人教版高中数学选修1-1课件：4_双曲线的简单几何性质 15页

双曲线的简单几何性质 人教 A 版高中数学选修 1 －１ 注：附带三个几何画板文件，请老师选用 1. 双曲线的定义。 复习 平面内与两定点 F 1 、 F 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于 |F 1 F 2 | ）的点的轨迹叫双曲线。 y 2 x 2 a 2 - b 2 = 1 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 2. 双曲线的标准方程。 · x y o F 1 F 2 · · y o F 1 F 2 · · x -a≤x≤a -b≤y≤b x≥a 或 x≤-a 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 （ ±a ， 0 ），（ 0 ， ±b ） （ ±a ， 0 ） 双曲线 椭圆 图形 范围 对称性 顶点 离心率 01 以－ y 代 y ，方程不变；以－ x 代 x ，方程不变；以－ x 代 x ， － y 代 y ，方程不变。所以双曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称 原方程可以化为 ∴ x 2 ≥a 2 ， ∴ x≥a 或 x≤-a 如图： 令 y=0 ，得 x 2 =a 2 ，∴顶点为（ ±a ， 0 ） 令 x=0 ，得 y 2 = － b 2 ，∴无实根。通常也把（ 0 ， ±b ）画在 y 轴上。线段 A 1 A 2 是实轴，实轴长是 2a ， 实半轴长是 a ；线段 B 1 B 2 是虚轴，虚轴长是 2b ，虚半轴长是 b 。 X B 2 B 1 A 1 A 2 F 2 F 1 a b 思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 因此双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线 。 思考： ②d 能否为 0 ？ 1 、双曲线 ①在位于第一象限的曲线上找一点 M ，点 M 的横坐标与它到直线 的距离 d 有什么关系？ ∴ 点 M 不在双曲线上 ∴ d ≠ 0 。 随 增大， d 越来越小 假设 d=0 ，则双曲线与直线相交，设交点坐标为 M 叫做双曲线 的渐近线． x O y 结论 H G a b x O y a b 2 、画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。 结论 H G · 椭圆 双曲线 图形 x y o F 1 F 2 · · y o F 1 F 2 · · x 范围 -a≤x≤a -b≤y≤b x≥a 或 x≤-a 对称性 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 顶点 （ ±a ， 0 ），（ 0 ， ±b ） （ ±a ， 0 ） 离心率 01 e 越大双曲线张口越大 渐进线 双曲线与渐进线无限接近但永不相交 思考： 2 、渐近线、 e 、双曲线 张口有什么关系？ X F 2 F 1 · · Y a b · 双曲线 图形 y o F 1 F 2 · · x 范围 x≥a 或 x≤-a 对称性 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 顶点 （ ±a ， 0 ） 离心率 e>1 e 越大双曲线张口越大 渐进线 双曲线与渐进线无限接近但永不相交 y o F 1 F 2 · · x e>1 e 越大双曲线张口越大 双曲线 y≥a 或 y≤-a 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 （ 0 ,±a ） 双曲线与渐进线无限接近但永不相交 例 3 、⑴求双曲线 的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 由此可知，实半轴长 a ＝４，虚半轴长 b ＝３　 焦点坐标是（０，－５），（０，５）； 解：把方程　　　　　　　　化为标准方程 ∴ 离心率 ∴ 渐近线方程为 例 3 、 (2) 求双曲线 的实轴和虚轴长、渐进线方程。 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 解：把方程 化为标准方程 实轴长为 2a ，虚轴长为 2a ，渐进线方程为 即 y=±x 6 18 |x|≥3 (±3,0) y=±3x 4 4 |y|≥2 (0,±2) 10 14 |y|≥5 (0,±5) |x|≥ 4 (±6,0) 练习题 : 填表 方程 实轴长 虚轴长 范围 顶点 焦点 离心率 渐进线 . B 例 动点 M 与距离为 2a 的两个定点 A ， B 的连线的斜率之积等于 k ，求动点 M 的轨迹方程。 . . A M 解 : 如图 , 以直线 AB 为 x 轴 , 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 , 建立平面直角坐标系，则 A(-a,0),B(a,0) 。 设 M(x,y) 是轨迹上的任意一点，则 m) (x ± ¹ , m x y k , m x y k MB MA - = + = 即 : (x≠±m) 当 k=-1 时 , 动点 M 的轨迹方程是圆 ( 去两点 ) 当 k>0 时 , 动点 M 的轨迹方程是双曲线 ( 去两点 ) 当 k<0 且 k ≠-1 时 , 椭圆 ( 去两点 ) . m x y m x y , k k MB MA = - × + = × Q k k 1. 通过类比椭圆学习了双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，并且感悟双曲线与渐近线的关系； 2. 渗透了类比、数形结合等重要的数学思想。 小结 作 业 课本 P 6 ６ 3 、 4 谢谢指导