数学文（A）卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末考试（2017-01） 10页

广东省清远市清城区高二第一学期期末统考（A）卷 数学（文）试题 ‎(本卷满分150分，时间120分钟)‎ 一、 选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．复数等于（　　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎2．已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q ‎3．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（ x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎5．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ‎6．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y的最大值是（　　）‎ A．5 B．0 C．2 D．2‎ ‎7．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=（　　）‎ A．4 B．4 C．2 D．3‎ ‎8．已知f（x）=sinx+2cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α，β，则cos（α+β）=（　　） A．﹣1 B．﹣1 C． D．‎ ‎9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）‎ A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 ‎10．设f（x）=asin2x+bcos2x，且满足a，b∈R，ab≠0，且f（）=f（），则下列说法正确的是（　　）‎ A．|f（）|＜|f（）|‎ B．f（x）是奇函数 C．f（x）的单调递增区间是k]（k∈Z）‎ D．a=b ‎11．已知第一象限内的点M既在双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．1+ D．2+‎ ‎12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，） C．，+∞） D．（﹣∞，]‎ 一、 填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是　　．‎ ‎14．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是　　．‎ ‎15．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，下列叙述中正确的有　　‎ ‎①函数y=f（f（x））有4个零点；‎ ‎②若函数y=g（x）在（0，3）有零点，则﹣1＜m≤1；‎ ‎③当m≥﹣时，函数y=f（x）+g（x）有2个零点；‎ ‎④若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是（0，）．‎ ‎16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为　　．‎ 一、 解答题（70分）‎ ‎17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．‎ ‎18、（12分）已知椭圆M：：+=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；‎ ‎（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．‎ ‎（1）求a及cosA的值；‎ （2） 求cos（2A﹣）的值．‎ ‎20．（12分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn、an、成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，设，求数列{Cn}的前项和Tn．‎ ‎21．（12分）（2016•兰州模拟）已知函数f（x）=+ax，x＞1．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．‎ ‎22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；‎ ‎（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．‎ 数学（文）答案 一、ABBB CAAD ADCD 二、13、4 14、30+6‎ 15、 ‎①②④ 16、‎ 三、‎ ‎17、解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由 ，∴BD⊥AC．‎ 再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．‎ 而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，‎ ‎∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．‎ ‎△BCD的面积S△BCD=BC•CD•sin∠BCD==．‎ ‎∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣=×‎ ‎==．‎ ‎18、解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，‎ 所以a2=4，所以椭圆方程为=1；‎ ‎（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，‎ 所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到 ‎，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，‎ 所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，‎ 所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；‎ ‎（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，‎ 此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，‎ 当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，‎ 显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|‎ ‎=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）‎ 所以|S1﹣S2|的最大值为．‎ ‎19、解：（1）∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA，‎ ‎∴可得：bc=6，‎ ‎∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，‎ ‎∴由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，‎ ‎∴cosA====，‎ ‎（2）∵cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，‎ ‎∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．‎ ‎20、解：（Ⅰ） 由题意知 当n=1时，；‎ 当 两式相减得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），整理得：（n≥2）‎ ‎∴数列{an}是为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∴bn=4﹣2n ‎==，‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①﹣②得 ‎∴‎ ‎21、解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，x＞1．‎ ‎，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；‎ ‎∴，‎ ‎∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），‎ ‎∴时函数t=的最小值为，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ） 当a=2时，‎ 令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，‎ 解得或lnx=﹣1（舍），即 当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0‎ ‎∴f（x）的极小值为 ‎（Ⅲ）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得 整理得 即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；‎ 由（Ⅱ）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，‎ 实数m的取值范围为 ‎22、解：（ I）∵f（x）=|x﹣1|．‎ ‎∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等价|x﹣2|+|x+2|≥6，‎ 若当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x+2≥6，‎ 即2x≥6，解得x≥3．‎ 当﹣2＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x+2≥6，‎ 即4≥6，此时不成立．‎ 当x≤﹣2时，不等式等价为2﹣x﹣x﹣2≥6，‎ 即2x≤﹣6，即x≤﹣3．‎ 综上不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪3，+∞）．‎ ‎（ II）要证，‎ 只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，‎ 只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2‎ 而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，‎ ‎∵|a|＜1，|b|＜1，‎ ‎∴a2＜1，b2＜1，‎ 即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，‎ 即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立，‎ 从而原不等式成立．‎