2018-2019学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版 24页

绝密★启用前 安徽省黄山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )‎ A．直线a上的点到平面α的距离相等 B．直线a平行于平面α内的所有直线 C．平面α内有无数条直线与直线a平行 D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线a平行于平面α，则对于A中，直线a上的点到平面α的距离相等是正确的；对于B中，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C中，平面α内有无数条直线与直线a平行是正确的；对于D中，平面α内存在无数条直线与直线a成90°角是正确的，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，‎ 所以,则，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知，则“直线与直线垂直”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，“直线与直线垂直”‎ 则，解得或，‎ 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎4．设矩形边长分别为，将其按两种方式卷成高为和的圆柱（无底面），其体积分别为和,则与的大小关系是( )‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别求得卷得圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，求解两圆柱的体积，比较即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当卷成高为的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为，则，‎ 解得，则圆柱的体积为，‎ 当卷成高为的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为，则，‎ 解得，则圆柱的体积为，‎ 又由，所以，即，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆柱的侧面展开图，以及圆柱的体积的计算问题，其中解答解答中，根据题意求解两圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，准确求解圆柱的体积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎5．若从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，则直线一定经过第四象限的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用列举法求得基本事件的总数，再列举出所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，‎ 得到的取值的所有可能了结果共有：‎ ‎，共计9种结果，‎ 由直线，即，其中当时，直线不过第四象限，‎ 共有，共计4种，‎ 所以当直线一定经过第四象限时，共有5中情况，‎ 所以概率为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及直线方程的应用，其中解答中根据题意列举出基本事件的总数，进而利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎6．若直线与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，‎ 又由点在直线上，代入求得直线的方程，即可求解答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，‎ 又由点在直线上，即，‎ 整理得，令，即时，，‎ 可得直线过定点，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线过定点问题，以及直线关于点的对称问题，其中解答中根据对称性求得直线的方程，进而判定直线过定点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，它的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为( )‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，分别求解当双曲线的焦点在轴上和双曲线的焦点在轴上时，得出的关系式，进而求解双曲线的离心率，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当双曲线的焦点在轴上时，见解析的方程为，即，即 ‎ 可双曲线的离心率为；‎ 当双曲线的焦点在轴上时，见解析的方程为，即，即 ‎ 可双曲线的离心率为，‎ 所以双曲线的离心率为或，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及双曲线的渐近线方程的应用，其中解答中根据双曲线的焦点的位置，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知几何体为三棱锥，且该三棱锥的底面为底边边长为2，高为2的等腰三角形，高为，利用体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知几何体为三棱锥，如图所示，根据三视图可知，该三棱锥的底面为底边边长为2，高为2的等腰三角形，高为，底面面积为，‎ 所以该三棱锥的体积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.‎ ‎9．若直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线斜率的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线将圆平分得直线过圆心，再由直线不经过第四象限，即可求解直线的斜率点取值范围，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，可知圆心坐标为，‎ 因为直线将圆平分，所以直线过圆心，又由直线不经过第四象限，‎ 所以直线的斜率的最小值为，斜率的最大值为，‎ 所以直线的斜率的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎10．设实数对满足，则该实数对满足的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，得到表示的区域为圆及圆内的部分，又由不等式表示直线的右上方的部分，作出图形，求得其面积，根据面积比的几何概型，即可求解概率.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知圆，表示圆心坐标，半径是的圆，‎ 其中表示的区域为圆及圆内的部分，‎ 又由不等式表示直线的右上方的部分，‎ 如图所示，则阴影部分的面积为，‎ 又由圆的面积为，所以概率为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算问题，其中解答中根据题意，画出相应的图形，分别求解其面积，利用面积比求解概率是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎11．两圆与只有一条公切线，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，再由题意可知两圆相内切，求得，利用基本不等式即可求解的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知两圆相内切，又由两圆的标准方程为，‎ 可的圆心分别为，半径分别为2和1，‎ 则，所以，‎ 又由，当且仅当时等号成立，‎ 所以，所以的最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两圆的位置关系的应用，以及利用基本不等式求最值，其中解答中根据两圆的位置关系，求得是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，设点P是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且，则根据椭圆和双曲线的定义求得，再由曲线的离心率得到，在中，由正弦定理化简可得，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，‎ 由题意，设点P是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且，‎ 则根据椭圆和双曲线的定义可得 ，则，‎ 又由，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 即，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的定义和性质的应用，其中解答中根据椭圆和双曲线的离心率的定义，借助在中，合理利用正弦定理运算求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题“,使得”的否定是_____．‎ ‎【答案】,都有 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据全称命题与存在性命题的否定关系，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“,使得”的否定是“,都有”.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎14．如图，圆与圆 交于、两点，则公共弦的长是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两圆的方程相减求得公共弦的方程，在根据圆的弦长公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由圆与圆 可得公共弦AB的方程为，‎ 整理得公共弦AB的方程为，‎ 因为圆的圆心，半径为，‎ 圆心到直线AB的距离为，‎ 所以公共弦AB的长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系及弦长的求法，其中解答中根据两圆的方程相减，得到公共弦的方程，再由圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎15．长方体中， ，则异面直线所成角的余弦值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，以D点为原点，建立适当的空间直角坐标系，求得，利用空间向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，以D点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则,‎ 所以，‎ 可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．已知抛物线，斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则点到直线的距离为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线AB的方程为，线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切与点P，列出方程，求得，得出直线AB的方程，从而求出点P的坐标和AB的方程，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 设直线AB的方程为，‎ 代入抛物线可得，‎ 设，AB的中点为,‎ 则，所以，‎ 所以，‎ 因为线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切与点P，所以，‎ 解得，即直线AB的方程为，即，‎ 所以点P的坐标为，‎ 所以点P到直线AB的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的标准方程及简单的几何性质，以及直线与抛物线位置关系的应用，其中设出直线，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系和题设条件，列出方程求得的值，得出直线的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设命题在矩形中，，线段上存在一点，使得；命题，函数图象与轴没有交点．如果命题“ ”是真命题，且“ ”是假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，由于，则点在以为直径的圆上，所以直线与圆有公共点，根据，求得；再由命题中，根据，求得，再根据命题一真一假，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，若命题为真：如图,由于，则点在以为直径的圆上，所以直线与圆有公共点，‎ 因此，解得 若命题为真：‎ 由题可知，命题一真一假，则或 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据复合命题的真假求得参数的取值范围问题，其中解答中根据圆的性质和二次函数的图象与性质，正确求解命题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆直径，．分别为上的动点，且．‎ ‎（Ⅰ）若该圆柱有一个内切球，求圆柱的侧面积和内切球的体积．‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由圆柱有一个内切球，求得，进而得到圆柱的底面半径和高，进而求得求得半径，利用球的体积公式，即可求解. ‎ ‎（Ⅱ）由题意，以C为坐标原点，所在方向分别为的正方向建立空间直角坐标系分别求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题可知，由于圆柱有一个内切球，‎ 所以．‎ 因此，圆柱的底面半径为，高为，‎ 所以圆柱的侧面积为 由题可知，圆柱的内切球的半径为，‎ 所以该内切球的体积 ‎（Ⅱ）由于，，所以分别为AC、BC的中点．‎ 由题可知两两垂直，所以可以以C为坐标原点，所在方向分别为的正方向建立空间直角坐标系（如图）．‎ 由（Ⅰ）的条件可得： ‎ ‎，‎ ‎，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了组合体的结构特征的应用，球的体积的计算，以及利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中正确认识组合体的结构特征，以及建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．如图所示，在平面直角坐标系中，平行于轴且过点的入射光线 被直线反射，反射光线交轴于点，圆过点，且与、相切．‎ ‎（Ⅰ）求所在直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求圆的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设与交于点D， 求得D点的坐标，进而利用直线的倾斜角求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解.‎ ‎（Ⅱ）设圆心，根据圆心在过点且与垂直的直线上，且点在点的下方，求得，再由圆心C在过点A且与垂直的直线上，求得的值，进而求得圆的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）如图，直线 ：，设与交于点D，则D（，2）.‎ 的倾斜角为30° 的倾斜角为60°，即 所以反射光线所在直线方程为，‎ 即.‎ ‎（Ⅱ）设圆心，由题意可知：圆心在过点且与垂直的直线上，且点在 点的下方，则，‎ 又圆心C在过点A且与垂直的直线上，‎ 故圆C的半径，所以圆C的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的标准方程的求解，其中解答中根据题设条件的对称性，求得直线的斜率，以及第二问中根据圆的性质求得圆心的坐标是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，点是棱的中点，点是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：（1）直线；（2）平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若底面为正方形，,求二面角大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）（1）中，设菱形的对角线相交于点，连接． 根据中位线的行贿，证得 ，进而利用线面平行的判定定理，即可得到平面；‎ ‎（2）由于，证得所以，再由，得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面. ‎ ‎（Ⅱ）由题意，分别以 的方向为坐标轴方向，建立空间直角坐标系.分别求得平面和平面的一个法向量利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：（1）设菱形的对角线相交于点，连接．由题可得点、分别为线段、的中点，，又，.‎ ‎（2）由于，，‎ 所以，由可得，‎ 又是平面内两相交直线，‎ ‎，因为，‎ 故平面平面.‎ ‎（Ⅱ）由题可知、、两两垂直，则分别以的方向为坐标轴方向，建立空间直角坐标系.由可得，于是可令，‎ 则 设平面的一个法向量为．由于，‎ 所以，解得，所以 因为轴平面，所以可设平面的一个法向量为 由于，所以，解得，‎ 所以 故．所以二面角的大小为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的线面位置关系的判定与证明，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，‎ 解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21．如图，森林的边界是直线，图中阴影部分是与垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点和点处，其中，现兔子随机的沿直线，以速度准备越过森林边界逃入森林，同时，狼沿线段以速度进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点处，狼就会吃掉兔子．某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系（如图），并假设点的坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积；‎ ‎（Ⅱ）若兔子随机沿与成锐角）的路线越过向森林逃跑，求兔子能够逃脱的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意，可知狼要想吃掉兔子，就必须先到达M点或与兔子同时到达M点，即 ‎，化简可求解相应的不等式关系，得到答案.‎ ‎（Ⅱ）过点作半圆的切线，切点为，在中，求得，进而根据几何概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）如图所示，狼要想吃掉兔子，就必须先到达M点或与兔子同时到达M点，‎ 即有：.‎ 化简得，即 两边平方并整理得：‎ 即 所以，兔子的所有不幸点构成的区域为半圆及其内部.‎ ‎ ‎ 所以，兔子的所有不幸点组成的区域的面积S为.‎ ‎（Ⅱ）如图，过点作半圆的切线，切点为，‎ 在中，，所以 兔子要想不被狼吃掉，则不能沿的以内方向跑，则，又.‎ 故兔子能逃脱的概率是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的实际应用问题，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理建立不等式关系式，进而利用面积比的几何概型求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22．已知点和圆，过的动直线与圆交于、两点，过作直线，交于点．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若不经过的直线与轨迹交于两点，且.求证：直线 恒过定点．‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由题意可得是等腰三角形，即，再圆的性质和椭圆定义，即可求解的值，得出椭圆的方程；‎ ‎（II）设，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，又由，整理求得解得，进而判定处直线过定点问题.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由，知是等腰三角形，即.‎ ‎，‎ ‎ 点轨迹是以为焦点的椭圆，‎ ‎，故，‎ 因此点的轨迹 .‎ ‎（II）设，则 联立 则①，又由知：‎ ‎，‎ ‎，‎ 将①式代入并化简得：，解得.‎ 当时，直线恒过，不满足题意；‎ 当时，直线恒过定点.‎ 当直线与横轴垂直时，令，，‎ ‎，化简得，‎ 解得或（舍去），，即此时也有直线过定点.‎ 综上可知，当，直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常求得的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，再通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎