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- 2021-06-15 发布
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黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题 满分60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.)
1.已知复数z满足,则( )
A. 5 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知,,再求解即可.
【详解】
,则
故选:C
【点睛】本题考查复数的运算,属于容易题.
2.设U=R,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式得,再与求交集,即可.
【详解】由题意可知,
则
故选:D
【点睛】本题考查集合的运算,属于容易题.
3.已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数定义域内为增函数可知,指数函数定义域内为减函数可知,对数函数定义域内为减函数,从而比较,,的大小即可.
【详解】由题意可知,,,
即
故选:D
【点睛】本题考查指数,对数的比较大小问题,属于较易题.
4.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数奇偶性,排除C,D选项,再特殊值检验,排除B选项,即可.
【详解】由题意可知,函数的定义域为,关于原点对称.
函数为奇函数. 图象关于原点成中心对称,排除C,D选项.
又时
当时,故,排除B选项.
故选A
【点睛】本题考查函数图象问题,解决本题应从定义域,奇偶性,单调性,特殊值四个方面研究,属于较易题.
5.裴波那契数列(Fibonacci sequence )又称黄金分割数列,因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入,故又称为“兔子数列”,在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义:数列满足:,,现从该数列的前40项中随机抽取一项,则能被3整除的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
写出裴波那契数列的前几项,观察发现裴波那契数列中能被3整除的项,分别为第4项,第8项,第12项等,根据归纳推理可知,裴波那契数列的前40项中能被3整除的项共有10项,根据古典概型,求解即可.
【详解】裴波那契数列为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,
观察发现前12项中,第4项,第8项,第12项都能被3整除.
以此类推前40项中,第4项,第8项,第12项,第16项,第20项,第24项,第28项,第32项,第36项,第40项,共10项,能被3整除.
所以能被3整除的概率为.
故选A
【点睛】本题考查古典概型求概率,同时也考查了裴波那契数列.属于中档题.
6.将向量绕原点O顺时针方向旋转75°得到,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知,,设,则,与,联立求解,即可.
【详解】设,则
由题意可知,即①
即②
①②联立解得或
又向量绕原点O顺时针方向旋转75°得到
点在第四象限,则,即
故选C
【点睛】本题考查向量的数量积以及求向量的模,属于中档题.
7.已知数列满足,数列的前 项和为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设,分类讨论时,,时,则,即,再根据裂项相消法求,从而求解,即可.
【详解】设
当时,即
当时,
即,则
验证成立,则
则
即
故选:A
【点睛】本题考查已知前项和求通项公式,以及裂项相消法求数列的前项和,属于中档题.
8.已知函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知,时,对两边分别求导,可知,令,得,求切线方程即可.
【详解】
即
令
则即
即
曲线在点处的切线方程为,即
故选:B
【点睛】本题考查求切线方程,求处的函数值与导数值是解决本题的关键.属于中档题.
9.函数在内单调递增,且图象关于直线对称,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦型函数单调性可知,函数的单调递增区间为,则,即,由正弦型函数的对称性可知,函数对称轴为,即,当时,求解的值,即可.
【详解】由题意可知,
当即,时
函数单调递增.
当时函数在内单调递增
又函数在内单调递增
解得
当即为函数的对称轴.
图象关于直线对称
,即
当时,满足题意.
故选:C
【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质,属于中档题.
10.如图,半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面,若两个圆锥的体积之和为球的体积的,则这两个圆锥高之差的绝对值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
设两圆锥的顶点为分别,,底面圆圆心为,底面圆半径,球心为,球的半径,由题意可知,两圆锥体积之和为,解得,在中,求解即可.
【详解】设两圆锥的顶点为分别,,底面圆圆心为,底面圆半径,球心为,球的半径.如图所示
两个圆锥的体积之和为球的体积的
则即
在中
则两圆锥的高分别为,
所以两个圆锥高之差的绝对值为.
故选:C
【点睛】本题考查球与圆锥的体积问题,属于中档题.
11.已知函数有4个零点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知,函数为偶函数,则时函数有2个零点,即方程有2个根,即与有2个交点.在同一坐标系内画出函数与直线:,由图象可知直线夹在切线与直线之间时,有2个交点,分别求解 与的斜率,即可.
【详解】函数的定义域为关于原点对称,
函数为偶函数
函数有4个零点
时函数有2个零点,则方程有2个根.
即与有2个交点.
由题意可知直线为曲线的切线,且经过点.
设切点坐标,则,
则切线的方程为
即,则
又直线平行于轴,则
由图可知,,即
故选:C
【点睛】本题考查了函数的零点个数问题,同时也考查利用导数的几何意义求切线斜率,属于一道较难的题.
12.如图,分别为双曲线左、右焦点,过点作直线,使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点(A、B位于线段 上),若,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接,,设则,由题意可知,,即,即, 则,求解离心率即可.
【详解】连接,,设则,即,,
根据双曲线定义可知,
即
即
直线与圆相切于点P
在中①
在中②
在中③
②③联立得,即
①②联立得即④
将代入④,即,
整理得即
故选:B
【点睛】本题考查双曲的离心率,解决本题的关键是根据双曲线的定义表示出与,本题属于中档题.
第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题.)
13.已知函数,则_________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先求,再求,即可.
【详解】时
又时
故答案为:
【点睛】本题考查复合函数与分段函数求值,属于较易题.
14.已知实数x,y满足约束条件:,则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【详解】由实数x,y满足约束条件:,作出可行域如图,则的最大值就是u=﹣2x+y的最大值时取得.
联立,解得A(1,1),
化目标函数u=﹣2x+y为y=2x+u,
由图可知,当直线y=2x+u过A时,直线在y轴上的截距最大,此时z有最大值为.
故答案为.
【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题.
15.函数 与函数的图象有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
将函数,变形整理为,可知函数的图象是以为圆心,半径为的圆的上半部分. 函数的图象是恒过点的直线,在同一直角坐标系中画出两个函数的图形,由图象可知当直线:夹在半圆的切线与过点的直线之间时,图象有两个不同的公共点,求解与,即可.
【详解】由题意可知,函数的图象是以为圆心,半径为的上半圆.
函数的图象是恒过点的直线.如图所示
若使得函数 与函数的图象有两个不同的公共点
则需直线夹在半圆的切线与过点的直线之间
即
直线过点与点
又直线为半圆的切线
圆心到直线:的距离等于半径
即,解得
故答案为:
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题,属于中档题.
16.如图,在棱长为 1 的正方体中,点是的中点,动点在底面正方形内(不包括边界),若平面,则长度的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系,设点,,平面的法向量,的方向向量,由题意可知,即,,则,求解取值范围即可.
【详解】以为原点,,,所在直线分别为,,建系如图
则,,,,.
设,则的方向向量
设平面的法向量,,,,
,即取,则
若平面,则
即,则
又
即
,,
即
故答案为:
【点睛】本题考查空间中的距离问题,属于一道较难的题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.)
17.已知在中,角所对的边分别为a,b ,c ,且.
(1)求角C的大小;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理将,变形整理为,再由余弦定理求解,即可.
(2)根据均值定理,可知,即,由题意可知则,,再由两边之和大于第三边,求解即可
【详解】(1)由则
变形整理得:,
所以 而 故;
(2)由 且
所以,
若使得成立
则需,即
所以
又
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及均值定理,属于中档题.
18.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛,田忌获胜的概率如下表所示:
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
(1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
(2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利数学期望.
【答案】(1)0.72;(2)金.
【解析】
【分析】
(1)田忌用下等马对战公子们的上等马获胜的概率为,用上等马对战公子们的中等马获胜的概率为,用中等马对战公子们的下等马获胜的概率为.由题意求解即可.
(2)根据比赛约定,只能同等级马对战,在某月的比赛中田忌获胜,则三场比赛中,田忌输赢的分布为:胜胜胜,负胜胜,胜负胜,胜胜负,求出该月的比赛中田忌获胜的概率以及该月赛马获利得期望,再求解一年的获利期望,即可.
【详解】(1)记事件:按孙膑的策略比赛一次,田忌获胜,
对于事件,三场比赛中,由于有一场比赛田忌必输,另两场都胜,
故.
(2)设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量(金),则的取值为和,
若在某月的比赛中田忌获胜,则三场比赛中,田忌输赢的分布为:胜胜胜,负胜胜,胜负胜,胜胜负.
设在该月的比赛中田忌获胜的概率为,则
,
,
因此田忌一年赛马获利的数学期望为(金).
【点睛】本题考查相互独立事件概率乘法公式,以及数学期望.属于中档题.
19.已知C是以AB为直径的圆周上一点,平面.
(1)求证:平面平面;
(2)若异面直线PB与AC所成的为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)由线面垂直的性质定理可知.再由以及线面垂直的判断定理,可知平面,即可证明.
(2)解法1,建立空间直角坐标系,令,确定点坐标,令,由题意可知,即,再求平面的法向量为与平面的法向量为,求解即可.解法2:过作的平行线交圆于,连接,,所以直线与所成的角,即为与所成的角,,再过作交于,过作交于,连接,由三垂线定理知,所以即为二面角的平面角,求解边长即可.
【详解】(1)证明:因为为圆的直径,所以,
又平面,而平面,所以,
又,平面,平面
所以平面,
而平面,所以平面平面;
(2)解法1:建系如图所示
令,而,则,.
则,令
所以,.
因为异面直线与所成的角为
故,解得.
令平面的一个法向量为
而
由,,所以
由,,所以,即
而平面的一个法向量为
所以.
所以二面角的余弦值为
解法2:过作的平行线交圆于,连接,
所以直线与所成的角,即为与所成的角.
因为为圆的直径,所以
又平面,而平面,所以.
又,所以平面
而平面,所以,则.
令,且所以,
,
,
过作交于,过作交于,连接,由三垂线定理知.
所以即为二面角的平面角.
,
即 .
即为二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直,以及求二面角余弦值,属于中档题.
20.已知椭圆的焦距为2,过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为F,定点,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A,B两点,以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)证明见解析,.
【解析】
【分析】
(1)根据题意列方程组,求解,,即可.
(2)设,因为直线的斜率不为零,令的方程为:,与椭圆方程联立,得到,,由题意可知,,则,确定的方程,由椭圆的对称性,则定点必在轴上,所以令,求解,即可.
【详解】(1)由题知 , 解得,,
所以椭圆的方程为;
(2)设,因为直线的斜率不为零,令的方程为:,
由 得,
则,,
因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以,则,
则,故的方程为: ,
由椭圆的对称性,则定点必在轴上,所以令,则
,
而,,,
所以,
故直线恒过定点,且定点为.
【点睛】本题考查椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,属于较难的一道题.
21.函数.
(1)求的单调区间;
(2)在函数的图象上取两个不同的点,令直线AB的斜率
为k,则在函数图象上是否存在点,且,使得?若存
在,求A,B两点的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)当时,增区间为,减区间为及;当时,减区间为;当时,增区间为,减区间为及;当时,减区间为,增区间为;(2)不存在,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)先求函数的导数,然后对进行分类讨论,判断导数的正负,确定函数的单调区间,即可.
(2)假设存在,即满足,分别求与,从而证明存在,变形整理,证明存在,令,变形整理证明,利用导数判断单调性,求解即可.
【详解】(1)由题知定义域为,
,
当时,,
令,解得,,解得,
即函数在上单调递增,在 及上单调递减;
②当时,,在上,
即函数在上单调递减;
③当时,,
令,解得,,解得,
即函数在上单调递增,在 及上单调递减;
④当时,
令,解得,,解得,
即函数在上单调递增,在 上单调递减;
综上所述:
当时,增区间为,减区间为及;
当时,减区间为;
当时,增区间为,减区间为及;
当时,减区间为,增区间为;
(2)假设存在,即满足,
因为已知,不妨令,
则
,
而,
由,
得存在,也就证存在,
只要证存在,令,故转化为存在,
即需要证明,令,
则有故在上单调递增,所以,
故不存在.
【点睛】本题考查含参数的函数单调性的判断,同时也考查了利用导数证明等式成立问题.属于难题.
考生注意:请在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑.
选修4―4:坐标系与参数方程
22.在直角坐标系中,是过定点且倾斜角为的直线,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)若曲线C与直线l相交于M,N两点,求的取值范围.
【答案】(1)(t为参数),;(2).
【解析】
【分析】
(1)根据直线的参数方程直接写出即可,将两边同时乘以,变形为,再根据转化为直角坐标方程即可.
(2)将的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得,
确定与,代入,求解取值范围,即可.
【详解】(1)的参数方程:(t为参数),
曲线的直角坐标方程: ;
(2)将的参数方程代入曲线C的方程得,
,①
由于恒成立,所以方程①有两个不等实根,
由于,所以异号,
则.
【点睛】本题考查直线的参数方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线参数方程的几何意义,属于中档题.
选修4—5:不等式选讲
23.已知函数.
(1)解不等式;
(2)若恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)分类讨论,,,,分别求解即可.
(2)求分段函数的最小值,再解不等式,即可.
【详解】(1)当,则 ,
当时,则 ,
当时,则,此时无解,
故解集为;
(2)由(1)知,所以当时,的最小值为,则
,
所以 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,以及恒成立问题求参数的取值范围.属于中档题.