2021高考数学大一轮复习考点规范练46两条直线的位置关系理新人教A版 7页

考点规范练46　两条直线的位置关系 ‎　考点规范练B册第31页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2019黑龙江大庆高三一模)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为(　　)‎ A‎.‎‎2‎ B‎.‎‎8‎‎2‎‎3‎ C‎.‎‎3‎ D‎.‎‎8‎‎3‎‎3‎ 答案:B 解析:因为l1∥l2,所以‎1‎a-2‎‎=a‎3‎≠‎‎6‎‎2a,解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+‎2‎‎3‎=0,所以l1与l2之间的距离d=‎6-‎‎2‎‎3‎‎2‎‎=‎‎8‎‎2‎‎3‎,故选B.‎ ‎2.(2019四川成都调研)已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)‎ A.(3,‎3‎) B.(2,‎3‎) C.(1,‎3‎) D‎.‎‎1,‎‎3‎‎2‎ 答案:C 解析:直线l1的斜率为k1=tan30°=‎3‎‎3‎,因为直线l2与直线l1垂直,所以k2=-‎1‎k‎1‎=-‎3‎,所以直线l1的方程为y=‎3‎‎3‎(x+2),直线l2的方程为y=-‎3‎(x-2).两式联立,解得x=1,‎y=‎3‎,‎即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,‎3‎).故选C.‎ ‎3.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点(　　)‎ A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)‎ 答案:B 解析:直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).‎ 因为直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).‎ ‎4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是(　　)‎ A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0‎ 7‎ C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0‎ 答案:D 解析:设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.‎ ‎5.(2019贵州遵义四模)在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0(a≠0)与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为(　　)‎ A‎.‎‎10‎‎2‎ B‎.‎‎10‎ C.5 D.10‎ 答案:D 解析:由题可得P(0,1),Q(-3,0),连接PQ,‎ ‎∵a≠0,-a‎·‎‎1‎a=-1,∴直线l与直线m垂直,‎ ‎∴|MP|2+|MQ|2=|PQ|2.‎ ‎∵|PQ|=‎9+1‎‎=‎‎10‎,∴|MP|2+|MQ|2=10,故选D.‎ ‎6.(2019河北廊坊省级示范高中联考)已知直线l1:ax+by+1=0与直线l2:2x+y-1=0互相垂直,且l1经过点(-1,0),则b=　　　　　. ‎ 答案:-2‎ 解析:因为l1⊥l2,所以2a+b=0,又-a+1=0,所以a=1,b=-2.‎ ‎7.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是　　　　　. ‎ 答案:‎‎5‎‎6‎ 解析:由题意得线段AB的中点‎-‎1‎‎2‎,2‎在直线y=kx+b上,‎ 故‎3-1‎‎1+2‎‎·k=-1,‎‎2=k·‎-‎‎1‎‎2‎+b,‎解得k=-‎3‎‎2‎,‎b=‎5‎‎4‎,‎ 所以直线方程为y=-‎3‎‎2‎x+‎‎5‎‎4‎‎.‎ 令y=0,即-‎3‎‎2‎x+‎5‎‎4‎=0,解得x=‎5‎‎6‎,故直线y=kx+b在x轴上的截距为‎5‎‎6‎‎.‎ 7‎ ‎8.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程.‎ 解:方法一:∵P(2,3)是已知两条直线的交点,‎ ‎∴‎‎2a‎1‎+3b‎1‎+1=0,‎‎2a‎2‎+3b‎2‎+1=0.‎ ‎∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.‎ 由题意可知,a1≠a2,‎∴‎b‎1‎‎-‎b‎2‎a‎1‎‎-‎a‎2‎=-‎‎2‎‎3‎‎.‎ 故所求直线方程为y-b1=-‎2‎‎3‎(x-a1),‎ 即2x+3y-(2a1+3b1)=0,∴2x+3y+1=0.‎ ‎∴过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.‎ 方法二:∵点P是已知两条直线的交点,‎ ‎∴‎‎2a‎1‎+3b‎1‎+1=0,‎‎2a‎2‎+3b‎2‎+1=0.‎ 可见Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都满足方程2x+3y+1=0.‎ ‎∴过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.‎ ‎9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:‎ ‎(1)相交?‎ ‎(2)平行?‎ ‎(3)垂直?‎ 解:(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;‎ 当m≠-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-‎3+m‎4‎,k2=-‎2‎‎5+m,它们在y轴上的截距分别为b1=‎5-3m‎4‎,b2=‎‎8‎‎5+m‎.‎ 由k1≠k2,得-‎3+m‎4‎‎≠‎-‎2‎‎5+m,‎ 即m≠-7,且m≠-1.‎ 则当m≠-7,且m≠-1时,l1与l2相交.‎ 7‎ ‎(2)由k‎1‎‎=k‎2‎,‎b‎1‎‎≠b‎2‎,‎得‎-‎3+m‎4‎=-‎2‎‎5+m,‎‎5-3m‎4‎‎≠‎8‎‎5+m,‎解得m=-7.‎ 则当m=-7时,l1与l2平行.‎ ‎(3)由k1k2=-1,得‎-‎‎3+m‎4‎‎·‎‎-‎‎2‎‎5+m=-1,解得m=-‎13‎‎3‎‎.‎则当m=-‎13‎‎3‎时,l1与l2垂直.‎ ‎10.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.‎ 解:作出草图,如图所示.‎ 设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',‎ 则易得A'(-2,-4),D'(1,6).‎ 由入射角等于反射角可得A'D'所在直线经过点B与点C.‎ 故BC所在的直线方程为y-6‎‎-4-6‎‎=‎x-1‎‎-2-1‎,即10x-3y+8=0.‎ 能力提升 ‎11.三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0构成一个三角形,则k的取值范围是(　　)‎ A.k∈R B.k∈R,且k≠±1,k≠0‎ C.k∈R,且k≠±5,k≠-10 D.k∈R,且k≠±5,k≠1‎ 答案:C 解析:若有两条直线平行,或三条直线交于同一点,则不能构成三角形.‎ 由l1∥l3,得k=5;‎ 由l2∥l3,得k=-5;‎ 由x-y=0与x+y-2=0,得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,则k=-10.‎ 若l1,l2,l3能构成一个三角形,则k≠±5且k≠-10,故选C.‎ 7‎ ‎12.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上各找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为　　　　　. ‎ 答案:2‎‎5‎ 解析:由点A(3,1)及直线y=x,可求得点A关于y=x的对称点为点B(1,3),同理可求得点A关于y=0的对称点为点C(3,-1),如图所示.‎ 则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C四点共线时,△AMN的周长最短,为|BC|=2‎‎5‎‎.‎ ‎13.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为　　　　　. ‎ 答案:4‎‎2‎ 解析:由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2‎2‎x‎·‎‎4‎y=2‎2‎x+2y=4‎2‎,当且仅当x=2y=‎3‎‎2‎时等号成立,故2x+4y的最小值为4‎‎2‎‎.‎ ‎14.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　　　. ‎ 答案:6x-y-6=0‎ 解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',‎ 所以b-4‎a-(-3)‎‎·1=-1,‎‎-3+a‎2‎‎-b+4‎‎2‎+3=0,‎解得a=1,‎b=0.‎ 又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y-0‎‎6-0‎‎=‎x-1‎‎2-1‎,即6x-y-6=0.‎ ‎15.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是‎7‎‎5‎‎10‎‎.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:‎ ‎①点P在第一象限;‎ 7‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的‎1‎‎2‎;‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是‎2‎‎∶‎5‎.‎ 若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.‎ 解:(1)因为直线l2:2x-y-‎1‎‎2‎=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d=a-‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎‎=‎‎7‎‎5‎‎10‎,‎ 所以a+‎‎1‎‎2‎‎5‎‎=‎‎7‎‎5‎‎10‎,即a+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎7‎‎2‎,‎ 又a>0,解得a=3.‎ ‎(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件②,则点P在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且‎|c-3|‎‎5‎‎=‎‎1‎‎2‎c+‎‎1‎‎2‎‎5‎,即c=‎13‎‎2‎或c=‎11‎‎6‎,所以2x0-y0+‎13‎‎2‎=0或2x0-y0+‎11‎‎6‎=0;‎ 若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,有‎|2x‎0‎-y‎0‎+3|‎‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎|x‎0‎+y‎0‎-1|‎‎2‎,‎ 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,‎ 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;‎ 因为点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.‎ 联立‎2x‎0‎-y‎0‎+‎13‎‎2‎=0,‎x‎0‎‎-2y‎0‎+4=0,‎解得x‎0‎‎=-3,‎y‎0‎‎=‎‎1‎‎2‎(舍去);‎ 联立‎2x‎0‎-y‎0‎+‎11‎‎6‎=0,‎x‎0‎‎-2y‎0‎+4=0,‎解得x‎0‎‎=‎1‎‎9‎,‎y‎0‎‎=‎37‎‎18‎.‎ 所以存在点P‎1‎‎9‎‎,‎‎37‎‎18‎同时满足三个条件.‎ 高考预测 ‎16.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c‎≤‎‎1‎‎8‎,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)‎ A‎.‎2‎‎4‎,‎‎1‎‎4‎ B‎.‎2‎,‎‎2‎‎2‎ C‎.‎2‎,‎‎1‎‎2‎ D‎.‎2‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎ 答案:D 7‎ 解析:依题意得|a-b|=‎(a+b‎)‎‎2‎-4ab‎=‎‎1-4c,当0≤c‎≤‎‎1‎‎8‎时,‎2‎‎2‎‎≤‎|a-b|=‎1-4c‎≤‎1.‎ 因为两条直线间的距离等于‎|a-b|‎‎2‎,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是‎2‎‎2‎‎,‎2‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎.‎ 7‎