数学理（A）卷·2019届北京人大附中高二上学期期末考试仿真卷（2018-01） 18页

2017-2018 学年上学期高二年级期末考试仿真测试卷 理 科 数 学 （A） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2017·尚德中学]设 ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 2．[2017·内江一模]已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是 （ ） A． B． C． D． 3．[2017·莲塘二中]已知 ， ， ，则 的最小值是 （ ） A． B． C． D． 4．[2017·枣庄二中]已知 是公差为 2 的等差数列，若 ，则 （ ） A．6 B．12 C．14 D．18 5．[2017·北师附中]在等比数列 中， ， ，则 等 于（ ） A．9 B．72 C．9 或 72 D．9 或－72 6．[2017·北京十一中]在平行六面体 中， 为 与 的交 点．若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ） A． B． C． D． 7．[2017·阳朔中学]在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 8．[2017·豫北联考]若“ ”是“ ”的必要不充分条件， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．[2017·莆田二十四中]已知向量 与平面 垂直，且 经过点 ，则点 到 的距离为 （ ） A． B． C． D． 10．[2017·育才中学]已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点 ，使 ，则该椭圆离心率的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 11．[2017·江淮十校]如图，正四面体 中， 、 分别是棱 和 的中 点，则直线 和 所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 12．[2017·淮北一中]抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ， 是抛 物线上的两个动点，且满足 ，设线段 的中点 在 上的投影为 ， 则 的最大值是（ ） A．2 B． C． D．1 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．[2017·扬州中学]命题 “若 ，则 ”的否命题是_________（填：真、 假）命题． 14．[2017·辽宁期末]已知 ， ， ， ， 若 为假命题，则实数 的取值范围是__________． 15．[2017·遵义航天高级中学]已知椭圆 的左右焦点为 ，离心率为 ，过 的直线 交 于 两点．若 的周长为 ， 则 的方程为__________． 16 ． [2017 上 饶 模 拟 ] 如 图 ， 在 长 方 体 中 ， ，点 为线段 上的动点(包含线段端点)，则下列结 论正确的__________． ①当 时， 平面 ； ②当 时， 平面 ； ③ 的最大值为 ； ④ 的最小值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．[2017·石室中学]已知命题 ：实数 满足 ，其中 ； 命题 ：方程 表示双曲线． （1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 18．[2017·烟台期中]位于 处的雷达观测站，发现其北偏东 ，与 相距 海里的 处有一货船正以匀速直线行驶，20 分钟后又测得该船只位于观测站 北偏东 （ ）的 处， ，在离观测站 的正南方某 处 ，测得 ． （1）求 ； （2）求该船的行驶速度 （海里/小时） 19．[2017·内江一模]设数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和． 20．[2017·天津一中]某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的 广告，广告总费用不超过 9 万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/ 分钟和 200 元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司 带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的 时间分别为 分钟和 分钟． （1）用 ， 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并 求出最大收益是多少? 21．[2017·枣庄三中]如图，四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求锐角二面角 的余弦值． 22．[2017·南阳一中]已知点 ， 为坐标原点， ， 是椭圆 上的两个动点，满足直线 与直线 关于直线 对称． （1）证明直线 的斜率为定值，并求出这个定值； （2）求 的面积最大时直线 的方程． 理 科 数 学 （A）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】对于 A：当 ， ，此时满足 ，但 ，故 A 错； 对于 B： 时， ， ，故 B 对； 对于 C：当 ， 时，此时满足 ，但 ，故 C 错； 对于 D：当 ， 时，满足 ，但 故 D 错；故选 B． 2．【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示： 由 ，则 ，平移直线 ，由图象可知当直线 ， 经过点 时，直线 的截距最小，此时 最小，由 ，得 ， 即 ，此时 ，故选 D． 3．【答案】C 【解析】由题意可得： ， ， 据此结合均值不等式有： ，当且仅当 时等号成立，综上可得： 的最小值是 ．本题选 C． 4．【答案】C 【解析】 是公差为 2 的等差数列，因为 ， ， ， ，故选 C． 5．【答案】D 【解析】设等比数列 的公比为 ，∵ ， ，∴ ， 解得 或 ，故 或 ，故选 D． 6．【答案】B 【解析】 ，故 选 B． 7．【答案】C 【解析】 中， ， ， ， 由正弦定理 ， 可得 ， ， ， ，故选 C． 8．【答案】D 【 解 析 】 ， ， 解 得 ； ；由题意得 或 ， 解得 或 ，选 D． 9．【答案】B 【 解 析 】 ∵ ． 平 面 的 法 向 量 ． ∴点 到 的距离 ．故选 B． 10．【答案】D 【 解 析 】 在 中 ， 由 正 弦 定 理 知 ， ， ，即 ．① 又 在椭圆上， ，将①代入得 ， 同除以 得， ，得 ．故答案为：D． 11．【答案】B 【解析】如图所示，作 AO⊥底面 BCD，垂足为 O，O 为底面等边△BCD 的中心， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ． 不 妨 取 CD=2 ． 则 ： ， ， ， ，设点 M 是线段 CD 的中点，则 ， ， ， ， ， ， ． 利用空间向量求解余弦值有： ． ∴异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 ． 12．【答案】D 【解析】设 ， ，连接 ， ，由抛物线定义，得 ， ，在梯形 中， ，由余弦定理得， ， 配 方 得 ， 又 ， ， 得 到 ， ，即 的最大值为 ，故选 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】假 【解析】命题 的否命题为：若 ，则 ，取 ， 可得该否命 题为假命题． 14．【答案】 【解析】由题设可得 ， 都为假命题，因 ， ，则 ， 恒成立是真命题，即 ；又 ， 是假命题，故 ， 是真命题，即， ，得 或 ，故 ，应填答案 ． 15．【答案】 【解析】因为离心率为 ，过 的直线 交 于 两点．若 的周长 为 ，所以 ，解得 ， ， ，椭圆 的方程为 ，故答案为 ． 16．【答案】①② 【解析】以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，设 ， ． 对于①，当 ，即 ， 解得 ， ， 设平面 的法向量为 ，则由 ， 解得 ，由于 ，所以 平面 成立． 对于②，当 时，即 ，解得 ， 由 可知 平面 成立． 对于③，设 ，即 ，解得 ， 由 ，其分子化简得 ，当 时， ，故 的最大值可以为钝角，③错误． 对于④，根据③计算的数据， ， ， ， 在对称轴 ，即 时取得最小值为 ，故④错误． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】命题 ：由题得 ，又 ，解得 ； 命题 ： ，解得 ． （1）若 ，命题 为真时， ，当 为真，则 真且 真， ∴ ，解得 的取值范围是 ． （2） 是 的充分不必要条件，则 是 的充分不必要条件， 设 ， ，则 ； ∴ ，∴实数 的取值范围是 ． 18．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1） ， ， ； （2）利用余弦定理， ， ， 该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 海里， 该船的行驶速度 （海里/小时）． 19．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1） 数列 满足 ， 当 时， ， 当 时， ，即 ，当 时， 满足上式 ， 数列 的通项公式 ． （2）由（1）知， ， ． 20．【答案】（1）详见解析；（2）该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视 台做 200 分钟广告使公司的收益最大，最大收益是 70 万元． 【解析】（1）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟， 则 ， 满足的数学关系式为 ， 该二次元不等式组等价于 ， 做出二元一次不等式组所表示的平面区域． （2）设公司的收益为 元，则目标函数为： ， 考虑 ，将它变形为 ． 这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线，当截距 最大，即 最大． 又因为 ， 满足约束条件，所以由图可知， 当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即 最大． 解方程组 ，得 ， 代入目标函数得 ． 答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收 益最大，最大收益是 70 万元． 21．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ， ， 因为四边形 是边长为 的菱形，所以 ， 因为 ，所以 是等边三角形， 所以 ， ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ． 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ． (2)因为 ，所以 ， 由（1）知，平面 平面 ，所以 平面 ， 所以直线 ， ， 两两垂直，以 为原点建立空间直角坐标系 ， 如图， 则 ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ， 由 ，取 ，得 ， 设平面 的法向量为 ， 由 ，取 ，得 ， 所以 ，由图可知二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 ． 22．【答案】（1）直线 的斜率为定值，其值为 ；（2） 或 ． 【解析】（1）设直线 方程为： ，代入 得： ， 设 ， ，因为点 在椭圆上， 所以 ， ， 又由题知，直线 的斜率与 的斜率互为相反数，在上式中以 代 ，可得 ， ， 所以直线 的斜率 ， 即直线 的斜率为定值，其值为 ． （2）由（1）可设直线 方程为： ，代入 得： ，则 ， ．由 可得 ． ， 到直线 的距离 ， 可得 ， 当且仅当 （满足 ），即 时取等号， 此时直线 的方程为： ，或 ．