数学卷·2018届河南省洛阳名校高二下学期第一次联考数学试卷（理科）（解析版） 19页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省洛阳名校高二（下）第一次联考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（　　）‎ A．1 B． C． D．5‎ ‎2．设f（x）是可导函数，且，则f'（x0）=（　　）‎ A． B．﹣1 C．0 D．﹣2‎ ‎3．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（　　）‎ A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0‎ ‎4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，则的值是（　　）‎ A．2+π B． C．π D．4+4π ‎6．数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（　　）‎ A．2（2k+1） B． C．2k+1 D．‎ ‎7．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，把数列{an}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数f（x）=2xlog2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）‎ ‎10．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）‎ C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）‎ ‎11．已知函数f（x）=x3+ax2+1的对称中心的横坐标为x0（x0＞0）且f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣） C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+2（e其中为自然对数的底数）的解集是（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为　　．‎ ‎14．对于大于或等于2的自然数，有如下分解式：‎ ‎22=1+3 ‎ ‎32=1+3+5 ‎ ‎42=1+3+5+7‎ ‎23=3+5 ‎ ‎33=7+9+11 ‎ ‎43=13+15+17+19‎ 根据上述分解规律，若n2=1+3+5+…+19，m3的分解中最小的数是43，则m+n=　　．‎ ‎15．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是　　．‎ ‎16．设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．由直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为S1，有曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为S2，当S1=S2时，求k的值及直线方程．‎ ‎18．已知复数（λ，x∈R，i为虚数单位）．‎ ‎（1）若2z1=i•z2，且，求x与λ的值；‎ ‎（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，且，λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．‎ ‎19．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f'（x）=2x+2．‎ ‎（1）求y=f（x）的表达式；‎ ‎（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，求t的值．‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=1﹣nan（n∈N*）．‎ ‎（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中数列{an}的通项公式成立．‎ ‎21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx++1．‎ ‎（1）当a=﹣时，求f（x）在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）当﹣1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省洛阳名校高二（下）第一次联考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（　　）‎ A．1 B． C． D．5‎ ‎【考点】A8：复数求模．‎ ‎【分析】由题意求得z，进一步得到向量的坐标，代入向量模的公式计算．‎ ‎【解答】解：由题意，z=3﹣4i，‎ ‎∴z对应的向量的坐标为（3，﹣4），其模为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．设f（x）是可导函数，且，则f'（x0）=（　　）‎ A． B．﹣1 C．0 D．﹣2‎ ‎【考点】6F：极限及其运算．‎ ‎【分析】由题意，﹣2=2，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意，﹣2=2．‎ ‎∴f′（x0）=﹣1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（　　）‎ A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．‎ ‎【解答】解：y=的对数为y′==﹣，‎ ‎ 可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，‎ 则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 即为x+y﹣2=0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】62：导数的几何意义；I2：直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．‎ ‎【解答】解：根据题意得f′（x）≥‎ 则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥‎ 结合正切函数的图象 由图可得α∈‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，则的值是（　　）‎ A．2+π B． C．π D．4+4π ‎【考点】67：定积分．‎ ‎【分析】首先复数为实数，得到a，然后利用定积分的几何意义求值．‎ ‎【解答】解：因为复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，所以a=2，所以===π；‎ 故选：C ‎　‎ ‎6．数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（　　）‎ A．2（2k+1） B． C．2k+1 D．‎ ‎【考点】RG：数学归纳法．‎ ‎【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，比较两个表达式，即得所求．‎ ‎【解答】解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），‎ 当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），‎ 故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 =2（2k+1），‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】F3：类比推理．‎ ‎【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．‎ ‎【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，‎ 在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，‎ 如图：‎ 由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，‎ 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 BO2=BE2+OE2，‎ 把数据代入得到OE=a，‎ ‎∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．已知，把数列{an}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】8B：数列的应用．‎ ‎【分析】根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方；②每一行都有2n﹣1个项，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，‎ 根据图形可知：‎ ‎①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；‎ ‎②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；‎ 所以A（10，12）=a93=‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=2xlog2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求导f′（x）=2x﹣2﹣a，注意到其在（1，2）上是增函数，故可得f′（1）f′（2）＜0，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=2x﹣2﹣a在（1，2）上是增函数，‎ ‎∴若使函数f（x）=2xlog2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，‎ 则f′（1）f′（2）＜0，‎ 即（﹣a）（3﹣a）＜0，‎ 解得，0＜a＜3，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）‎ C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）‎ ‎【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．‎ ‎【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），‎ 当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．‎ 所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．‎ 由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，‎ 所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=x3+ax2+1的对称中心的横坐标为x0（x0＞0）且f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣） C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎【考点】52：函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值，令极小值小于零即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0得x=0或x=﹣，‎ ‎∴x0=﹣＞0，∴a＜0．‎ ‎∴当x＜0或x＞﹣时，f′（x）＞0，当0＜x＜﹣时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（﹣）=．‎ ‎∵f（x）有三个零点，‎ ‎∴＜0．解得a＜﹣．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+2（e其中为自然对数的底数）的解集是（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令F（x）=exf（x）﹣ex﹣2，从而求导F′（x）=ex（f（x）+f′（x）﹣1）＞0，从而由导数求解不等式．‎ ‎【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），可得f（x）+f′（x）﹣1＞0，‎ 令F（x）=exf（x）﹣ex﹣2，‎ 则F′（x）=ex＞0，‎ 故F（x）是R上的单调增函数，‎ 而F（0）=e0f（0）﹣e0﹣2=0，‎ 故不等式exf（x）＜ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（﹣∞，0）；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为　﹣2　．‎ ‎【考点】A2：复数的基本概念．‎ ‎【分析】利用纯虚数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：复数z=a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，‎ 则a2+a﹣2=0，a2﹣1≠0，‎ 解得a=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎14．对于大于或等于2的自然数，有如下分解式：‎ ‎22=1+3 ‎ ‎32=1+3+5 ‎ ‎42=1+3+5+7‎ ‎23=3+5 ‎ ‎33=7+9+11 ‎ ‎43=13+15+17+19‎ 根据上述分解规律，若n2=1+3+5+…+19，m3的分解中最小的数是43，则m+n=　17　．‎ ‎【考点】F1：归纳推理．‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式以及数列的求和公式即可求出m，n的值．‎ ‎【解答】解：依题意得 n2=1+3+5+…+19==100，‎ ‎∴n=10．‎ ‎∵m3（m∈N*）的分解中最小的数是43，‎ ‎∴m3=43m+=m2+42m，‎ 即m2﹣m﹣42=0，‎ ‎∴（m﹣7）（m+6）=0，‎ ‎∴m=7或m=﹣6．‎ 又 m∈N*，‎ ‎∴m=7，‎ ‎∴m+n=17．‎ 故答案为：17．‎ ‎　‎ ‎15．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是　　．‎ ‎【考点】63：导数的运算；IT：点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x﹣y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x﹣y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．‎ ‎【解答】解：因为直线2x﹣y+3=0的斜率为2，‎ 所以令y′==2，解得：x=1，‎ 把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，‎ 则（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，‎ 即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是　a＞　．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解，只需f′（）＞0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴函数的导数为f′（x）=﹣x2+x+2a，‎ 若函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，‎ 即f′（x）＞0在（，+∞）上有解 ‎∵f′（x）=﹣x2+x+2a，‎ ‎∴只需f′（）＞0即可，‎ 由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞，‎ 故答案为：a＞．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．由直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为S1，有曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为S2，当S1=S2时，求k的值及直线方程．‎ ‎【考点】6G：定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】分别根据定积分的计算法则求出S1，S2，再根据S1=S2即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：由曲线y=3﹣3x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的图形的面积为 S2=（3﹣3x2）dx=（3x﹣x3）|=3﹣1=2，‎ 则直线y=kx（k＞0）与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为 S1=kxdx=kx2|=k，‎ 由S1=S2时，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴k=4，‎ ‎∴y=4x ‎　‎ ‎18．已知复数（λ，x∈R，i为虚数单位）．‎ ‎（1）若2z1=i•z2，且，求x与λ的值；‎ ‎（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，且，λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；‎ ‎（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得sinx（sinx+cosx）﹣λ=0，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由2z1=z2i，可得2sinx+2λi=1+（sinx+cosx）i，又λ，x∈R，‎ ‎∴，又，‎ 故x=，λ=1．‎ ‎（2）由，可得sinx（sinx+cosx）﹣λ=0，‎ 又λ=f（x），故f（x）==+，‎ 故f（x）的最小正周期T=π，‎ 又由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），可得kπ+≤x≤kπ+，‎ 故f（x）的单调递减区间为，（k∈Z）．‎ ‎　‎ ‎19．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f'（x）=2x+2．‎ ‎（1）求y=f（x）的表达式；‎ ‎（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，求t的值．‎ ‎【考点】3W：二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）设f（x）=x2+2x+n，根据△=0求出n即可；‎ ‎（2）根据定积分的几何意义列方程解出t．‎ ‎【解答】解：（1）∵f'（x）=2x+2，∴f（x）=x2+2x+n（n为常数），‎ ‎∵f（x）=0有两个相等的实根，∴4﹣4n=0，即n=1，‎ ‎∴f（x）=x2+2x+1．‎ ‎（2）f（x）与x轴的交点为（﹣1，0），与y轴的交点为（0，1），‎ ‎∴y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形面积S=（x2+2x+1）dx=（）=，‎ ‎∵直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，‎ ‎∴（x2+2x+1）dx=，即t3﹣t2+t=，∴2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=1﹣nan（n∈N*）．‎ ‎（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中数列{an}的通项公式成立．‎ ‎【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件通过n=1，2，3，4，分别求出a1，a2，a3，a4；然后猜想an的表达式．‎ ‎（2）利用数学归纳法的证题步骤，证明猜想的正确性即可．‎ ‎【解答】解：（1）依题设Sn=1﹣nan可得a1=1﹣a1，即a1=，a2==，a3==，a4==；猜想an=．‎ ‎（2）证明：①当n=1时，猜想显然成立． ‎ ‎②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，‎ 即ak=． ‎ 那么，当n=k+1时，Sk+1=1﹣（k+1）ak+1，‎ 即Sk+ak+1=1﹣（k+1）ak+1． 又Sk=1﹣kak=，‎ 所以+ak+1=1﹣（k+1）ak+1，‎ 从而ak+1==‎ 即n=k+1时，猜想也成立． ‎ 故由①和②，可知猜想成立．‎ ‎　‎ ‎21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？‎ ‎【考点】5D：函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】由题意知：存款量f（x）=kx2，当利率为0.012时，存款量为1.44亿，由1.44=k•（0.012）2，得k=10000，得f（x）=10000x2，银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x3，设银行可获收益为y，则y=480x2﹣10000x3‎ ‎，再由导数性质能求出当x为多少时，银行可获得最大收益．‎ ‎【解答】解：由题意知：存款量f（x）=kx2，‎ 当利率为0.012时，存款量为1.44亿，‎ 即x=0.012时，y=1.44；‎ 由1.44=k•（0.012）2，得k=10000，‎ ‎∴f（x）=10000x2，‎ 银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x3，‎ 设银行可获收益为y=贷款收益﹣利息支出，‎ 则y=480x2﹣10000x3，‎ 由于y'=960x﹣30000x2，则y'=0，‎ 即960x﹣30000x2=0，得x=0或x=0.032．‎ 因为x∈（0，0.032）时，y'＞0，‎ 此时，函数y=480x2﹣10000x3递增；‎ x∈（0.032，0.048）时，y'＜0，‎ 此时，函数y=480x2﹣10000x3递减；‎ 故当x=0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx++1．‎ ‎（1）当a=﹣时，求f（x）在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）当﹣1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）a=﹣时，f（x）=lnx+x2+1，x∈，f′（x）=．可得其单调性极值与区间端点函数值，进而得到最值．‎ ‎（2）f′（x）=+（a+1）x=（x＞0）．对a分类讨论可得：①a=﹣1时，②a≠﹣1时，△=﹣4a（a+1），由△≤0，△＞0，解得a范围即可得出单调性．‎ ‎（3）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在x=取得极小值即最小值．f=ln﹣+1．由于任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，代入化简即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）a=﹣时，f（x）=lnx+x2+1，x∈，‎ f′（x）=+x=．‎ 可知：函数f（x）在上单调递减，在（1，e]上单调递增．‎ ‎∴函数f（x）在x=1时取得极小值即最小值，f（1）=．‎ 由=+，f（e）=，可得f（e）＞．‎ ‎∴函数f（x）在x=e时取得最大值，f（e）=．‎ 综上可得：f（x）在区间上的最大值与最小值分别为：，．‎ ‎（2）f′（x）=+（a+1）x=（x＞0）．‎ ‎①a=﹣1时，f′（x）=﹣＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．‎ ‎②a≠﹣1时，△=﹣4a（a+1），由△≤0，解得a≥0，或a＜﹣1．‎ 则a≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ a＜﹣1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．‎ 由△＞0，解得﹣1＜a＜0，＞0．‎ 可得：f′（x）=，‎ ‎∴函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．‎ 综上可得：a≤﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．‎ a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎﹣1＜a＜0时，函数f（x）在上单调递减；在 上单调递增．‎ ‎（3）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在x=取得极小值即最小值．‎ f=ln﹣+1．‎ 由于任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，‎ ‎∴ln﹣+1＞1+，化为：ln（a+1）＞﹣1，又﹣1＜a＜0，‎ 解得a＜0．‎ ‎∴a的取值范围是．‎