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  • 2021-06-15 发布

【数学】内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2020届高三下学期第四次模拟考试试题(理)(解析版)

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内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2020届高三下 学期第四次模拟考试数学试题(理)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.若集合,则的真子集的个数为( )‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,‎ ‎,所以的真子集的个数为,故选A.‎ ‎2.若复数,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是( )‎ A. z虚部为﹣i B. |z|=2‎ C. z表示的点在第四象限 D. z的共轭复数为﹣1﹣i ‎【答案】C ‎【解析】∵,‎ ‎∴z的虚部为;|z|;z表示的点的坐标为,在第四象限;‎ z的共轭复数为.‎ 故选:C.‎ ‎3.为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】因为,且==,‎ 所以由=,知,即只需将的图像向右平移个单位,故选B ‎4.已知且,,则( )‎ A. ﹣1 B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,且,,‎ 则,‎ 解可得,‎ 则,‎ 则.‎ 故选:A.‎ ‎5.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x的值为2,则输出的值为( )‎ A. 80 B. ‎192 ‎C. 448 D. 36‎ ‎【答案】B ‎【解析】初始:v=1, k=1;‎ 第一步:v=1×2+21=4,k=2;‎ 第二步:v=4×2+22=12,k=3;‎ 第三步:v=12×2+23=32,k=4;‎ 第四步:v=32×2+24=80,k=5;‎ 第五步:v=80×2+25=192,k=6;‎ 因为此时,故停止循环,输出v的值为192.‎ 故选:B.‎ ‎6.对于实数m,“”是“方程1表示椭圆”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由“方程1表示椭圆“可得,‎ 解得且,‎ 所以“”是 “方程1表示椭圆”的必要不充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎7.设圆关于直线对称的圆为,则圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆的标准方程为,‎ 则圆心为,半径为,‎ 设圆的圆心为,‎ 则解得,‎ 则圆为,其关于对称,‎ 圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体为球,半径为,‎ 所以该球的体积为.‎ 故选:D.‎ ‎8.已知函数,是函数的导函数,则的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得:‎ ‎ 为奇函数,图象关于原点对称 可排除B,D,‎ 又当时,,可排除 本题正确选项:A.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示,若这个几何体的体积为,则该几何体的外接球的表面积为( )‎ A. 36π B. 64π C. 81π D. 100π ‎【答案】C ‎【解析】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体,‎ 如图所示:‎ ‎ ‎ 该四棱锥的底面是长方形,长为6,宽为5,‎ 四棱锥的高即为 所以,‎ 解得.‎ 设四棱锥的外接球的半径为r,‎ 所以,‎ 解得,‎ 所以,‎ 故选:C.‎ ‎10.已知为双曲线上不同三点,且满足(为坐标原点),直线的斜率记为,则的最小值为( )‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B.‎ ‎11.在中,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,‎ 所以,,,即,,,‎ 所以,,,‎ 解得,,,‎ 所以,‎ 故选:B.‎ ‎12.设函数恰有两个极值点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知函数定义域为,‎ ‎.‎ 因为恰有两个极值点,所以恰有两个不同的解,显然是它的一个解,另一个解由方程确定,且这个解不等于1.‎ 令,则,所以函数在上单调递增,从而,且.所以,当且时,恰有两个极值点,即实数的取值范围是.‎ 故选:C 二、填空题,本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知,,与的夹角为,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,与的夹角为,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎14.若,则二项式的展开式中含项的系数是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ 所以二项式,‎ 其展开式的通项公式为,令,‎ 则,所以含项的系数是.‎ 故答案为:‎ ‎15.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2,要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,需要至少布置___________门高炮?(用数字作答,已知,)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设需要至少布置门高炮,‎ 某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2,‎ 要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,‎ ‎,‎ 解得,,‎ 需要至少布置11门高炮.‎ 故答案为:.‎ ‎16.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,点P是的重心,且,则___________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】,‎ 整理得,‎ 解得或(舍去),‎ 或.‎ 又∵点P是的重心,‎ ‎,‎ 整理得.‎ 当时,,得,‎ 此时,‎ 解得;‎ 当时,,得,‎ 此时,‎ 解得.‎ 故答案为:或.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17至21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.如图,已知四棱锥底面ABCD为正方形,平面ABCD,E、F分别是BC,PC的中点,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ‎(1)证明:‎ ‎(2)解:以A为原点,如图所示建立直角坐标系 ‎,,‎ 设平面FAE法向量为,则 ‎,,‎ ‎18.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员,日工资方案如下:甲公司规定底薪元,每销售一件产品提成元;乙公司规定底薪元,日销售量不超过件没有提成,超过件的部分每件提成元.‎ ‎(I)请将两家公司各一名推销员的日工资(单位:元)分别表示为日销售件数的函数关系式;‎ ‎(II)从两家公司各随机选取一名推销员,对他们过去天的销售情况进行统计,得到如下条形图.若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为(单位:元),将该频率视为概率,请回答下面问题:‎ 某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作,如果仅从日均收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.‎ 解:(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资(单位:元) 与销售件数的关系式为:.‎ 乙公司一名推销员的日工资(单位: 元) 与销售件数的关系式为:‎ ‎(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为 ‎122‎ ‎124‎ ‎126‎ ‎128‎ ‎130‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 记乙公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为 ‎120‎ ‎128‎ ‎144‎ ‎160‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎01‎ ‎∴‎ ‎∴仅从日均收入的角度考虑,我会选择去乙公司.‎ 点睛:求解离散型随机变量数学期望的一般步骤为:‎ 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;‎ 第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式,求出随机变量取每个值时的概率;‎ 第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;‎ 第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 ‎19.已知为等差数列的前项和,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式和前项和:‎ ‎(2)记,求的前项和.‎ 解:(1)设等差数列的公差为,‎ 由,得 解得,所以.‎ ‎.‎ ‎(2).‎ ‎.‎ ‎20.已知椭圆:的左、右顶点分别为C、D,且过点,P是椭圆上异于C、D的任意一点,直线PC,PD的斜率之积为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)O为坐标原点,设直线CP交定直线x = m于点M,当m为何值时,为定值.‎ 解:(1)椭圆过点,∴,①‎ 又因为直线的斜率之积为,故.‎ 又.即,②‎ 联立①②得.‎ ‎∴所求的椭圆方程为.‎ ‎(2)方法1:由(1)知,.由题意可设,‎ 令x=m,得.又设 由整理得:.‎ ‎∵,∴,,‎ 所以,‎ ‎∴,‎ 要使与k无关,只需,此时恒等于4.‎ ‎∴‎ 方法2::设,则,令x=m,得,‎ ‎∴‎ 由有,‎ 所以,‎ 要使与无关,只须,此时.‎ ‎∴‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)当时,求曲线与的公切线方程:‎ ‎(2)若有两个极值点,,且,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)时,,‎ 设曲线上的切点为,则切线方程为,‎ 设曲线上的切点为,则切线方程为 由两条切线重合得 ,则 ,‎ 所以,公切线方程为;‎ ‎(2),‎ ‎,设其零点为,,‎ ‎,,‎ 令,可得,则 ‎ 令,,‎ 又令,,则单调递减,‎ ‎,,单调递减,‎ ‎ ,易知, ,‎ 令,,‎ 则在上递增,‎ ‎(选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑)‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线的极坐标方程;‎ ‎(2)设动直线与,分别交于点、,求的最大值.‎ 解:(1)直线的直角坐标方程为,‎ 将,代入方程得 ‎,即,‎ ‎(2)设直线的极坐标方程为,设,‎ 则,‎ 由,有,‎ 当时,的最大值为.‎ ‎23.已知的最小值为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)已知,,且,求证:.‎ 解:(Ⅰ)由题意,函数,‎ 可得在区间上单调递减,在区间上单调递增,‎ 所以函数的最小值为,‎ 又因为函数的最小值为,可得,解得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),,且,‎ 要证,‎ 只要证,‎ 即证,‎ 即证,‎ 即证,‎ 即证,‎ 即证,‎ 显然,当且仅当时取等号.‎ 所以.‎ ‎ ‎

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