2,‎ 抛物线的准线方程为x=-,‎ ‎∴不妨设A,D,‎ ‎∵点A,D在圆x2+y2=r2上,‎ ‎∴∴+8=+5,解得p=4(负值舍去),‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.‎ 答案 (1)D (2)B ‎【方法规律】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.‎ ‎(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.‎ ‎【变式探究】过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为 .‎ 答案  解析 ‎ ‎【感悟提升】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.‎ ‎(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.‎ ‎【举一反三】(1)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .‎ 答案 2 解析 由于双曲线x2-y2=1的焦点为(±,0),故应有=,p=2.‎ ‎(2)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:‎ ‎①y1y2=-p2,x1x2=; ‎ ‎②+为定值;‎ ‎③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.‎ ‎③‎ 设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|=(|AC|+|BD|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.‎ 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.‎ 高频考点三 直线与抛物线的综合问题 例3、在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点,理由如下:‎ 直线MH的方程为y-t=x,‎ 即x=(y-t).‎ 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,‎ 解得y1=y2=2t,‎ 即直线MH与C只有一个公共点,‎ 所以除H以外直线MH与C没有其它公共点. ‎ ‎【举一反三】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.‎ 解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),‎ ‎∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴抛物线方程为y2=8x.‎ ‎(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.‎ 由得y2-8y-8m=0,‎ Δ=64+32m>0,∴m>-2.‎ y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2==m2.‎ 由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,‎ ‎∴m=8或m=0(舍),∴直线l2:x=y+8,M(8,0).‎ 故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|‎ ‎=3=24.‎ ‎【方法规律】(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.‎ ‎(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.‎ ‎(3)涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.‎ ‎【变式探究】已知抛物线C:y=mx2(m>0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.‎ ‎(1)求抛物线C的焦点坐标;‎ ‎(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值;‎ ‎(3)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(3)存在,联立方程 消去y得mx2-2x-2=0,‎ 依题意,有Δ=(-2)2-4×m×(-2)>0⇒m>-.‎ 设A(x1,mx),B(x2,mx),则( )‎ ‎∵P是线段AB的中点,∴P(,),‎ 即P(,yP),∴Q(,).‎ 得=(x1-,mx-),=(x2-,mx-),‎ 若存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形,则·=0,‎ 即(x1-)·(x2-)+(mx-)(mx-)=0,‎ 结合( )化简得--+4=0,‎ 即2m2-3m-2=0,∴m=2或m=-,‎ 而2∈(-,+∞),-∉(-,+∞).‎ ‎∴存在实数m=2,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.‎ ‎【感悟提升】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.‎ 提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.‎ ‎【举一反三】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.‎ ‎ ‎ ‎(2)依题意知l与坐标轴不垂直,‎ 故可设l的方程为x=my+1(m≠0).‎ 代入y2=4x,得y2-4my-4=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.‎ 故AB的中点为D(2m2+1,2m),‎ ‎|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).‎ 又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.‎ 将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.‎ 设M(x3,y3),N(x4,y4),‎ 则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).‎ 故MN的中点为E(+2m2+3,-),‎ ‎|MN|=|y3-y4|=,‎ 由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,‎ 从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,‎ 即4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2‎ ‎=,‎ 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.‎ 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. ‎ ‎1. (2018年全国I卷理数)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎2. (2018年全国Ⅲ卷理数)已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于,两点.若,则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎3. (2018年浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.‎ ‎(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;‎ ‎(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析 ‎(Ⅱ)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 所以,.‎ 因此,的面积.‎ 因为,所以.‎ 因此,面积的取值范围是. ‎ ‎4. (2018年北京卷)已知抛物线C:=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.‎ ‎(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设O为原点,,,求证:为定值.‎ ‎【答案】(1) 取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1)‎ ‎(2)证明过程见解析 ‎【解析】(Ⅰ)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),‎ 所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0,‎ 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).‎ 由得.‎ 依题意,解得k<0或00).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得.‎ ‎ ,故.‎ 所以.‎ 由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.‎ 因此l的方程为y=x–1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为 ‎,即.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得或 因此所求圆的方程为 或. ‎ ‎1.【2017课标1,理10】已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎8.【2017课标II,理16】已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点。若为的中点,则 。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,故.‎ ‎15.【2017北京,理18】已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】(Ⅰ)方程为,抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为.(Ⅱ)详见解析.‎ ‎(Ⅱ)由题意,设直线l的方程为(),l与抛物线C的交点为, .‎ 由,得.‎ 则, .‎ 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为,点A的坐标为.‎ 直线ON的方程为,点B的坐标为.‎ 因为 ‎,‎ 所以.‎ 故A为线段BM的中点. ‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎4.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左,右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为垂直于轴,所以,因为,即 ‎,化简得,故双曲线离心率.选A.‎ ‎5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:–y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )‎ A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<‎1 ‎‎ C.m1 D.m0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点,四边形的ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )‎ ‎(A)(B)(C)(D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对称性,不妨设A在第一象限,,∴,‎ ‎∴,故双曲线的方程为,故选D.‎ ‎13.【2016高考山东理数】已知双曲线E: (a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】假设点A在第一象限,点B在第二象限,则,,所以,,由,得离心率或(舍去),所以E的离心率为2. ‎ ‎14.【2016年高考北京理数】双曲线(,)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎27. 【2016高考上海理数】(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ ‎ 双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点。‎ ‎(1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;‎ ‎(2)设,若的斜率存在,且,求的斜率. ‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设.‎ 由题意,,,,‎ 因为是等边三角形,所以,‎ 即,解得.‎ 故双曲线的渐近线方程为.‎ ‎(2)由已知,,.‎ 设,,直线.显然.‎ ‎ ‎ ‎1.【2015高考福建,理3】若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则 等于( )‎ A.11     B.9 C.5    D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线定义得,即,解得,故选B.‎ ‎2.【2015高考四川,理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则( )‎ ‎(A) (B) (C)6 (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的右焦点为,过F与x轴垂直的直线为,渐近线方程为,将代入得:.选D.‎ ‎3.【2015高考广东,理7】已知双曲线:的离心率,且其右焦点,则双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ 【答案】B.‎ ‎【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为,所以,,所以所求双曲线方程为,故选B.学^ ‎ ‎4.【2015高考新课标1,理5】已知M()是双曲线C:上的一点,是C上的两个焦点,若,则的取值范围是( )‎ ‎(A)(-,) (B)(-,)‎ ‎(C)(,) (D)(,)‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎5.【2015高考湖北,理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线,则( )‎ A.对任意的, B.当时,;当时,‎ C.对任意的, D.当时,;当时,‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意,,,‎ 因为,由于,,,‎ 所以当时,,,,,所以;‎ 当时,,,而,所以,所以.‎ 所以当时,;当时,.‎ ‎6.【2015高考重庆,理10】设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为1,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是    (  )‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎7.【2015高考安徽,理4】下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为的是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,选项的焦点在轴,故排除,项的渐近线方程为,即,故选C.‎ ‎8.【2015高考新课标2,理11】已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎9.【2015高考北京,理10】已知双曲线的一条渐近线为,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的渐近线方程为,,,则 ‎10【2015高考湖南,理13】设是双曲线:的一个焦点,若上存在点,使线段的中点恰为其虚轴的一个端点,则的离心率为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据对称性,不妨设,短轴端点为,从而可知点在双曲线上,‎ ‎∴.‎ ‎11.【2015高考浙江,理9】双曲线的焦距是 ,渐近线方程是 .‎ ‎【答案】,.‎ ‎【解析】由题意得:,,,∴焦距为,‎ 渐近线方程为.‎ ‎12.【2015高考上海,理9】已知点和的横坐标相同,的纵坐标是的纵坐标的倍,和的轨迹分别为双曲线和.若的渐近线方程为,则的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎13.【2015江苏高考,12】在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,因为直线平行于渐近线,所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离,因此c的最大值为直线与渐近线之间距离,为。‎ ‎1.(2014·湖北卷)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,r1>r2,椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2.则由椭圆、双曲线的定义,得r1+r2=‎2a1,r1-r2=‎2a2,平方得‎4a=r+r+2r1r2,‎4a=r-2r1r2+r.又由余弦定理得‎4c2=r+r-r1r2,消去r1r2,得a+‎3a=‎4c2,‎ 即+=4.所以由柯西不等式得=≤=.‎ 所以+≤.故选A. ‎ ‎2.(2014·北京卷)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为 ;渐近线方程为 .‎ ‎【答案】-=1 y=±2x ‎ ‎【解析】设双曲线C的方程为-x2=λ,将(2,2)代入得-22=-3=λ,∴双曲线C的方程为-=1.令-x2=0得渐近线方程为y=±2x.‎ ‎3.(2014·全国卷)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F‎1A|=2|F‎2A|,则cos∠AF‎2F1=(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎ ‎4.(2014·福建卷)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.‎ ‎(1)求双曲线E的离心率.‎ ‎(2)如图16,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.‎ 图16‎ ‎【解析】解:方法一:‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.‎ 设直线l与x轴相交于点C.‎ 当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=‎4a.又因为△OAB的面积为8,‎ 所以|OC|·|AB|=8,‎ 因此a·‎4a=8,解得a=2,‎ 此时双曲线E的方程为-=1.‎ 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.‎ 以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.‎ 设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得y1=,同理得y2=.‎ 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|,得 ·=8,‎ 即m2=4=4(k2-4).‎ 由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.‎ 因为4-k2<0,‎ 所以Δ=4k‎2m2‎+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).‎ 又因为m2=4(k2-4),学 . ‎ 所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.‎ 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.‎ 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8,得|t|·=8.‎ 所以t2=4|1-‎4m2‎|=4(1-‎4m2‎).‎ 由得(‎4m2‎-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.‎ 因为‎4m2‎-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=‎64m2‎t2-16(‎4m2‎-1)(t2-a2)=0,即‎4m‎2‎a2+t2-a2=0, 即‎4m‎2‎a2+4(1-‎4m2‎)-a2=0,即(1-‎4m2‎)(a2-4)=0,‎ 所以a2=4,‎ 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.‎ 方法三:(1)同方法一.‎ 由(1)得双曲线E的方程为-=1,‎ 由得(4-k2)x2-2kmx-m2-‎4a2=0.‎ 因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k‎2m2‎+4(4-k2)(m2+‎4a2)=0,‎ 即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,‎ 所以双曲线E的方程为-=1.‎ 当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:-=1有且只有一个公共点.‎ 综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1. ‎ ‎5.(2014·广东卷)若实数k满足00)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).‎ 图17‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.‎ ‎(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=(y0≠0).‎ 因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M,‎ 直线l与直线x=的交点为N,,‎ 则===·.‎ 又P(x0,y0)是C上一点,则-y=1,‎ 代入上式得=·=·=,所以==,为定值.‎ ‎8.(2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C:x2-my2=‎3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )‎ A. B.3‎ C.m D.‎‎3m ‎【答案】A ‎ ‎【解析】双曲线的一条渐近线的方程为x+y=0.根据双曲线方程得a2=‎3m,b2=3,所以c=,双曲线的右焦点坐标为(,0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为=. ‎ ‎9.(2014·山东卷)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )‎ A. x±y=0 B. x±y=0 ‎ C. x±2y=0 D. 2x±y=0‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎ ‎10.(2014·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由题意知,双曲线的渐近线为y=±x,∴=2.∵双曲线的左焦点(-c,0)在直线l上,∴0=-‎2c+10,∴c=5.又∵a2+b2=c2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为-=1.‎ ‎11.(2014·浙江卷)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】双曲线的渐近线为y=±x,渐近线与直线x-3y+m=0‎ 的交点为A,B.设AB的中点为D,由|PA|=|PB|知AB与DP垂直,则D,kDP=-3,解得a2=4b2,故该双曲线的离心率是.‎ ‎12.(2014·重庆卷)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.3‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎

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