2018-2019学年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校高一下学期期末联考数学试题（解析版） 19页

‎2018-2019学年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校高一下学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先化简集合A,B，再求A∩B得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2．已知点，和向量，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出，再利用共线向量的坐标表示求实数的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3．等差数列中，若，，则（ ）‎ A．2019 B．1 C．1009 D．1010‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等差数列中，，，求出，由此能求出的值．‎ ‎【详解】‎ 等差数列中，，，‎ ‎，‎ 即，解得，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎4．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为（，称为黄金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72，肚脐至足底长度为103，根据以上数据，作为形象设计师的你，对TA的着装建议是（ ）‎ A．身材完美，无需改善 B．可以戴一顶合适高度的帽子 C．可以穿一双合适高度的增高鞋 D．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子 ‎【答案】C ‎【解析】对每一个选项逐一分析研究得解.‎ ‎【详解】‎ A.,所以她的身材不完美，需要改善，所以该选项是错误的；‎ B.假设她需要戴上高度为x厘米的帽子，则，显然不符合实际，所以该选项是错误的;‎ C．假设她可以穿一双合适高度为y的增高鞋，则，所以该选项是正确的；‎ D.假设同时穿戴同样高度z的增高鞋与帽子,则，显然不符合实际，所以该选项是错误的.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生对新定义的理解和应用，属于基础题.‎ ‎5．在中，角的对边分别为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理可得，化简后求出，然后求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系，属于基础题．‎ ‎6．某同学用收集到的6组数据对（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：x，相关指数为r．现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③1；其中正确的结论是 A．①② B．①③‎ C．②③ D．①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数 因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；‎ 因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，‎ 综上正确结论是①②，选A.‎ ‎7．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据已知求出，再利用二倍角公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角的三角函数的关系和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎8．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，两球不同颜色包含的基本事件个数，由此能求出两球不同颜色的概率．‎ ‎【详解】‎ 甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，‎ 其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，‎ 现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，‎ 两球不同颜色包含的基本事件个数，‎ 则两球不同颜色的概率为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎9．已知函数是偶函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为，若的最小正周期为，且，则（ ）‎ A．-2 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意根据三角函数的图象的对称性求出，由周期求出，由三角函数的值求出，可得函数的解析式，从而求得的值．‎ ‎【详解】‎ 已知函数，，是偶函数，‎ ‎，．‎ 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．‎ 若的最小正周期为，则有，，，．‎ ‎，，‎ 则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，函数的部分图象求解析式，属于基础题．‎ ‎10．已知数列前项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中:‎ ‎①数列必为等比数列；②时，；③；④存在，对任意的正整数，都有 正确的个数有（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由数列的递推式和等比数列的定义可得数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，可得，即，‎ 时，，，‎ 相减可得，即有数列为首项为，公比为的等比数列，故①正确；‎ 由①可得时，，故②错误；‎ ‎，‎ ‎，则，即③正确；‎ 由①可得，等价为，‎ 可得，故④正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎11．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的单调性可得：当时，函数的单调性可得：（a），（b），（c），即不满足（a）（b）（c），得解．‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 则函数在为增函数，‎ 又实数，满足（a）（b）（c），‎ 则（a），（b），（c）为负数的个数为奇数，‎ 对于选项，，选项可能成立，‎ 对于选项，‎ 当时，‎ 函数的单调性可得：（a），（b），（c），‎ 即不满足（a）（b）（c），‎ 故选项不可能成立，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，属于中档题．‎ ‎12．函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）‎ A．12 B．22 C．23 D．32‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，‎ 构造，分析得到，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由得，‎ 令，‎ ‎，，得.‎ 的最大值为22.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的最值的求法，注意运用转化思想，以及二次函数在闭区间上的最值求法，考查运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．向量满足，，则向量的夹角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过向量的垂直关系，结合向量的数量积求解向量的夹角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 向量，满足，，‎ 可得：，，‎ 向量的夹角为，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的余弦函数值的求法．考查计算能力．属于基础题.‎ ‎14．从某工厂生产线上随机抽取16件零件，测量其内径数据从小到大依次排列如下（单位：）：1.12，1.15，1.21，1.23，1.25，1.25，1.26，1.30，1.30，1.32，1.34，1.35，1.37，1.38，1.41，1.42，据此可估计该生产线上大约有25%的零件内径小于等于_____，大约有30%的零件内径大于_____．‎ ‎【答案】1.23 1.35 ‎ ‎【解析】利用，，据此可估计该生产线上大约有的零件内径小于等于，大约有的零件内径大于．‎ ‎【详解】‎ 从某工厂生产线上随机抽取16件零件，‎ 测量其内径数据从小到大依次排列如下（单位：‎ ‎1.12，1.15，1.21，1.23，1.25，1.25，1.26，1.30，1.30，1.32，1.34，1.35，1.37，1.38，1.41，1.42．‎ ‎，，‎ 据此可估计该生产线上大约有的零件内径小于等于，‎ 大约有的零件内径大于．‎ 故答案为：1.23，1.35．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查满足条件的内径的求法，考查数据处理能力等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎15．_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先通分，再利用二倍角的正弦公式和和角的余弦公式化简即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换和三角化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎16．已知正整数数列满足，对于给定的正整数，若数列中首个值为1的项为，我们定义，则_____．设集合，则集合中所有元素的和为_____．‎ ‎【答案】4 100 ‎ ‎【解析】根据已知中数列满足，数列中首个值为1的项为．我们定义．分类讨论可得答案．‎ ‎【详解】‎ 正整数数列满足，‎ 故，，，，‎ 即（7），‎ 若，则且，‎ 若为奇数，则，不题意；‎ 若为偶数，则，‎ ‎（1）若为奇数，则，‎ 若为奇数，则，‎ ‎①若为奇数，则，‎ ‎②若为偶数，则，‎ 若为偶数，则，‎ ‎①若为奇数，则，‎ ‎②若为偶数，则，‎ ‎（2）若为偶数，则，‎ 若为奇数，则，‎ ‎①若为奇数，则，‎ ‎②若为偶数，则，‎ 若为偶数，则，‎ ‎①若为奇数，则，‎ ‎②若为偶数，则，‎ 综上可得：，10，11，12，13，14，15，‎ 则集合中所有元素的和为100．‎ 故答案为：4，100‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是数列的递推公式，归纳推理思想，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．某高中非毕业班学生人数分布情况如下表，为了了解这2000个学生的体重情况，从中随机抽取160个学生并测量其体重数据，根据测量数据制作了下图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）为了使抽取的160个样品更具代表性，宜采取分层抽样，请你给出一个你认为合适的分层抽样方案，并确定每层应抽取的样品个数；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，求的值，并估计全体非毕业班学生中体重在内的人数；‎ ‎（3）已知高一全体学生的平均体重为，高二全体学生的平均体重为，试估计全体非毕业班学生的平均体重.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ；1350人；(3) 平均体重为.‎ ‎【解析】（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生，高一女生，高二男生，高二女生，高一男44人，高一女52人，高二男34人，高二女30人，由此能求出结果．（2）体重在之间的学生人数的率，从而，体重在，内人数的频率为0.675，由此能求出估计全体非毕业班学生体重在，内的人数．（3）设高一全体学生的平均体重为：，频率为，高二全体学生的平均体重为，频率为，由此能估计全体非毕业班学生的平均体重．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：‎ 高一男生、高一女生、高二男生、高二女生 高一男：人,高一女：人 高二男： ,高二女：人 可能的方案一:按性别分为两层，男生与女生 男生人数：人,女生人数：人 可能的方案二：按年级分为两层，高一学生与高二学生 高一人数：人,高二人数：人 ‎（2）体重在70-80之间学生人数的频率：‎ 体重在内人数的频率为：‎ ‎∴估计全体非毕业班学生体重在内的人数为：人 ‎（3）设高一全体学生的平均体重为，频率为 高二全体学生的平均体重为，频率为 则估计全体非毕业班学生平均体重为 答：估计全校非毕业班学生平均体重为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图、频率、分层抽样、平均数等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎18．在公比不为1的等比数列中，，且依次成等差数列 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，设数列的前项和，求证：‎ ‎【答案】(1) (2) 见证明 ‎【解析】（1）根据已知条件得到关于的方程组，解方程组得的值，即得数列的通项公式；（2）先求出，‎ ‎，再利用裂项相消法求，不等式即得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设公比为，，，成等差数列，可得，‎ 即，解得（舍去），或，‎ 又，解得 所以.‎ ‎（2）‎ 故，‎ 得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列通项的求法，考查等差数列前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎19．在中，角的对边分别为，已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得B的值；（2）先根据已知求出，再求面积的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），即 可得，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由，可得；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，‎ 由三角形为锐角三角形，‎ 可得且 解得，‎ 可得面积 ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎20．某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量（吨）（）函数关系为，且函数是上的连续函数 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？‎ ‎【答案】(1) ； (2) 当产量吨，平均生产成本最低.‎ ‎【解析】（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 由函数是上的连续函数.‎ 即，代入得 ‎（2）设平均生产成本为，‎ 则 当中，，函数连续且在单调递减，单调递增 即当，元 当，，由，当且仅当取等号，即当，元 综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.‎ ‎21．设向量，，令函数，若函数的部分图象如图所示，且点的坐标为.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求函数的单调增区间及对称轴方程；‎ ‎（3）若把方程的正实根从小到大依次排列为，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) 单调递增区间为；对称轴方程为，；(3)14800‎ ‎【解析】（1）先求出，令求出点B的坐标；（2）利用复合函数的单调性原理求函数的单调增区间，利用三角函数的图像和性质求对称轴方程；（3）由（2）知对称轴方程为，，所以，，…，，即得解.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）‎ 由已知，得 ‎∴‎ 令，得，，∴，.‎ 当时，，∴得坐标为 ‎（2）单调递增区间，得，‎ ‎∴单调递增区间为 对称轴，得，‎ ‎∴对称轴方程为，‎ ‎（3）由，得，‎ 根据正弦函数图象的对称性，且由（2）知对称轴方程为，‎ ‎∴，，…，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎22．已知函数，‎ ‎（1）写出函数的解析式；‎ ‎（2）若直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围；‎ ‎（3）若直线 与曲线在内有交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】（1）先分类讨论求出|f(x)|的解析式，即得函数的解析式；（2）当时，直线与曲线只有2个交点，不符题意．当时，由题意得，直线与曲线在或内必有一个交点，且在的范围内有两个交点．由消去得．令，写出应满足条件解得；（3）由方程组消去得．由题意知方程在，内至少有一个实根，设两根为，，不妨设，，．由根与系数关系得，．代入求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当，得或，此时；‎ 当，得，此时 ‎∴‎ ‎（2）当时，直线与曲线只有2个交点，不符题意.‎ 当时，由题意得，直线与曲线在或 内必有一个交点，且在的范围内有两个交点.‎ 由，消去得.‎ 令，则应同时满足以下条件：‎ ‎，‎ 解得或，所以的取值范围为 ‎（3）由方程组，消去得.‎ 由题意知方程在内至少有一个实根，设两根为，‎ 不妨设，，由根与系数关系得，‎ ‎∴‎ 当且仅当时取等.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与方程，涉及了分段函数、零点、韦达定理等内容，综合性较强，属于难题．‎