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- 2021-06-15 发布
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内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2020届高三下
学期第四次模拟考试数学试题(理)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若集合,则的真子集的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】,,
,所以的真子集的个数为,故选A.
2.若复数,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是( )
A. z虚部为﹣i B. |z|=2
C. z表示的点在第四象限 D. z的共轭复数为﹣1﹣i
【答案】C
【解析】∵,
∴z的虚部为;|z|;z表示的点的坐标为,在第四象限;
z的共轭复数为.
故选:C.
3.为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】B
【解析】因为,且==,
所以由=,知,即只需将的图像向右平移个单位,故选B
4.已知且,,则( )
A. ﹣1 B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】根据题意,且,,
则,
解可得,
则,
则.
故选:A.
5.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x的值为2,则输出的值为( )
A. 80 B. 192 C. 448 D. 36
【答案】B
【解析】初始:v=1, k=1;
第一步:v=1×2+21=4,k=2;
第二步:v=4×2+22=12,k=3;
第三步:v=12×2+23=32,k=4;
第四步:v=32×2+24=80,k=5;
第五步:v=80×2+25=192,k=6;
因为此时,故停止循环,输出v的值为192.
故选:B.
6.对于实数m,“”是“方程1表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“方程1表示椭圆“可得,
解得且,
所以“”是 “方程1表示椭圆”的必要不充分条件.
故选:B.
7.设圆关于直线对称的圆为,则圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的标准方程为,
则圆心为,半径为,
设圆的圆心为,
则解得,
则圆为,其关于对称,
圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体为球,半径为,
所以该球的体积为.
故选:D.
8.已知函数,是函数的导函数,则的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得:
为奇函数,图象关于原点对称
可排除B,D,
又当时,,可排除
本题正确选项:A.
9.一个几何体的三视图如图所示,若这个几何体的体积为,则该几何体的外接球的表面积为( )
A. 36π B. 64π C. 81π D. 100π
【答案】C
【解析】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体,
如图所示:
该四棱锥的底面是长方形,长为6,宽为5,
四棱锥的高即为
所以,
解得.
设四棱锥的外接球的半径为r,
所以,
解得,
所以,
故选:C.
10.已知为双曲线上不同三点,且满足(为坐标原点),直线的斜率记为,则的最小值为( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B.
11.在中,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设,
所以,,,即,,,
所以,,,
解得,,,
所以,
故选:B.
12.设函数恰有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知函数定义域为,
.
因为恰有两个极值点,所以恰有两个不同的解,显然是它的一个解,另一个解由方程确定,且这个解不等于1.
令,则,所以函数在上单调递增,从而,且.所以,当且时,恰有两个极值点,即实数的取值范围是.
故选:C
二、填空题,本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,,与的夹角为,则______.
【答案】
【解析】,与的夹角为,
,
,
.
故答案为:.
14.若,则二项式的展开式中含项的系数是_________.
【答案】
【解析】,
所以二项式,
其展开式的通项公式为,令,
则,所以含项的系数是.
故答案为:
15.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2,要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,需要至少布置___________门高炮?(用数字作答,已知,)
【答案】
【解析】设需要至少布置门高炮,
某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2,
要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,
,
解得,,
需要至少布置11门高炮.
故答案为:.
16.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,点P是的重心,且,则___________.
【答案】或
【解析】,
整理得,
解得或(舍去),
或.
又∵点P是的重心,
,
整理得.
当时,,得,
此时,
解得;
当时,,得,
此时,
解得.
故答案为:或.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17至21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.如图,已知四棱锥底面ABCD为正方形,平面ABCD,E、F分别是BC,PC的中点,,.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的大小.
(1)证明:
(2)解:以A为原点,如图所示建立直角坐标系
,,
设平面FAE法向量为,则
,,
18.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员,日工资方案如下:甲公司规定底薪元,每销售一件产品提成元;乙公司规定底薪元,日销售量不超过件没有提成,超过件的部分每件提成元.
(I)请将两家公司各一名推销员的日工资(单位:元)分别表示为日销售件数的函数关系式;
(II)从两家公司各随机选取一名推销员,对他们过去天的销售情况进行统计,得到如下条形图.若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为(单位:元),将该频率视为概率,请回答下面问题:
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作,如果仅从日均收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
解:(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资(单位:元) 与销售件数的关系式为:.
乙公司一名推销员的日工资(单位: 元) 与销售件数的关系式为:
(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为
122
124
126
128
130
0.2
0.4
0.2
0.1
0.1
记乙公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为
120
128
144
160
0.2
0.3
0.4
01
∴
∴仅从日均收入的角度考虑,我会选择去乙公司.
点睛:求解离散型随机变量数学期望的一般步骤为:
第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;
第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式,求出随机变量取每个值时的概率;
第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;
第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值
19.已知为等差数列的前项和,且,.
(1)求数列的通项公式和前项和:
(2)记,求的前项和.
解:(1)设等差数列的公差为,
由,得
解得,所以.
.
(2).
.
20.已知椭圆:的左、右顶点分别为C、D,且过点,P是椭圆上异于C、D的任意一点,直线PC,PD的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)O为坐标原点,设直线CP交定直线x = m于点M,当m为何值时,为定值.
解:(1)椭圆过点,∴,①
又因为直线的斜率之积为,故.
又.即,②
联立①②得.
∴所求的椭圆方程为.
(2)方法1:由(1)知,.由题意可设,
令x=m,得.又设
由整理得:.
∵,∴,,
所以,
∴,
要使与k无关,只需,此时恒等于4.
∴
方法2::设,则,令x=m,得,
∴
由有,
所以,
要使与无关,只须,此时.
∴
21.已知函数,.
(1)当时,求曲线与的公切线方程:
(2)若有两个极值点,,且,求实数a的取值范围.
解:(1)时,,
设曲线上的切点为,则切线方程为,
设曲线上的切点为,则切线方程为
由两条切线重合得 ,则 ,
所以,公切线方程为;
(2),
,设其零点为,,
,,
令,可得,则
令,,
又令,,则单调递减,
,,单调递减,
,易知, ,
令,,
则在上递增,
(选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑)
22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的极坐标方程;
(2)设动直线与,分别交于点、,求的最大值.
解:(1)直线的直角坐标方程为,
将,代入方程得
,即,
(2)设直线的极坐标方程为,设,
则,
由,有,
当时,的最大值为.
23.已知的最小值为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)已知,,且,求证:.
解:(Ⅰ)由题意,函数,
可得在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以函数的最小值为,
又因为函数的最小值为,可得,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ),,且,
要证,
只要证,
即证,
即证,
即证,
即证,
即证,
显然,当且仅当时取等号.
所以.