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- 2021-06-15 发布
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微专题 80 排列组合的常见模型
一、基础知识:
(一)处理排列组合问题的常用思路:
1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去处理无要求
的元素。
例如:用 组成无重复数字的五位数,共有多少种排法?
解:五位数意味着首位不能是 0,所以先处理首位,共有 4 种选择,而其余数位没有要求,只
需将剩下的元素全排列即可,所以排法总数为 种
2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再
用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如:在 10 件产品中,有 7 件合格品,3 件次品。从这 10 件产品中任意抽出 3 件,至少有一
件次品的情况有多少种
解:如果从正面考虑,则“至少 1 件次品”包含 1 件,2 件,3 件次品的情况,需要进行分类
讨论,但如果从对立面想,则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可,列式较为简单。
(种)
3、先取再排(先分组再排列):排列数 是指从 个元素中取出 个元素,再将这 个元
素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆
分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列。
例如:从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人,分别从事 3 项不同的工作,若这 3 人中只有一名女
生,则选派方案有多少种。
解:本题由于需要先确定人数的选取,再能进行分配(排列),所以将方案分为两步,第一步:
确定选哪些学生,共有 种可能,然后将选出的三个人进行排列: 。所以共有
种方案
(二)排列组合的常见模型
1、捆绑法(整体法):当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他
元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如:5 个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法
0,1,2,3,4
4
44 96N A
3 3
10 7 85N C C
m
nA n m m
2 1
4 3C C 3
3A
2 1 3
4 3 3 108C C A
解:考虑第一步将甲乙视为一个整体,与其余 3 个元素排列,则共有 种位置,第二步考虑
甲乙自身顺序,有 种位置,所以排法的总数为 种
2、插空法:当题目中有“不相邻元素”时,则可考虑用剩余元素“搭台”,不相邻元素进行
“插空”,然后再进行各自的排序
注:(1)要注意在插空的过程中是否可以插在两边
(2)要从题目中判断是否需要各自排序
例如:有 6 名同学排队,其中甲乙不相邻,则共有多少种不同的排法
解:考虑剩下四名同学“搭台”,甲乙不相邻,则需要从 5 个空中选择 2 个插入进去,即有
种选择,然后四名同学排序,甲乙排序。所以 种
3、错位排列:排列好的 个元素,经过一次再排序后,每个元素都不在原先的位置上,则称
为这 个元素的一个错位排列。例如对于 ,则 是其中一个错位排列。3 个元
素的错位排列有 2 种,4 个元素的错位排列有 9 种,5 个元素的错位排列有 44 种。以上三种
情况可作为结论记住
例如:安排 6 个班的班主任监考这六个班,则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数
有多少种?
解:第一步先确定那两个班班主任监考自己班,共有 种选法,然后剩下 4 个班主任均不监
考自己班,则为 4 个元素的错位排列,共 9 种。所以安排总数为
4、依次插空:如果在 个元素的排列中有 个元素保持相对位置不变,则可以考虑先将这
个元素排好位置,再将 个元素一个个插入到队伍当中(注意每插入一个元素,下一个元
素可选择的空 )
例如:已知 6 个人排队,其中 相对位置不变,则不同的排法有多少种
解:考虑先将 排好,则 有 4 个空可以选择, 进入队伍后, 有 5 个空可以选择,
以此类推, 有 6 种选择,所以方法的总数为 种
5、不同元素分组:将 个不同元素放入 个不同的盒中
6、相同元素分组:将 个相同元素放入 个不同的盒内,且每盒不空,则不同的方法共有
种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”,因为元素相同,所以只需考虑每个盒子里所含元
素个数,则可将这 个元素排成一列,共有 个空,使用 个“挡板”进入空档处,
4
4A
2
2A 4 2
4 2 48N A A
2
5C
2 4 2
5 4 2 480N C A A
n
n , , ,a b c d , , ,d c a b
2
6C
2
6 9 135N C
n m m
n m
1
, , , , ,A B C D E F , ,A B C
, ,A B C D D E
F 4 5 6 120N
n m
n m 1
1
m
nC
n 1n 1m
则可将这 个元素划分为 个区域,刚好对应那 个盒子。例如:将 6 个相同的小球放入到 4
个不同的盒子里,那么 6 个小球 5 个空档,选择 3 个位置放“挡板”,共有 种可能
7、涂色问题:涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”,在处理涂色问题时,可按照选择颜
色的总数进行分类讨论,每减少一种颜色的使用,便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的
颜色(还要注意两两不相邻的情况),先列举出所有不相邻区域搭配的可能,再进行涂色即可。
例如:最多使用四种颜色涂图中四个区域,不同的涂色方案有多少种?
解:可根据使用颜色的种数进行分类讨论
(1)使用 4 种颜色,则每个区域涂一种颜色即可:
(2)使用 3 种颜色,则有一对不相邻的区域涂同一种颜色,首
先要选择不相邻的区域:用列举法可得: 不相邻
所以涂色方案有:
(3)使用 2 种颜色,则无法找到符合条件的情况,所以讨论终止
总计 种
二、典型例题:
例 1:某电视台邀请了 6 位同学的父母共 12 人,请 12 位家长中的 4 位介绍对子女的教育情况,
如果这 4 位中恰有一对是夫妻,则不同选择的方法种数有多少
思路:本题解决的方案可以是:先挑选出一对夫妻,然后在挑选出两个不是夫妻的即可。
第一步:先挑出一对夫妻:
第二步:在剩下的 10 个人中选出两个不是夫妻的,使用间接法:
所以选择的方法总数为 (种)
答案: 种
例 2:某教师一天上 3 个班级的课,每班上 1 节,如果一天共 9 节课,上午 5 节,下午 4 节,
并且教师不能连上 3 节课(第 5 节和第 6 节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有不同
排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
思路:本题如果用直接法考虑,则在安排的过程中还要考虑两节连堂,并且会受到第 5,6 节
课连堂的影响,分类讨论的情形较多,不易求解。如果使用间接法则更为容易。首先在无任
n m m
3
5 20C
4
1 4N A
,I IV
3
2 4N A
4 3
4 4 48S A A
1
6C
2
10 5C
1 2
6 10 5 240N C C
240
474 77 462 79
何特殊要求下,安排的总数为 。不符合要求的情况为上午连上 3 节: 和下午连上三节:
,所以不同排法的总数为: (种)
答案:A
例 3:2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两
位女生相邻,则不同排法的种数是( )
A. B. C. D.
思路:首先考虑从 3 位女生中先选中相邻的两位女生,从而相邻的女生要与另一女生不相邻,
则可插空,让男生搭架子,因为男生甲不站两端,所以在插空的过程中需有人站在甲的边上,
再从剩下的两个空中选一个空插入即可。
第一步:从三位女生中选出要相邻的两位女生:
第二步:两位男生搭出三个空,其中甲的边上要进入女生,另外两个空中要选一个空进女生,
所以共有 种选法。
第三步:排列男生甲,乙的位置: ,排列相邻女生和单个女生的位置: ,排列相邻女
生相互的位置:
所以共有 种
答案:B
例 4:某班班会准备从甲,乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲,乙两名同学至少有一
人参加,且若甲乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序种数为( )
A. 360 B. 520 C. 600 D. 720
思路:因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同,所以考虑“先取再排”,分为“甲乙”同
时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论:若甲乙同时被选中,则只需再从剩下 5 人中
选取 2 人即可: ,在安排顺序时,甲乙不相邻则“插空”,所以安排的方式有: ,
从而第一种情况的总数为: (种),若甲乙只有一人选中,则首先先从
甲乙中选一人,有 ,再从剩下 5 人中选取三人,有 ,安排顺序时则无要求,所以第二种
情况的总数为: (种),从而总计 600 种
答案:C
3
9A 3
4A
3
3A 3 3 3
9 4 3 474A A A
60 48 42 36
2
3C
1
2C
2
2A 2
2A
2
2A
2 1 2 2 2
3 2 2 2 2 48N C C A A A
2
5C 2 2
3 2A A
2 2 2
1 5 3 2 120N C A A
1
2C 3
5C
1 3 4
2 2 5 4 480N C C A
例 5:从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且
顺序不变)的不同排列共有________种
思路:从题意上看,解决的策略要分为两步:第一步要先取出元素,因为“qu”必须取出,
所以另外 3 个元素需从剩下的 6 个元素中取出,即 种,然后在排列时,因为要求“qu”相
连,所以采用“捆绑法”,将 qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列: ,因为“qu”顺
序不变,所以不需要再对 qu 进行排列。综上,共有: 种
答案:
例 6:设有编号 的五个茶杯和编号为 的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶
杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有( )
A. 30 种 B. 31 种 C. 32 种 D. 36 种
思路:本题可按照相同编号的个数进行分类讨论,有两个相同时,要先从 5 个里选出哪两个
相同,有 种选法,则剩下三个为错位排列,有 2 种情况,所以 ,有三个相同时,
同理,剩下两个错位排列只有一种情况(交换位置),所以 ,有四个相同时则最后
一个也只能相同,所以 ,从而 (种)
答案:B
例 7:某人上 10 级台阶,他一步可能跨 1 级台阶,称为一阶步,也可能跨 2 级台阶,称为二
阶步;最多能跨 3 级台阶,称为三阶步,若他总共跨了 6 步,而且任何相邻两步均不同阶,
则此人所有可能的不同过程的种数为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
答案:A
思路:首先要确定在这 6 步中,一阶步,二阶步,三阶步各有几步,分别设为 ,
则有 ,解得: ,因为相邻两步不同阶,所以符合要
求的只有 ,下面开始安排顺序,可以让一阶步搭架子,则二阶步与三阶步必须插入一
阶步里面的两个空中,所以共有 2 种插法,二阶步与三阶步的前后安排共有 3 种(三二二,
3
6C
4
4A
3 4
6 4 480C A
480
1,2,3,4,5 1,2,3,4,5
2
5C 2
1 5 2N C
3
2 5 1N C
3 1N 2 3
5 52 1 1 31S C C
, ,x y z N
6
2 3 10
x y z
x y z
4 3 2
0, 2, 4
2 1 0
x x x
y y y
z z z
3
2
1
x
y
z
三二三,二三三),所以过程总数为
答案:A
例 8:某旅行社有导游 9 人,其中 3 人只会英语,2 人只会日语,其余 4 人既会英语又会日语,
现要从中选 6 人,其中 3 人负责英语导游,另外三人负责日语导游,则不同的选择方法有
_______种
思路:在步骤上可以考虑先选定英语导游,再选定日语导游。英语导游的组成可按只会英语
的和会双语的人数组成进行分类讨论,然后再在剩下的人里选出日语导游即可。第一种情况:
没有会双语的人加入英语导游队伍,则英语导游选择数为 ,日语导游从剩下 6 个人中选择,
有 中,从而 ,第二种情况:有一个会双语的人加入英语导游队伍,从而可得
, 依 次 类 推 , 第 三 种 情 况 。 两 个 会 双 语 的 加 入 英 语 导 游 队 伍 , 则
,第四种情况,英语导游均为会双语的。则 ,综上所述,不
同的选择方法总数为 (种)
答案:216 种
例 9:如图,用四种不同颜色给图中 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且
图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
思路:如果用四种颜色涂六个点,则需要有两对不相邻的点涂相同的
颜 色 。 所 以 考 虑 列 举 出 不 相 邻 的 两 对 点 。 列 举 的 情 况 如 下 :
, , , ,
, , , ,
共九组,所以涂色方法共有
如果用三种颜色涂六个点,则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色,列举情况如下:
, 共两组,所以涂色方法共有
综上所述,总计 种
答案:B
例 10:有 8 张卡片分别标有数字 ,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3
2 3 6N
3
3C
3
6C 3 3
0 3 6N C C
1 2 3
1 4 3 5N C C C
2 1 3
2 4 3 4N C C C 3 3
3 4 3N C C
3 3 1 2 3 2 1 3 3 3
3 6 4 3 5 4 3 4 4 3 216S C C C C C C C C C C
, , , , ,A B C D E F
288 264 240 168
, ,A C B D , ,A C B E , ,A C D F , ,A F B D
, ,A F B E , ,A F C E , ,B D C E , ,B E D F
, ,C E D F 4
49 216A
, , ,A C B E D F , , ,A F C E B D 3
42 48A
264
1,2,3,4,5,6,7,8
行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5,则不同的排法共有( )
A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种
思路:中间行数字和为 5 只有两种情况,即 和 ,但这两组不能同时占据两行,若按题
意思考,以 占中间行为例,则在安排时既要考虑另一组 是否同时被选中,还要考虑同
时被选中时不能呆在同一行,情况比较复杂。所以考虑间接法,先求出中间和为 5 的所有情
况,再减去两行和为 5 的情形
解:先考虑中间和为 5 的所有情况:
第一步:先将中间行放入 或 :
第二步:中间行数字的左右顺序:
第三步:从剩下 6 个数字中选择 4 个,填入到剩余的四个位置并排序:
所以中间和为 5 的情况总数为
在考虑两行和为 5 的情况:
第一步: , 两组中哪组占用中间行:
第二步:另一组可选择的行数:
第三步: , 在本行中的左右顺序:
第四步:从剩下 4 个数中选取 2 个填入所剩位置并排序:
所以两行和为 5 的情况:
从而仅有中间行为 5 的情况为 (种)
答案:B
1,4 2,3
1,4 2,3
1,4 2,3 1
2C
2
2A
4
6A
1 2 4
2 2 4 1440S C A A
1,4 2,3 1
2C
1
2C
1,4 2,3 2 2
2 2A A
2
4A
1 1 2 2 2
2 2 2 2 4 192N C C A A A
1248S N