【推荐】专题2-3+抛物线-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x 10页

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若抛物线上有且只有一个点到其焦点的距离为1，则的值为 A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，即．故选B．‎ ‎2．抛物线的焦点坐标为 A． B．‎ C． D．‎ ‎ 【答案】C ‎3．若抛物线上一点P到其焦点的距离为5，则点P的坐标为 A．(4，4) B．(4，－4)‎ C．(4，±4) D．(－4，±4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，∵点P到焦点的距离等于到准线的距离，∴，，故选C．‎ ‎4．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】易得双曲线方程的右顶点的坐标是(4，0)，所以所求抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为，则由，得，故所求抛物线的标准方程为．故选A．‎ ‎5．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A．‎ ‎6．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，且PA⊥l，垂足为A．若，则等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎7．如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为，准线为，根据抛物线的定义，到焦点F的距离等于到准线的距离，即，所以．故选A．‎ ‎8．过点P(0，1)的直线l交抛物线于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若点Q的横坐标为1，则点Q到抛物线焦点的距离为 A． B．‎ C． D．‎ ‎ 【答案】B ‎9．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于点A，B，交抛物线的准线于点C，若，则 A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线AB的倾斜角为，，，过点B作准线的垂线，垂足为D，则，那么，易得，于是直线AB的方程为，代入，得，故，所以 ‎．故选B．‎ ‎10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】设抛物线方程为，分别交轴于点，则，即点纵坐标为，点横坐标为，即，，，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B．‎ 二、填空题：请将答案填在题中横线上．‎ ‎11．（2016浙江）若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的准线方程为，由题意可得，即．故M到y轴的距离是．‎ ‎12．若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点______________．‎ ‎【答案】(0，3)‎ ‎【解析】直线是抛物线的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线 的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．‎ ‎13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，，则抛物线的方程是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎14．已知点是坐标平面内一定点，若抛物线的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则的最小值是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的准线方程为，如图，由图知，当MQ∥x轴时，取得最小值，设N为MQ与准线的交点，此时．‎ ‎15．抛物线上一点P直线的距离与到点Q(2，2)的距离之差的最大值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎16．直线与抛物线的准线及直线所围成的三角形的面积为，则抛物线的焦点坐标为______________．‎ ‎【答案】(0，)或(0，)‎ ‎【解析】可变为，准线方程为．如图，因为直线的斜率为，所以为等腰直角三角形，因为，所以，所以，所以或，所以抛物线的焦点坐标为(0，)或(0，)．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．抛物线的顶点在坐标原点O，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足，求直线l的方程和抛物线的标准方程．‎ ‎【答案】直线l的方程为，抛物线的标准方程为．‎ ‎18．已知抛物线的焦点为F，过准线l与x轴的交点E，斜率为k的直线m交抛物线于A，B两点．‎ ‎（1）若，试求直线m的方程；‎ ‎（2）若，证明：．‎ ‎【答案】（1）或；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】由题意可得，F(1，0)，，所以E(－1，0)．‎ 由题意得直线，设，，‎ 由消元化简得，‎ 则，．‎ ‎（1）因为，且，，‎ 所以，所以，解得，‎ 所以直线m的方程为或．‎ ‎（2）因为，所以，且，即．‎ 由可得，解得．‎ 因为，，所以，所以，‎ 所以，即．‎ ‎19．已知抛物线C：的焦点为F，直线交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．‎ ‎（1）若直线AB过焦点F，求的值；‎ ‎（2）是否存在实数，使是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在实数，使是以Q为直角顶点的直角三角形．‎ ‎（2）假设存在实数，使是以Q为直角顶点的直角三角形，‎ 由点P是线段AB的中点，可得，‎ 由C：可得．‎ 由题意可得，即，‎ 即，‎ 化简得，‎ 即，‎ 化简得，解得(负值舍去)．‎ 故存在实数，使是以Q为直角顶点的直角三角形．‎ ‎ ‎ ‎ ‎