安徽省安庆市桐城市2020年高考数学模拟试卷（理） 8页

‎2020年高考数学模拟试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知全集U=R.‎集合A={0,‎1，2，3，4，‎5}‎，B={x|x≥2}‎，则图中阴影部分所表示的集合为‎(    )‎ A. ‎{0,1}‎ B. ‎{1}‎ C. ‎{1,2}‎ D. ‎{0,‎1，‎‎2}‎ 2. 在复平面内与复数z=‎‎2i‎1+i所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为‎(    )‎ A. ‎1+i B. ‎1-i C. ‎-1-i D. ‎‎-1+i 3. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为‎(‎   ‎)‎ ‎ A. ‎3+‎1‎‎2‎log‎2‎3‎ B. log‎2‎‎3‎ C. 3 D. 2‎ 4. 阿基米德‎(‎公元前287年‎-‎公元前212年‎)‎不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为‎7‎‎4‎，面积为‎12π，则椭圆C的方程为‎(    )‎ A. x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ B. x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎16‎=1‎ C. x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎ D. ‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎ 5. 已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+……+2k(k∈N‎*‎)‎，则‎(    )‎ A. f(k+1)-f(k)=2k+2‎ B. f(k+1)-f(k)=3k+3‎ C. f(k+1)-f(k)=4k+2‎ D. ‎f(k+1)-f(k)=4k+3‎ 6. 已知数列‎{an}‎为等比数列，且a‎2‎a‎3‎a‎4‎‎=-a‎7‎‎2‎=-64‎，则tan(‎2‎a‎5‎‎3‎⋅π)=(    )‎ A. ‎-‎‎3‎ B. ‎3‎ C. ‎±‎‎3‎ D. ‎‎-‎‎3‎‎3‎ 1. 设抛物线y‎2‎‎=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为‎-‎‎3‎‎3‎，那么‎|PF|=(    )‎ A. ‎2‎‎3‎ B. ‎4‎‎3‎ C. ‎3‎ D. 2‎ 2. 若sinθ-cosθ=‎‎4‎‎3‎，且θ∈(‎3‎‎4‎π,π)‎，则sin(π-θ)-cos(π-θ)=(    )‎ A. ‎-‎‎2‎‎3‎ B. ‎2‎‎3‎ C. ‎-‎‎4‎‎3‎ D. ‎‎4‎‎3‎ 3. 已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=‎5‎,AC=BD=2,AD=BC=‎‎3‎，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为‎(    )‎ A. ‎3π‎2‎ B. ‎24π C. ‎6‎π D. ‎‎6π 4. 在Rt△ABC中，已知‎∠C=90°‎，CA=3‎，CB=4‎，P为线段AB上的一点，且CP‎=x⋅CA‎|CA|‎+y⋅‎CB‎|CB|‎，则‎1‎x‎+‎‎1‎y的最小值为‎(    )‎ A. ‎7‎‎6‎ B. ‎7‎‎12‎ C. ‎7‎‎12‎‎+‎‎3‎‎3‎ D. ‎‎7‎‎6‎‎+‎‎3‎‎3‎ 5. 已知函数y=f(x)‎是‎(-1,1)‎上的偶函数，且在区间‎(-1,0)‎上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形‎△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是‎(    )‎ A. f(sinA)>f(sinB)‎ B. f(sinA)>f(cosB)‎ C. f(cosC)>f(sinB)‎ D. ‎f(sinC)>f(cosB)‎ 6. 已知定义在R上的可导函数f(x)‎的导函数为f'(x)‎，满足f'(x)0)‎与双曲线x‎2‎‎9‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎有相同的焦点，则a的值为______‎ ‎ ‎ 8. 已知实数x，y满足不等式组x-y-2≤0,‎x+2y-5≥0,‎y-2≤0,‎且z=2x-y的最大值为a，则‎ 1‎‎ eax‎ dx=‎______．‎ 9. 已知点A(-2,0)‎、B(0,4)‎，点P在圆C(x-3‎)‎‎2‎+(y-4‎)‎‎2‎=5‎上，则使‎∠APB=90°‎的点P的个数为______．‎ 10. 已知函数f(x)=‎‎|log‎2‎x|,02‎，若方程f(x)=a有4个不同的实数根x‎1‎，x‎2‎，x‎3‎，x‎4‎‎(x‎1‎‎2‎)‎的右焦点为F，P是椭圆C上一点，PF⊥x轴，‎|PF|=‎‎2‎‎2‎． ‎(1)‎求椭圆C的标准方程； ‎(2)‎若点线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且‎|OM|=‎‎2‎，求‎△AOB面积的最大值．‎ 4. 已知函数f(x)=lnx+x-ax(a∈R)‎有两个极值点x‎1‎，x‎2‎，且x‎1‎‎<‎x‎2‎． ‎(1)‎若a=5‎，求曲线y=f(x)‎在点‎(4,f(4))‎处的切线方程； ‎(2)‎记g(a)=f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎，求a的取值范围，使得‎0=n‎⋅‎m‎|n||m|‎=‎1‎‎1+3+(‎3‎-λ‎)‎‎2‎‎×1‎=‎‎1‎‎(λ-‎3‎‎)‎‎2‎+4‎． ‎∵0≤λ≤‎‎3‎，‎∴‎当λ=0‎时，cosθ有最小值为‎7‎‎7‎， ‎∴‎点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为‎7‎‎7‎．‎ ‎20【答案】解：‎(1)‎由题知，点P(c,‎2‎‎2‎)‎，b=‎‎2‎， 则有c‎2‎a‎2‎‎+‎(‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎‎2‎=1‎，又a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎=2+‎c‎2‎， 解得a‎2‎‎=8‎，c‎2‎‎=6‎，故椭圆C的方程为x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎． ‎(2)‎当AB⊥x轴时，M位于x轴上，且OM⊥AB， 由‎|OM|=‎‎2‎可得‎|AB|=‎‎6‎， 此时S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎|OM|⋅|AB|=‎‎3‎． 当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y=kx+t，与椭圆交于A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎， 由x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎y=kx+t，得‎(1+4k‎2‎)x‎2‎+8ktx+4t‎2‎-8=0‎． ‎∴x‎1‎+x‎2‎=‎‎-8kt‎1+4‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4t‎2‎-8‎‎1+4‎k‎2‎，从而M(‎-4kt‎1+4‎k‎2‎,t‎1+4‎k‎2‎)‎， 已知‎|OM|=‎‎2‎，可得t‎2‎‎=‎‎2(1+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎‎1+16‎k‎2‎． ‎∵|AB‎|‎‎2‎=(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]=(1+k‎2‎)[(‎-8kt‎1+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎-4×‎4t‎2‎-8‎‎1+4‎k‎2‎]=(1+k‎2‎)‎‎16(8k‎2‎-t‎2‎+2)‎‎(1+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎． 设O到直线AB的距离为d，则d‎2‎‎=‎t‎2‎‎1+‎k‎2‎， S‎△AOB‎2‎‎=‎1‎‎4‎(1+k‎2‎)‎16(8k‎2‎-t‎2‎+2)‎‎(1+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎⋅‎t‎2‎‎1+‎k‎2‎． 将t‎2‎‎=‎‎2(1+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎‎1+16‎k‎2‎代入化简得S‎△AOB‎2‎‎=‎‎192k‎2‎(4k‎2‎+1)‎‎(1+16‎k‎2‎‎)‎‎2‎． 令‎1+16k‎2‎=p， 则S‎△AOB‎2‎‎=‎192k‎2‎(4k‎2‎+1)‎‎(1+16‎k‎2‎‎)‎‎2‎=‎12(p-1)(p-1‎‎4‎+1)‎p‎2‎=3[-3(‎1‎p-‎1‎‎3‎‎)‎‎2‎+‎4‎‎3‎]≤4‎， 当且仅当p=3‎时取等号，此时‎△AOB的面积最大，最大值为2．‎ ‎21【答案】解：‎(1)‎当a=5‎时，f(x)=lnx+x-5‎x， f'(x)=‎1‎x+1-‎‎5‎‎2‎x， f(4)=ln4-6‎，f'(4)=0‎． 所以，点‎(4,f(4))‎处的切线方程是y=ln4-6‎． ‎(2)f'(x)=‎1‎x+1-a‎2‎x=‎‎2x-ax+2‎‎2x， 由已知得，x‎1‎‎+x‎2‎=‎a‎2‎，x‎1‎‎⋅x‎2‎=1‎，且a>4‎． 令x‎2‎x‎1‎‎=t，得‎(1+t‎)‎‎2‎t‎=‎a‎2‎‎4‎，且t>1‎． ‎∵f(x‎1‎)=lnx‎1‎+x‎1‎-ax‎1‎=lnx‎1‎-x‎1‎-2.f(x‎2‎)=lnx‎2‎-x‎2‎-2‎． ‎∴g(a)=ln(x‎1‎x‎2‎)+(x‎2‎-x‎1‎)=t-‎1‎t-2lnt． 令h(t)=t-‎1‎t-2lnt． 则h'(t)=1+‎1‎t‎2‎-‎2‎t=t‎2‎‎-2t+1‎t‎2‎>0‎ ‎∴h(t)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增． ‎∵h(4)=‎15‎‎4‎-4ln2‎， ‎∴10‎，不满足题意； 所以当a<1‎时，不满足题意； 综上，a的取值范围为‎[1,+∞)‎．‎ ‎ ‎