数学理卷·2018届内蒙古赤峰市宁城县高三10月月考（2017 12页

宁城县高三年级统一考试（2017.10.20）‎ 数学试题（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 设集合，集合，则 错误！未找到引用源。‎ ‎(A)错误！未找到引用源。 (B) 错误！未找到引用源。 ( C) 错误！未找到引用源。 (D) 错误！未找到引用源。‎ ‎2. 是虚数单位，若复数满足，则复数的共轭复数是,则等于 ‎ ‎(A) (B) (C) 4 (D) ‎ ‎3.函数的最小正周期为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎5. 已知，，．则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 ‎(A)96里 (B)48里 (C) 192里 (D)24里 ‎7.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的外接球的面积是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎8.若实数，满足不等式组则的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎9.若双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为 ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ ‎10．函数y＝(a>1)的图象的大致形状是 ‎ (A)　　　　 (B)　　　 (C)　　　　 　(D)‎ ‎11．在某次物理实验中，得到一组不全相等的数据，若是这组数据的中位数，则满足 ‎（A）最小（B）最小（C）最小（D）最小 ‎12．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， ( )‎ ‎（A） （B） （C）9 （D） ‎ 宁城县高三年级统一考试（2017.10.20）‎ ‎ 数学试题（理科）‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 .‎ ‎14．‎ ‎15．方程表示的曲线是：‎ ‎ .‎ ‎16．已知函数.若直线与曲线都相切，则直线的斜率为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和，且．‎ ‎（I）求证：数列是等差数列； ‎ ‎（II）设，求证；‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（Ⅱ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病人数为，求的分布列、数学期望.‎ 参考公式： ，其中.‎ 下面的临界值仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xoy中，点，圆F2：x2+y2﹣2x﹣13=0，以动点P为圆心的圆过点F1，且圆P与圆F2内切．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与曲线C交于A，B两点，则在x轴上是否存在一点D（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数有两个零点，‎ ‎ （Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）求证: .‎ 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号）‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，将曲线（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的参数方程； ‎ ‎（Ⅰ）若点M的曲线上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数的最小值为.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)若且,证明:.‎ 宁城县高三年级统一考试（2017.10.20）‎ 数学试题（理科）参考答案 一、选择题：DCBA BAAD CCBD 二、填空题：13、23; 14、35; 15、以点为焦点，以直线为准线的抛物线（注：只写“抛物线”不给分）; 16、-4.‎ 三、解答题：‎ ‎17. （Ⅰ）证明：当时， 1分 当时，， ‎ ‎∴， 3分 ‎∴， ， ‎ 即． 5分 ‎∴数列是首项为１，公差为１的等差数列． 6分 ‎(Ⅱ)∵即 ‎∴由条件有----------------------8分 ‎∴-----12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19． 解(1)∵，即，∴，‎ 又，‎ ‎∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的. ………………6分 ‎(2)现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数，‎ ‎∴， ，‎ ‎， ，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎----------------10分 则. ………………12分 ‎20．解：（1）圆F2：化为．‎ 故，半径r=4．而＜4，‎ ‎∴点F1在圆F2内，‎ 又由已知得圆P的半径R=|PF1|，由圆P与圆F2内切得，圆P内切于圆F2，‎ 即|PF2|=4﹣|PF1|，∴|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，-------------------------------4分 故点P的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 有，则．‎ 故动点的轨迹方程为；---------------------------5分 ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=ny+1．‎ 联立，得（n2+4）y2+2ny﹣3=0．------------------6分 ‎△=16（n2+3）＞0恒成立．‎ ‎．①----------------------7分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 设直线DA、DB的斜率分别为k1，k2，则由∠ODA=∠ODB得，‎ ‎=．‎ ‎∴2ny1y2+（1﹣t）（y1+y2）=0，②-------------------------------9分 联立①②，得n（t﹣4）=0．故存在t=4满足题意；---------------------10分 当直线l的斜率为0时，直线为x轴，‎ 取A（﹣2，0），B（2，0），满足∠ODA=∠ODB．-------------------------11分 综上，在x轴上存在一点D（4，0），使得x轴平分∠ADB．--------------12分 ‎21. 证明（Ⅰ）因为.‎ 若，必有，即在R上是增函数，不可能有两个零点------1分 ‎∴，由，得.‎ 当时，；当时，.‎ 即在上是增函数，在上是减函数，---------------------3分 所以 要使有两个零点，其必要条件是，得.-------------4分 显然，‎ 设，‎ ‎∴在上是减函数，,即 由零点存在定理得：当时，有两个零点。-----------------6分 ‎（Ⅱ）∵函数有两个零点，即，‎ ‎∴即，‎ 设，则，得----------------------------6分 令，则，----------7分 设 ‎∴在上是增函数，即 从而，即在上是增函数， ------------9分 ‎---------11分 综上即；----------------------------------12分 ‎22. 解（1）将曲线（为参数）化为，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由伸缩变换化为，代入圆的方程得，‎ 可得曲线的参数方程为（为参数）.-----------------5分 ‎（2）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程：，‎ 设 点到的距离，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∴点到的距离的最小值为.---------------------------10分 解：（1）‎ ‎∴ --------------------------5分 ‎ ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴ -----------8分 ‎∵‎ ‎∴ --------------------10分 ‎ ‎