2019-2020学年浙江省杭州八校联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年浙江省杭州八校联盟高二上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知，，，则边长（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知利用正弦定理即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：，，，‎ 由正弦定理，可得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎2．等比数列中，已知，，则（　　　　）‎ A．3 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等比中项的性质，即可得到所求．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意，数列为等比数列，‎ 所以，即，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比中项的性质，主要考查对等比数列性质的应用能力，属于基础题．‎ ‎3．下列说法正确的是（　　　　）‎ A．当时，‎ B．当时，‎ C．当时，的最小值为2‎ D．当时，无最大值 ‎【答案】A ‎【解析】当时，由基本不等式可得，，当时，，当时，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，当时，函数单调递增，故当时函数取得最大值，从而可求．‎ ‎【详解】‎ 解：当时，由基本不等式可得，，当且仅当即时取等号；故A正确；‎ 当时，，故B错误；‎ 当时，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，故当时，函数取得最小值，故C错误；‎ 当时，函数单调递增，故当时函数取得最大值0，故D错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，及利用函数的单调性求解函数的最值，属于基础试题．‎ ‎4．关于x的不等式的解集是（　　　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，根据，可得或，然后解出不等式即可．‎ ‎【详解】‎ 解：．‎ ‎，或，‎ 或，‎ 不等式的解集为或 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属基础题．‎ ‎5．下列命题中为假命题的是（　　　　）‎ A．垂直于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两个平面平行 ‎【答案】B ‎【解析】根据平行公理，平行线的定义，以及面面平行的判定定理，对各选项分析判断即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；‎ 这三条直线在同一平面内，方可，故B错误；‎ 由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确；‎ 平行于同一平面的两个平面平行，根据平行公理知D正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎6．若直线l过点且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k是（　　　　）‎ A．或 B．或 ‎ C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】通过分类讨论，利用斜率计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：直线l经过原点时，可得斜率．‎ 直线不经过原点时，直线l过点且在两条坐标轴上的截距相等，‎ 经过点，．‎ ‎．‎ 综上可得：直线l的斜率或3．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了斜率计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎7．等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则当取得最大值时，（　　　　）‎ A．7 B．8 C．7和8 D．15‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据，可得，进而根据已知条件可得当取得最大值时n的值 ‎【详解】‎ 解：依题意，，即，‎ ‎，‎ 又数列中，，，‎ 所以数列的前7项大于0，‎ 所以当取得最大值时，或，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的单调性，等差数列的前n项和，考查分析解决问题的能力，推理能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎8．如图，在正四面体ABCD中（棱长均相等的四面体叫做正四面体），M是线段BC的中点，P是线段AM上的动点，则直线DP和BC所成角的大小（ ）‎ A．90o B．60o C．45o D．与P的位置有关 ‎【答案】A ‎【解析】连接DM，可以证到BC⊥DM，BC⊥PM，从而证到BC⊥平面DMP，所以BC⊥DP，就可以知道所成角为90度．‎ ‎【详解】‎ 连接DM．∵四面体是正四面体，M是BC的中点．‎ ‎∴△DBC是等边三角形、△ABC是底边为BC的等腰三角形，∴BC⊥DM，BC⊥PM．‎ ‎∵DM⊂平面DMP，PM⊂平面DMP，DM∩PM=M．‎ ‎∴BC⊥平面DMP，DP⊂平面DMP，‎ ‎∴BC⊥DP．∴直线DP与BC所成角为90°，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角，考查线面垂直的转化，考查推理能力与想象能力，属于简单题目.‎ ‎9．设a、b、c分别为中、、对边的边长，则直线与直线的位置关系（　　　　）‎ A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 ‎【答案】D ‎【解析】由相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理即可判断出位置关系．‎ ‎【详解】‎ 解：，由正弦定理可知恒成立．‎ 直线与直线垂直．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10．平行四边形ABCD中，，，将绕直线BD旋转至与面BCD重合，在旋转过程中不包括起始位置和终止位置，有可能正确的是（　　　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：在A中，，不可能，若，‎ 则AB与CD共面，‎ 在旋转过程中不可能共面．故A错误；‎ 在B中，，，，‎ 有可能．故B正确；‎ 在C中，，，‎ ‎，，‎ ‎，但此时是终止位置，不正确．‎ 在D中，如图，在旋转过程中，‎ 点A在平面BCD上的投影的轨迹即为线段AE，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在旋转过程中AC与BD的夹角钝角部分会越来越大，‎ 选项不可能．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ 二、填空题 ‎11．已知数列的通项公式，则______，前2019项和______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】直接利用数列的通项公式求出结果，进一步利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【详解】‎ 解：数列的通项公式，‎ 所以．‎ 所以．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎12．已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则这个球的半径为______，球的表面积为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】直接利用长方体和外接球体之间的关系建立关系式，进一步求出半径和球的表面积．‎ ‎【详解】‎ 解：个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则 该球体为长方体的外接球体，‎ 设球的半径为r，则，解得，‎ 故球的表面积为．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：长方体和外接球体的关系，球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎13．一个锥体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积为______，体积为______．‎ ‎【答案】80 64 ‎ ‎【解析】‎ 由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为8，斜高为5，再由侧面积与体积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由三视图还原原几何体如图，‎ 可知该几何体为正四棱锥，底面边长为8，斜高为5，‎ 则此几何体的侧面积为；‎ 体积．‎ 故答案为：80；64．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎14．在中，已知，，，M是BC的中点，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由余弦定理求出cosC；再利用中点的定义和余弦定理，即可求出中线AM的长．‎ ‎【详解】‎ 解：由题中，，，‎ 所以由余弦定理得，‎ ‎．‎ 如图所示，‎ 是BC的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即中线AM的长为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎15．已知两条平行直线：，：间的距离为2，则______．‎ ‎【答案】22或 ‎【解析】根据两直线平行求出a的值，再根据两平行线间的距离列方程求出b的值．‎ ‎【详解】‎ 解：两条平行直线：，：，‎ 则，解得；‎ 所以直线：，：；‎ 则两平行线间的距离为，‎ 解得或．‎ 故答案为：22或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两直线平行的条件和平行线之间的距离计算问题，是基础题．‎ ‎16．记y，表示x、y、z中的最小值．已知，，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过的分类讨论，结合不等式的缩放和基本不等式可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：设 ，则 ‎①时，；‎ ‎②时，，∴；‎ ‎③，，‎ 若，，‎ 若，，‎ ‎∴；‎ ‎④时，，‎ 若时，，‎ 若时，，‎ ‎∴；‎ ‎⑤时，，‎ ‎∴‎ 综上：的最大值为 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法，以及不等式的性质，是一道中档题．‎ 三、解答题 ‎17．在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且．‎ Ⅰ求证：角B、A、C成等差数列；‎ Ⅱ若，求a的最小值．‎ ‎【答案】(I)证明见解析 (II)‎ ‎【解析】Ⅰ直接利用余弦定理的应用求出结果．‎ Ⅱ利用余弦定理和基本不等式和三角形的面积公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ证明：在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且．‎ 整理得，由于，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以角B、A、C成等差数列．‎ Ⅱ解：由于，所以，‎ 所以，‎ 所以，解得 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎18．已知集合，集合．‎ Ⅰ求A；‎ Ⅱ若，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(I)，(II)．‎ ‎【解析】Ⅰ由一元二次不等式的性质能求出集合A．‎ Ⅱ由集合，由此利用分类讨论思想能求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ集合，‎ Ⅱ集合．‎ 当，即时，，‎ ‎，解得．‎ 当，即时，，符合题意，‎ 当，即时，，‎ ‎，解得．‎ 综上所述，a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查分类讨论思想、集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎19．在平面直角坐标系中，直线和直线的交点为P．‎ Ⅰ直线l经过点P，且直线l与直线垂直，求直线l的方程；‎ Ⅱ直线m经过点P，且直线m与直线平行，求直线m的方程；‎ Ⅲ若直线过点P，求的最小值．‎ ‎【答案】(I)，(II) (III) 最小值．‎ ‎【解析】由题意可求直线l的斜率k，由点斜式方程可求；‎ 可设直线m的方程为，然后由直线m过，代入可求C，进而可求直线方程；‎ 由直线过，可得，然后结合，展开后利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：联立方程可得，，即，‎ 由题意可知直线l的斜率，‎ 直线l经过点，‎ 直线l的方程为即，‎ 设直线m的方程为，由于直线m过，‎ 所以即，‎ 直线过，‎ 所以，‎ 即，‎ ‎，‎ 当且仅当即时取等号，‎ 的最小值．‎ 联立方程可得，，即，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线系方程的应用及利用基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．‎ ‎20．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，且，，点E是线段PD的中点．‎ Ⅰ求证：平面PAB；‎ Ⅱ求证：平面平面PCD；‎ Ⅲ当直线PC与平面PAD所成的角大小为时，求线段PA的长．‎ ‎【答案】(I) 证明见解析 (II) 证明见解析(III)．‎ ‎【解析】Ⅰ取线段PA的中点F，连接EF、BF，得出，四边形BCEF是平行四边形，‎ 即证，得出平面PAB；‎ Ⅱ由题意得出，，可证平面PAC，从而证明平面平面PCD；‎ Ⅲ取线段AD中点H，连接CH、PH，可得，，即证平面PAD；得出是直线PC与平面PAD所成的角，从而求得PA的值．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ证明：取线段PA的中点F，连接EF、BF，‎ 则，且，‎ 所以四边形BCEF是平行四边形，‎ 所以；‎ 又平面PAB，平面PAB，‎ 所以平面PAB；‎ Ⅱ证明：由题意得，，又，‎ 所以；‎ 又平面ABCD，‎ 所以，且，‎ 所以平面PAC，‎ 又平面PCD，‎ 所以平面平面PCD；‎ Ⅲ解：取线段AD中点H，连接CH、PH，‎ 可得，，且，‎ 所以平面PAD；‎ 所以是直线PC与平面PAD所成的角，‎ 所以；‎ 所以；‎ 又，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．‎ ‎21．已知数列的前n项和记为，且满足n、、成等差数列．‎ Ⅰ求，的值，并证明：数列是等比数列；‎ Ⅱ证明：．‎ ‎【答案】(I)；见解析 (II) 见解析 ‎【解析】Ⅰ先根据已知条件把1，2代入，即可求出前两项，再根据n、、成等差数列，得到一个新等式，两个相结合即可证明结论．‎ Ⅱ根据第一问的结论得到数列的通项，对通项进行适当的放缩即可证明．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ由已知n、、成等差数列，可得； ‎ 令，可得，令，可得，，；‎ ‎ ‎ 得：，即；‎ ‎，；‎ 有，可得．‎ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列．‎ Ⅱ由Ⅰ，．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列与不等式的综合问题，一般这类题目的难点在于放缩程度的把握，属于难题．‎