2017-2018学年山西省孝义市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版 17页

绝密★启用前 山西省孝义市 2017-2018 学年高二下学期期末考试数学（理） 试题 评卷人 得分 一、单选题 1．设复数 z 满足1 1 z iz   ，则 z  （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 【答案】A 【解析】 试题分析： 1 1 11 1 z ii z i zz i          考点：复数的预算 2．当函数 取极小值时， 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：对函数求导，由 ，即可得出结论． 详解 即 故选：B． 点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题 3．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌中选 出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 【答案】B 【解析】 3 1 6 2P   ,所以选 B. 4．曲线 在点 处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先求函数 的导数，因为函数图象在点 处的切线的斜率 为函数在 处的导数，就可求出切线的斜率． 详解： ∴函数图象在点 处的切线的斜率为 1． 故选：C． 点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属 基础题． 5．函数 的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：对 求导，令 ，即可求出函数 的单调递减区间. 详解：函数 的定义域为 ， 得到 . 故选 D 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题. 6． 的展开式中 的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析： 的展开式的通项公 ． 令 ，解得 令 ，解得 ．即可得出． 详解： 的展开式的通项公 ， 令 ，解得 ． 令 ，解得 ． ∴ 的展开式中的 系数为 故选：C． 点睛：本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 次，正面向上的次数为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：将一枚硬币连续抛掷 5 次，正面向上的次数 ，由此能求 出正面向上的次数 的分布列 详解：将一枚硬币连续抛掷 5 次，正面向上的次数 . 故选 D. 点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意 二项分布的合理运用． 8．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手， 甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”. 若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如 果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立. 详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意； 若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意； 若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意； 若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意； 故选 A. 点睛：本题考查合情推理，属基础题. 9．小赵、小钱、小孙、小李到 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “ 个人去 的景点彼此互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率， 求出相应基本事件的个数，即可得出结论． 详解：小赵独自去一个景点，则有 3 个景点可选，其余 3 人只能在小赵剩下的 3 个景点 中选择，可能性为 种 所以小赵独自去一个景点的可能性为 种 因为 4 个人去的景点不相同的可能性为 种， 所以 ． 故选：D． 点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键． 10．设 a R ，若函数 3axy e x  ， x R 有大于零的极值点，则（ ） A. 3a   B. 3a   C. 1 3a   D. 1 3a   【答案】B 【解析】试题分析：设 3axy e x  ，则   3 axf x ae  ，若函数在 x∈R 上有大于零 的极值点． 即   3 0axf x ae    有正根，当有   3 0axf x ae    成立时，显然有 0a  ， 此时 1 3lnx a a      ．由 0x  ，得参数 a 的范围为 3a   ．故选 B． 考点：利用导数研究函数的极值． 视频 11．定义域为 的可导函数 的导函数 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：构造函数 ，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得 出 x 的范围． 详解：设 ，则 即函数 单调递增． ， 则不等式等价于 ， ∵函数 单调递增． ， ∴不等式的解集为 ， 故选 A． 点睛：本题考查函数的构造和利用导函数判断函数的单调性，属中档题． 12．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ， 则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：根据题意，设 ，求出导数，分析可得 ， 则函数 在区间 上为减函数，结合函数 的定义域分析可得：原不 等式等价于 ，解可得 的取值范围，即可得答案． 详解：根据题意，设 ， 其导数 ， 又由 且 ， 则 ，则函数 在区间（ 上为减函数， 又由函数 在区间 上为减函数， 则有 ， 解可得： ， 即不等式 的解集为 ； 故选：C． 点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意构造新函数 g（x），并分析 g（x） 的单调性． 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为 ，那么播下 粒这样的种子恰有 粒发芽 的概率是__________． 【答案】 【解析】分析：每 1 粒发芽的概率为 ，播下 3 粒种子相当于做了 3 次试验，由题意知 独立重复实验服从二项分布，即 ，根据二项分布的概率求法，求出结果． 详解：：∵每 1 粒发芽的概率为定值，播下 3 粒种子相当于做了 3 次试验， 由题意知独立重复实验服从二项分布即 即答案为 ． 点睛：二项分布要满足的条件是每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的 事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这 n 次 独立重复试验中事件发生的次数． 14．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 __________． 【答案】0.3 【解析】分析：随机变量 服从正态分布 ，且 ，利用正态分布的 性质，答案易得． 详解：随机变量ξ服从正态分布 ，且 ，， 故答案为：0.3． 点睛：本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布 曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题， 识图很重要． 15．观察等式： ， ， .照此规律， 对于一般的角 ， ，有等式__________． 【答案】 【解析】分析：观察等式已知条件所给等式，据此，判断出对于一般的角α，β，有什 么规律即可． 详解： … ∴对于一般的角 ， ，有等式： ． 故答案为： ． 点睛：本题主要考查了归纳推理的灵活运用，解答此题的关键是仔细观察已给等式，并 从中找出规律． 16．若函数 的单调递增区间是 ，则 的值是 __________． 【答案】1 【解析】分析：求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求 的单调区间； 详解： 若 ，则 ，即 在 上单调递增，不符题意，舍； 若 ，令 ，可得 或 （舍去） x (0， 2−a a 2−a a （ 2−a a f′（x） - 0 + f（x） 减 增 ) ，+∞） ∴ 在 上是减函数，在 上是增函数； 根据题意若函数 的单调递增区间是 ，则 即答案为 1. 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力， 正确转化是关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．证明：当 时， . 【答案】见解析 【解析】分析：（1）记 ，则 ，分 x∈ 与 x∈ 两类 讨论，可证得当 时， ，即 记 ，同理可证当 时， ，二者结合即可证得结论； 详解： 记记 ，则 ， 当 x∈ 时，F′(x)＞0，F(x)单调递增； 当 x∈ 时，F′(x)＜0，F(x)单调递减． 又 F(0)＝0，F(1)＞0，所以当 x∈[0，1]时，F(x)≥0，即 sinx≥ x. 记 ，则 . 当 时，H′(x)≤0，H(x)单调递减． 所以 H(x)≤H(0)＝0，即 . 综上， ， ． 点睛：本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题， 考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题． 18．为了调查患胃病是否与生活规律有关，在某地对 名 岁以上的人进行了调查， 结果是：患胃病者生活不规律的共 人，患胃病者生活规律的共 人，未患胃病者生活 不规律的共 人，未患胃病者生活规律的共 人. （1）根据以上数据列出 列联表； （2）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“ 岁以上的人患胃病与否和生活规 律有关系？” 附： ，其中 . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：（1）由已知作出 列联表即可； （2）由列联表，结合计算公式，求得 = ，，由 此判断出两个量之间的关系． 详解： (1)由已知可列 2×2 列联表： 患胃病 未患胃病 总计 生活规律 20 200 220 生活不规律 60 260 320 总计 80 460 540 (2)根据列联表中的数据，得 K2 的观测值 ， 因为 9.638>6.635，因此在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“40 岁以上的人患胃 病与否和生活规律有关”． 点睛：本题考查独立性检验的应用，解题的关键是给出列联表，再熟练运用公式求出卡 方的值，根据所给的表格判断出有关的可能性． 19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析 研究，他们分别记录了 月 日至 月 日的每天昼夜温差与实验室每天每 颗种子中 的发芽数，得到如下资料： 日期 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 温差 发芽数 （颗） 该农科所确定的研究方案是：先从这 组数据中选取 组，用剩下的 组数据求线性回归 方程，再对被选取的 组数据进行检验. （1）求选取的 组数据恰好是不相邻两天数据的概率； （2）若选取的是 月 日与 月 日的数据，请根据 月 日至 月 日的数据求出 关于 的线性回归方程 ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 颗.则认 为得到的线性回归方程是可靠的.试问（2）中所得到的线性回归方程是可靠的吗？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， . 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析 【解析】分析：（1）根据题意列举出从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种 情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有 6 种．根据等可能事件的概率 做出结果． （2）根据所给的数据，先求出 ， ，即求出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法 求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程． （3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，就认为得到的线性回归 方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的． 详解： (1)设“选取的 2 组数据恰好是不相邻两天的数据”为事件 A. 从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2， 3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中数据为 12 月份的日期数． 每种情况都是等可能出现的，事件 A 包括的基本事件有 6 种． ∴ .∴选取的 2 组数据恰好是不相邻两天数据的概率是 . (2)由数据可得 ， . ∴ ， . ∴y 关于 x 的线性回归方程为 . (3)当 x＝10 时， ，|22－23|<2； 同理，当 x＝8 时， ，|17－16|<2. ∴(2)中所得到的线性回归方程是可靠的． 点睛：本题考查等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查 估计验算所求的方程是否是可靠的，属中档题.． 20．从某企业生产的某种产品中抽取 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量 结果得如频率分布直方图： （1）求这 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表）； （2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为 样本平均数 ， 近似为样本方差 . ①利用该正态分布，求 ； ②某用户从该企业购买了 件这种产品，记 表示这 件产品中质量指标值位于区间 的产品件数.利用①的结果，求 . 附： .若 ，则 ， . 【答案】（1） ， ；（2）68.26 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i） 由（Ⅰ）知 Z～N（200，150），从而求出 P（187．8＜Z＜212．2），注意运用所给数据； （ii）由（i）知 X～B（100，0．6826），运用 EX=np 即可求得 试题解析：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2 分别为 ＝170×0．02＋180×0．09＋190×0．22＋200×0．33＋210×0．24＋220×0．08＋230×0．02 ＝200． s2＝（－30）2×0．02＋（－20）2×0．09＋（－10）2×0．22＋0×0．33＋102×0．24＋202×0．08 ＋302×0．02＝150．…6 分 （2）（i）由（1）知，Z～N（200，150）， 从而 P（187．8＜Z＜212．2）＝P（200－12．2＜Z＜200＋12．2）＝0．682 6． （ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为 0．682 6， 依题意知 X～B（100，0．682 6）， 所以 EX＝100×0．682 6＝68．26． 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差 21．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为 ；若初检不合格，则需要进行调试， 经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为 .每台仪器各 项费用如表： 项目 生产成本 检验费/次 调试费 出厂价 金额（元） （1）求每台仪器能出厂的概率； （2）求生产一台仪器所获得的利润为 元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验 费-调试费）； （3）假设每台仪器是否合格相互独立，记 为生产两台仪器所获得的利润，求 的分布 列和数学期望. 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据对立事件的概 率可得结果；（Ⅱ）由表可知生产一台仪器所获得的利润为 元即初检不合格再次检 测合格，根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；（Ⅲ）由题意可得 可取 ， ， ， ， ， ，根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列 及期望. 试题解析：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件 ，则 ， 所以每台仪器能出厂的概率 ． （Ⅱ）生产一台仪器利润为 1600 的概率 ． （Ⅲ） 可取 ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 的分布列为： 3800 3500 3200 500 200 ． 22．已知函数 有两个不同的零点 ， . （1）求 的取值范围； （2）求证： . 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围求出函数的单调区间，从而求 出 的范围即可； （2）构造函数 ，则 可证当 时， 在 上 ，有 ，即 . 将 代入上面不等式中即可证明 . 详解： （1） ，若 ，则 ， 在 上单调递增， 至多有一个零点，舍去；则必有 ，得 在 上递减， 在 上递增，要使 有两个不同的零点，则须有 ． （严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当 时， ；当 时， ）. （2）构造函数 ，则 . 当 时， ，但因式 的符号不容易看出，引出辅助函数 ，则 ，得 在 上 ，当 时， ， 即 ，则 ，即 ， ， 得 在 上 ，有 ，即 . 将 代入上面不等式中得 ，又 ， ， 在 上 ，故 ， . 点睛：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属 于难题．