2017-2018学年江苏省宿迁市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版 14页

绝密★启用前 江苏省宿迁市 2017-2018 学年高二下学期期末考试数学（文） 试题 评卷人 得分 一、填空题 1．设集合 ， ，则 __________． 【答案】 【解析】分析：根据已知结合并集定义即可. 详解：由并集的运算可得： . 点睛：考查并集的定义，属于基础题. 2．写出命题“ ，使得 ”的否定：__________． 【答案】 ，都有 【解析】分析：根据特称命题的否定改法即可. 详解：有命题的否定的定义可得：命题“ ，使得 ”的否定为 ，都有 . 点睛：考查命题的否定，根据定义改写即可，属于基础题. 请在此填写本题解析! 3．设复数 满足 （其中 为虚数单位），则 的模为__________． 【答案】 【解析】分析：先根据复数的除法运算计算 z，再根据模长的计算公式求解即可. 详解：由题得： 故答案为 点睛：考查复数的运算和模长计算，正确化简 z 为解题关键，属于基础题. 4．“ ”是“ 或 ”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充 要”和“既不充分又不必要”）. 【答案】充分不必要 【解析】分析：根据充分必要条件的定义和推导关系判定即可. 详解：因为 ，而后者为 或 ，故前者能推后者，但后者 就无法 得到前者的结论，故可得为：充分不必要条件. 点睛：考查逻辑关系，充分必要条件，正确求出不等式，然后根据不等式的范围大小关 系即可判断，属于基础题. 5．已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的值为__________． 【答案】 【解析】分析：先根据幂函数定义求出幂函数表达式，然后计算 即可. 详解：设幂函数为： 因为幂函数 的图象过点 ，故 ， 所以 = ，所以 = ,故答案为 点睛：考查幂函数的定义和简单计算，属于基础题. 6．函数 的定义域为__________． 【答案】 【解析】分析：直接根据定义域要求列不等式求解集即可. 详解：由题可得： ，故答案为： 点睛：考查定义域的求法，正确解不等式即可，属于基础题. 7．已知函数 ，若 ，则实数 的值为__________． 【答案】5 【解析】分析：根据分段函数求值的计算，分别代入对应的表达式即可. 详解：由题可得： 故答案为 5. 点睛：考查分段函数求值，正确考量变量的取值准确代入对应的表达式是解题关键，属 于基础题. 8．曲线 ： 在点 处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方 程写法求出即可. 详解：由题可得： =1， 切线方程为：y-1=3（x-1） 即 ，故答案为： 点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题. 9．已知定义在 上的偶函数满足 ，若 ，则实数 的取值 范围是__________． 【答案】 【解析】分析：先确定原函数的单调性，然后结合偶函数即可确定 的等 价条件，求解即可. 详解：由题可得：定义在 上的偶函数 ，因为 y= ， 在 时都 是单调递增的函数，故函数 为增函数，又函数为偶函数，故图像关于 y 轴对称，所以 ，只需： ，故答案为： 点睛：考查偶函数的性质，函数单调性的判断与应用，能正确分析函数的单调性确定不 等式是解题关键，属于中档题. 10．计算 的结果为__________． 【答案】 【解析】分析：根据对数和指数的运算公式逐一化简求值即可. 详解：原式= 故答案为： 点睛：考查对数指数的运算，属于基础题. 11．已知函数 的图象经过点 ，则 的最小值为__________． 【答案】11 【解析】分析：先得出 a，b 的关系，然后将问题统一变量根据基本不等式求解即可. 详解：由题可得： ，所以 = ，令 y= ， ，令 可得在 递增，则在 递减，故在 x=2 处取得最 小值，最小值为 ，故答案为 11. 点睛：考查导函数求函数最值的应用，正确分析题意，熟练运用导数求最值思维是解题 关键，属于中档题. 12．如图是一个三角形数阵，满足第 行首尾两数均为 ， 表示第 行第 个数， 则 的值为__________． 【答案】4951 【解析】分析：计算前 5 行的第二个数字，发现其中的规律，得出结论． 详解：设第 n 行的第 2 个数为 an，由图可知，a2=2=1+1，a3=4=1+2+1，a4=7=1+2+3+1， a5=11=1+2+3+4+1…归纳可得 an=1+2+3+4+…+（n-1）+1= +1，故第 100 行第 2 个 数为： ，故答案为 4951 点睛：本题考查了归纳推理，等差数列和，属于基础题． 13．如图，已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过 ， 作 轴的平行线与函数 图象交于 ， 两点，若 轴，则四边形 的面积为 __________． 【答案】 【解析】分析：设出 A、B 的坐标，求出 OA、OB 的斜率相等利用三点共线得出 A、B 的坐标之间的关系．再根据 BC 平行 x 轴，B、C 纵坐标相等，推出横坐标的关系，结 合之前得出 A、B 的坐标之间的关系即可求出 A 的坐标，从而解出 B、C、D 的坐标， 最后利用梯形的面积公式求解即可． 详解：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2 由题设知，x1＞1，x2＞1． 则点 A、B 纵坐标分别为 log8x1、log8x2． 因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 点 C、D 坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）． 由于 BC 平行于 x 轴知 log2x1=log8x2，即得 log2x1= log2x2，∴x2=x13． 代入 x2log8x1=x1log8x2 得 x13log8x1=3x1log8x1． 由于 x1＞1 知 log8x1≠0，∴x13=3x1．考虑 x1＞1 解得 x1= ． 于是点 A 的坐标为（ ，log8 ）即 A（ ， log23） ∴B（3 ， log23），C（ ， log23），D（3 ， log23）． ∴梯形 ABCD 的面积为 S= （AC+BD）×BC= （ log23+log23）×2 = log23． 故答案为： log23 点睛：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识， 考查运算能力和分析问题的能力． 14 ． 已 知 函 数 （ 其 中 是 自 然 对 数 的 底 数 ） . 若 关 于 的 方 程 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 【 解 析 】 分 析 ： 先 分 析 函 数 f （ x ） 的 草 图 ， 然 后 结 合 . 若 关 于 的 方 程 恰好有 4 个不相等的实数根，则表明此二元一次方程组要产生两 个解，且一根落在（0,1）之间，一根大于 1，再结合二次函数写出等价不等式求解即 可. 详解：作出函数 f（x）的草图 ，由此要想关于 的方程 恰好有 4 个不相等的实数根，故只需次二次非常产生两个不同的 根且一根在（0,1）一根大于 1 即可，故： ， 故答案为： 点睛：考查复合方程的解法，数形结合确定如何分配根的问题达到题意要求是解题关键， 然后再转化为一元二次方程的根的分布问题求解，属于较难题. 评卷人 得分 二、解答题 15．已知复数 ， 为虚数单位， . （1）若 ，求 ； （2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 的取值范围为 . 【解析】分析：（1）根据复数的分类条件当 ，则虚部为 0 即可求解 a 得到 z； （2）根据复数的坐标定义实部作横坐标，虚部作纵坐标，然后根据第一象限横纵坐标 的符号建立不等式求解即可. 详解： （1） , 若 ，则 ，∴ ， ∴ . （2）若 在复平面内对应的点位于第一象限， 则 且 ， 解得 ， 即 的取值范围为 . 点睛：考查复数的除法运算，复数分类，复数坐标表示，对定义的清晰是解题关键，属 于基础题. 16．已知 且 ，设命题 ：函数 在 上单调递减，命题 ：对任意实数 ，不 等式 恒成立. （1）写出命题 的否定，并求非 为真时，实数 的取值范围； （2）如果命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 的取值范围是 . 【解析】分析：（1）根据命题的否定的改写方法即可，非 为真，即存在实数 , 使得不等式 成立.故 即可；（2）此题是由命题的真假求参数的题目， 可先求出每个命题为真时的参数的取值范围，再根据命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为 假命题，判断出两个命题的真假关系，从而确定出实数 c 的取值范围 详解： （1）命题 的否定是：存在实数 , 使得不等式 成立. 非 为真时， ，即 ，又 且 ， 所以 . （2）若命题 为真，则 ， 若命题 为真，则 或 ， 因为命题 为真命题， 为假命题， 所以命题 和 一真一假，若 真 假，则 所以 ， 若 假 真，则 ，所以 . 综上： 的取值范围是 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是理解“命题“p∨q”为真命题， “p∧q”为假命题”，进行正确转化，求出实数 c 的取值范围，解答过程中能正确对两个 命题中 c 的范围正确求解也很关键，本题涉及到了指数的单调性，一元二次不等式的解 的情况，或命题，且命题等，综合性较强 17．（1）证明：1， ， 不可能成等数列； （2）证明：1， ， 不可能为同一等差数列中的三项. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】分析：假设 ， ， 成等差数列，则 ，然后由等式性质得出矛盾； （2）假设 ， ， 为同一等差数列中的三项， 则存在正整数 ， 满足 两式相减由等式性质得出矛盾即可. 详解： （1）假设 ， ， 成等差数列， 则 ，两边平方得 ，即 ， 因为 ，矛盾， 所以 ， ， 不可能成等差数列． （2）假设 ， ， 为同一等差数列中的三项， 则存在正整数 ， 满足 ， 得 ， 两边平方得 ③， 由于③式左边为无理数，右边为有理数，且有理数 无理数，故假设不正确， 即 ， ， 不可能为同一等差数列中的三项． 点睛：本题考查用反证法证明等式，用反证法证明等式的关键是推出矛盾．属于基础题. 18．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌” 系列 进行市场销售量调研，通过对该品牌的 系列一个阶段的调研得知，发现 系列每日的 销 售 量 （ 单 位 ： 千 克 ） 与 销 售 价 格 （ 元 / 千 克 ） 近 似 满 足 关 系 式 ，其中 ， 为常数.已知销售价格为 6 元/千克时，每日可售出 系列 15 千克. （1）求函数 的解析式； （2）若 系列的成本为 4 元/千克，试确定销售价格 的值，使该商场每日销售 系列所 获得的利润最大. 【答案】（1） ；（2）当销售价格为 5 元/千克时， 系列每日所获得 的利润最大. 【解析】分析：（1）根据题意已知销售价格为 6 元/千克时，每日可售出 系列 15 千克. 即可求出 a 得到解析式；（2）设该商场每日销售 系列所获得的利润为 ，然后根据 利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可. 详解： （1）有题意可知，当 时， ，即 ， 解得 ， 所以 . （2）设该商场每日销售 系列所获得的利润为 ，则 ， ， 令 ，得 或 （舍去）， 所以当 时， 为增函数； 当 时， 为减函数， 故当 时，函数 在区间 内有极大值点，也是最大值点， 即 时函数 取得最大值 . 所以当销售价格为 5 元/千克时， 系列每日所获得的利润最大. 点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借 助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档 题. 19．已知函数 （ ，且 ）是定义在 上的奇函数. （1）求 的值； （2）求函数 的值域； （3）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) 函数 的值域为 ;(3) 实数 的取值范围为 . 【解析】分析：（1）根据函数奇偶性的性质，利用定义结合等式性质进行求解即可． （2）先判定函数单调性，然后根据单调性即可确定最值； （3）利用不等式成立将不等式进行转化分离参数求最值即可． 详解： （1）∵ 是 上的奇函数， ∴ ， 即 . 整理可得 ． （2）由（1）可得 ， ∴函数 在 上单调递增， 又 ， ∴ ， ∴ ． ∴函数 的值域为 ． （3）当 时， ． 由题意，存在 ， 成立， 即存在 ， 成立． 令 ， 则有 ， ∵当 时函数 为增函数， ∴ . ∴ . 故实数 的取值范围为 ． 点睛：本题主要考查函数奇偶性单调性的判断以及不等式成立问题，利用参数转化法是 解决本题的关键．综合性比较强，有一定的难度． 20．已知函数 . （1）求函数 的最大值； （2）若对于任意 ，均有 ，求正实数 的取值范围； （3）是否存在实数 ，使得不等式 对于任意 恒成立？若存在， 求出 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析；（2） ；（3）见解析. 【解析】分析：（1）先得出 g（x）的具体表达式，然后结合基本不等式即可； （ 2 ） ， 设 则 . 则 在 恒成立，接下来只需研究函数 单调性确定其 最小值解不等式即可；（3）存在实数 ，使得不等式 对于任意 恒成立，即存在实数 ，使得不等式 对于任意 恒成立，故研 究函数 单调性确定函数的最大值解不等式求解即可. 详解： （1） = ， 当且仅当 即当 时取 ，所以当 时， . (2) 设 则 . 则 在 恒成立， 记 ， 当 时， 在区间 上单调增. 故 ，不成立. 当 时， 在区间 上单调减， 在区间 上单调增. 从而， ，所以 . （3）存在实数 ，使得不等式 对于任意 恒成立， 即存在实数 ，使得不等式 对 于任意 恒成立， 记 ，则 ， 当 时， ，则 在 为增函数. ，此时不成立. 当 时，由 得， 当 时， ，则 在 为增函数. 当 时， ，则 在 为减函数. 所以 ， 当 时 . 满 足 题 意 当 时 ， 令 ， 则 记 ，则 当 时， ， ， 在 为减函数. ,不成立， 当 时， ， ， 在 为增函数. ,不成立综上， 时满足题意. 点睛：考查基本不等式，导函数求最值的应用，对于此类题型，首先要明确函数表达式， 分析函数的单调性，确定最值，解不等式即可，难点在于要能快速将原题语言文字转化 为数学符号语言，转化为明确的最值问题求解是关键，属于难题.