2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期第二次月考数学试题 Word版 8页

‎2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期第二次月考数学试题 ‎ 考试时间120分钟； 满分：150分； ‎ 第Ⅰ卷 一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．若复数z满足，则=（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）‎ ‎ A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)‎ A．2　　　　　B．2，－1 C．－1 D．－3‎ ‎4．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合,则p的值为 (　 　)‎ ‎ A．－2 B．2 C．－4 D．4‎ ‎5.设平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图所示，若＋＋＋＝x，则x＝(　　) ‎ ‎ A．2 B．3‎ ‎ C．4 D．5‎ ‎6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于5，则m 的值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.函数在区间上单调递减,则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为且用料最省，则水桶底面圆的半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值是(　　)‎ A．0 B. C．－ D. ‎11.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（　 　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎12.椭圆与圆（为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是 （　 　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部为___________．‎ ‎14.已知向量，，若＝6，且，则x＋y＝________.‎ ‎15.若曲线在点处的切线与直线垂直，则_______‎ ‎16.已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围为________‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）‎ ‎17.（本题10分）已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．‎ ‎18. （本题12分）已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．‎ ‎19（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. ‎ ‎(1)求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值．‎ ‎20. （本小题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎ (2)求证：A为线段BM的中点．‎ ‎21. (本小题满分12分)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED．‎ ‎ (1)求证：PA⊥平面ABCD；‎ ‎ (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．‎ ‎22. （本小题满分12分）设＝lnx，g(x)＝＋．‎ ‎(1)求g(x)的单调区间和最小值；‎ ‎(2)讨论g(x)与g()的大小关系；‎ ‎(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．‎ ‎2020届高二年级月考（二）数学试题答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 B B C C C D C B B A C A 二.填空题(共4小题，每小题5分，共20分．)‎ ‎13. 　　　-1　14.　　1或－3　　15. 　　-1　　　16. 　　 ( -4, -3) (2,3)　　　　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.解析：由已知f′(x)＝3x2－6ax＋2b，‎ ‎∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0，①‎ 又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，②‎ 由①②解得a＝，b＝－， ∴f(x)＝x3－x2－x，‎ 由此得f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，‎ 令f′(x)>0，得x<－或x>1， 令f′(x)<0，得－0，‎ 即f(x)在x＝1处取得极小值，‎ 故a＝，b＝－，且f(x)＝x3－x2－x，‎ 它的单调增区间是(－∞，－)和(1，＋∞)， 它的单调减区间是(－，1)．‎ ‎18解：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．‎ 所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．‎ 将点的坐标代入整理得a4－109a2＋900＝0，解得a2＝100或a2＝9(舍去)，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1．‎ ‎(2)因为P为椭圆C上任一点，‎ 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．‎ 由(1)知c＝6，‎ 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，‎ 所以由余弦定理得：‎ ‎|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ，‎ 即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．‎ 因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|· 所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|． 所以122＝202－3|PF1||PF2|．‎ 所以|PF1|·|PF2|＝＝＝．‎ S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin ＝××＝．‎ 所以△F1PF2的面积为．‎ ‎19.解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，‎ 所以AA1⊥平面ABC.‎ ‎ (2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.‎ 由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，‎ 所以AB⊥AC.‎ 如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．‎ 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．‎ 同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)．‎ 所以cos〈 n，m〉＝＝.‎ 由题知二面角A1BC1B1为锐角，‎ 所以二面角A1BC1B1的余弦值为.‎ ‎20.[解]　(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝x.‎ 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．‎ 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.‎ 因为y1＋－2x1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ 所以y1＋＝2x1，‎ 故A为线段BM的中点．‎ ‎21.解：(1)证明：∵PA＝AD＝1，PD＝，‎ ‎∴PA2＋AD2＝PD2，‎ 即PA⊥AD．‎ 又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD．‎ ‎(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，‎ E，＝(1,1,0)，＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 即令y＝1，‎ 则n＝(－1,1，－2)．‎ 假设侧棱PC上存在一点F，且＝λ(0≤λ≤1)，‎ 使得BF∥平面AEC，则·n＝0.‎ 又∵＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，‎ ‎∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，‎ ‎∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点．‎ ‎22.[解析]　(1)由题设知g(x)＝lnx＋，‎ ‎∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1.‎ 当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间．‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间，‎ 因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.‎ ‎(2)g()＝－lnx＋x，‎ 设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则 h′(x)＝－.‎ 当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()．‎ 当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，‎ 因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减．‎ 当0h(1)＝0，即g(x)>g()，‎ 当x>1时，h(x)0成立⇔g(a)－1<，‎ 即lna<1，从而得0