2019届二轮复习（理）专题47抛物线学案（全国通用） 33页

‎1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；‎ ‎2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ ‎ ‎ ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) ]‎ y2＝－2px(p>0) 学 ]‎ x2＝2py(p>0) ‎ x2＝－2py(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标 O(0,0)‎ 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识拓展 ‎1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．‎ ‎2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－. ‎ ‎3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.‎ ‎(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．‎ ‎(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．‎ 高频考点一　抛物线的定义及应用 例1、 (1)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .‎ ‎(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为 .‎ ‎(2)将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝±.‎ ‎∵>2，∴A在抛物线内部，如图. ‎ 设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.‎ 当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，‎ ‎∴点P的坐标为(2，2).‎ 答案　(1)9　(2)(2，2)‎ ‎【方法规律】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.‎ ‎【举一反三】 (1)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ(λ＞0)，则λ的值为(　　)‎ A. B. C. D.3‎ ‎(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .‎ ‎ ‎ ‎(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.‎ 答案　(1)D　(2)y2＝4x ‎【变式探究】(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝ .‎ ‎(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ．‎ 答案　(1)8　(2)4‎ 解析　(1)分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，‎ 得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.‎ ‎(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. ‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为4.‎ 高频考点二　抛物线的标准方程和几何性质 例2、(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A.x2＝y B.x2＝y C.x2＝8y D.x2＝16y ‎(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎ ‎ ‎(2)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，‎ ‎∵|AB|＝4，|DE|＝2，‎ 抛物线的准线方程为x＝－，‎ ‎∴不妨设A，D，‎ ‎∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.‎ 答案　(1)D　(2)B ‎【方法规律】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.‎ ‎(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.‎ ‎【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为 ．‎ 答案　 解析　‎ ‎【感悟提升】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ ‎(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．‎ ‎【举一反三】(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝ .‎ 答案　2 解析　由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.‎ ‎(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎①y1y2＝－p2，x1x2＝； ‎ ‎②＋为定值；‎ ‎③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ ‎③‎ 设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.‎ 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ 高频考点三　直线与抛物线的综合问题 例3、在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，‎ 即x＝(y－t).‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，‎ 解得y1＝y2＝2t，‎ 即直线MH与C只有一个公共点，‎ 所以除H以外直线MH与C没有其它公共点. ‎ ‎【举一反三】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.‎ 解　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，‎ ‎∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.‎ 由得y2－8y－8m＝0，‎ Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.‎ y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.‎ 由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，‎ ‎∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).‎ 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|‎ ‎＝3＝24.‎ ‎【方法规律】(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.‎ ‎(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.‎ ‎(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.‎ ‎【变式探究】已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.‎ ‎(1)求抛物线C的焦点坐标；‎ ‎(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；‎ ‎(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎(3)存在，联立方程 消去y得mx2－2x－2＝0，‎ 依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－.‎ 设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则( )‎ ‎∵P是线段AB的中点，∴P(，)，‎ 即P(，yP)，∴Q(，)．‎ 得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，‎ 若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，‎ 即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，‎ 结合( )化简得－－＋4＝0，‎ 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，‎ 而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞)．‎ ‎∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．‎ ‎【感悟提升】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．‎ ‎【举一反三】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎ ‎ ‎(2)依题意知l与坐标轴不垂直，‎ 故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．‎ 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，‎ ‎|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．‎ 又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.‎ 将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.‎ 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，‎ 则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．‎ 故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)，‎ ‎|MN|＝|y3－y4|＝，‎ 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，‎ 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，‎ 即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2‎ ‎＝，‎ 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.‎ 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. ‎ ‎1. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎2. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎3. （2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．‎ ‎（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；‎ ‎（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析 ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以，．‎ 因此，的面积．‎ 因为，所以．‎ 因此，面积的取值范围是． ‎ ‎4. （2018年北京卷）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．‎ ‎【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）‎ ‎(2)证明过程见解析 ‎【解析】（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），‎ 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．‎ 由得．‎ 依题意，解得k<0或00）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由得．‎ ‎ ，故．‎ 所以．‎ 由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．‎ 因此l的方程为y=x–1．‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ‎，即．‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 因此所求圆的方程为 或． ‎ ‎1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎8.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．‎ ‎15.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .‎ 由，得.‎ 则， .‎ 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.‎ 直线ON的方程为，点B的坐标为.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 故A为线段BM的中点. ‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎4.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即 ‎，化简得，故双曲线离心率.选A.‎ ‎5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）‎ A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<‎1 ‎‎ C．m1 D．m0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，‎ ‎∴，故双曲线的方程为，故选D.‎ ‎13.【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2. ‎ ‎14.【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎27. 【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ ‎ 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。‎ ‎（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. ‎ ‎【答案】（1）．（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设．‎ 由题意，，，，‎ 因为是等边三角形，所以，‎ 即，解得．‎ 故双曲线的渐近线方程为．‎ ‎（2）由已知，，．‎ 设，，直线．显然．‎ ‎ ‎ ‎1.【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（　）‎ A．11 　　　 B．9 C．5 　　　D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．‎ ‎2.【2015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C)6 （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.‎ ‎3.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ 【答案】B．‎ ‎【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选B．学^ ‎ ‎4.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )‎ ‎（A）（-，） （B）（-，）‎ ‎（C）（，） （D）（，）‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎5.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）‎ A．对任意的， B．当时，；当时，‎ C．对任意的， D．当时，；当时，‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，，，‎ 因为，由于，，，‎ 所以当时，，，，，所以；‎ 当时，，，而，所以，所以.‎ 所以当时，；当时，.‎ ‎6.【2015高考重庆，理10】设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是　　　　（　　）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎7.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.‎ ‎8.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎9.【2015高考北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则 ‎10【2015高考湖南，理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，‎ ‎∴.‎ ‎11.【2015高考浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】由题意得：，，，∴焦距为，‎ 渐近线方程为.‎ ‎12.【2015高考上海，理9】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎13.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为。‎ ‎1．（2014·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)‎ A. B. C．3 D．2‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝‎2a1，r1－r2＝‎2a2，平方得‎4a＝r＋r＋2r1r2，‎4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得‎4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋‎3a＝‎4c2，‎ 即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.‎ 所以＋≤.故选A. ‎ ‎2．（2014·北京卷）设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 ．‎ ‎【答案】－＝1　y＝±2x　‎ ‎【解析】设双曲线C的方程为－x2＝λ，将(2，2)代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.‎ ‎3．（2014·全国卷）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F‎1A|＝2|F‎2A|，则cos∠AF‎2F1＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A　‎ ‎4．（2014·福建卷）已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.‎ ‎(1)求双曲线E的离心率．‎ ‎(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．‎ 图16‎ ‎【解析】解：方法一：‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.‎ 设直线l与x轴相交于点C.‎ 当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝‎4a.又因为△OAB的面积为8，‎ 所以|OC|·|AB|＝8，‎ 因此a·‎4a＝8，解得a＝2，‎ 此时双曲线E的方程为－＝1.‎ 若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.‎ 以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得y1＝，同理得y2＝.‎ 由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得 ·＝8，‎ 即m2＝4＝4(k2－4)．‎ 由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.‎ 因为4－k2<0，‎ 所以Δ＝4k‎2m2‎＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．‎ 又因为m2＝4(k2－4)，学 . ‎ 所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．‎ 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.‎ 由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.‎ 所以t2＝4|1－‎4m2‎|＝4(1－‎4m2‎)．‎ 由得(‎4m2‎－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.‎ 因为‎4m2‎－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝‎64m2‎t2－16(‎4m2‎－1)(t2－a2)＝0，即‎4m‎2‎a2＋t2－a2＝0, 即‎4m‎2‎a2＋4(1－‎4m2‎)－a2＝0，即(1－‎4m2‎)(a2－4)＝0，‎ 所以a2＝4，‎ 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.‎ 方法三：(1)同方法一．‎ 由(1)得双曲线E的方程为－＝1，‎ 由得(4－k2)x2－2kmx－m2－‎4a2＝0.‎ 因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k‎2m2‎＋4(4－k2)(m2＋‎4a2)＝0，‎ 即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，‎ 所以双曲线E的方程为－＝1.‎ 当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．‎ 综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1. ‎ ‎5．（2014·广东卷）若实数k满足00)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．‎ 图17‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ ‎(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．‎ 因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，‎ 直线l与直线x＝的交点为N，，‎ 则＝＝＝·.‎ 又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，‎ 代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．‎ ‎8．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝‎3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)‎ A. B．3‎ C.m D．‎‎3m ‎【答案】A　‎ ‎【解析】双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝‎3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝. ‎ ‎9．（2014·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)‎ A. x±y＝0 B. x±y＝0 ‎ C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0‎ ‎【答案】A　‎ ‎ ‎ ‎10．（2014·天津卷）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点(－c，0)在直线l上，∴0＝－‎2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎11．（2014·浙江卷）设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是 ．‎ ‎【答案】.　‎ ‎【解析】双曲线的渐近线为y＝±x，渐近线与直线x－3y＋m＝0‎ 的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是.‎ ‎12．（2014·重庆卷）设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．3‎ ‎【答案】B　‎ ‎ ‎