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  • 2021-06-15 发布

数学文(A)卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末考试(2017-01)

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广东省清远市清城区高二第一学期期末统考(A)卷 数学(文)试题 ‎(本卷满分150分,时间120分钟)‎ 一、 选择题(60分,每题5分)‎ ‎1.复数等于(  ) A.i B.﹣i C.1 D.﹣1‎ ‎2.已知命题p:若a>b,则a2>b2;q:“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件.则下列命题是真命题的是(  )‎ A.p∧q B.¬p∧q C.¬p∧¬q D.p∧¬q ‎3.记集合A={(x,y)|x2+y2≤16},集合B={(x,y)|x+y﹣4≤0,( x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2.若在区域Ω1内任取一点P(x,y),则点P落在区域Ω2中的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(  )‎ A.7 B.9 C.10 D.11‎ ‎5.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n C.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l D.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α ‎6.已知P(x,y)为区域内的任意一点,当该区域的面积为2时,z=x+2y的最大值是(  )‎ A.5 B.0 C.2 D.2‎ ‎7.在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别a、b、c,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,则b=(  )‎ A.4 B.4 C.2 D.3‎ ‎8.已知f(x)=sinx+2cosx,若函数g(x)=f(x)﹣m在x∈(0,π)上有两个不同零点α,β,则cos(α+β)=(  ) A.﹣1 B.﹣1 C. D.‎ ‎9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?(  )‎ A.9日 B.8日 C.16日 D.12日 ‎10.设f(x)=asin2x+bcos2x,且满足a,b∈R,ab≠0,且f()=f(),则下列说法正确的是(  )‎ A.|f()|<|f()|‎ B.f(x)是奇函数 C.f(x)的单调递增区间是k](k∈Z)‎ D.a=b ‎11.已知第一象限内的点M既在双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)上,又在抛物线C2:y2=2px上,设C1的左,右焦点分别为F1、F2,若C2的焦点为F2,且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.1+ D.2+‎ ‎12.设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=﹣x0,则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在次不动点.若函数f(x)=ax2﹣3x﹣a+在区间1,4]上存在次不动点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,0) B.(0,) C.,+∞) D.(﹣∞,]‎ 一、 填空题(20分,每题5分)‎ ‎13.若实数a,b满足a+b=2,则2a+2b的最小值是  .‎ ‎14.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是  .‎ ‎15.已知m∈R,函数f(x)=,g(x)=x2﹣2x+2m﹣1,下列叙述中正确的有  ‎ ‎①函数y=f(f(x))有4个零点;‎ ‎②若函数y=g(x)在(0,3)有零点,则﹣1<m≤1;‎ ‎③当m≥﹣时,函数y=f(x)+g(x)有2个零点;‎ ‎④若函数y=f(g(x))﹣m有6个零点则实数m的取值范围是(0,).‎ ‎16.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:‎ 单价x(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据,求得线性回归方程为=﹣20x+.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为  .‎ 一、 解答题(70分)‎ ‎17.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=.‎ ‎(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P﹣BDF的体积.‎ ‎18、(12分)已知椭圆M::+=1(a>0)的一个焦点为F(﹣1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;‎ ‎(Ⅲ)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1﹣S2|的最大值.‎ ‎19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3sinA,周长为4(+1),且sinB+sinC=sinA.‎ ‎(1)求a及cosA的值;‎ (2) 求cos(2A﹣)的值.‎ ‎20.(12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn、an、成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,设,求数列{Cn}的前项和Tn.‎ ‎21.(12分)(2016•兰州模拟)已知函数f(x)=+ax,x>1.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)的极小值;‎ ‎(Ⅲ)若方程(2x﹣m)lnx+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.‎ ‎22.(10分)已知函数f(x)=|x﹣1|.‎ ‎(Ⅰ)解不等式f(x﹣1)+f(x+3)≥6;‎ ‎(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f().‎ 数学(文)答案 一、ABBB CAAD ADCD 二、13、4 14、30+6‎ 15、 ‎①②④ 16、‎ 三、‎ ‎17、解:(Ⅰ)∵BC=CD=2,∴△BCD为等腰三角形,再由 ,∴BD⊥AC.‎ 再由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BD.‎ 而PA∩AC=A,故BD⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC,‎ ‎∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的.‎ ‎△BCD的面积S△BCD=BC•CD•sin∠BCD==.‎ ‎∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣=×‎ ‎==.‎ ‎18、解:(I)因为F(﹣1,0)为椭圆的焦点,所以c=1,又b2=3,‎ 所以a2=4,所以椭圆方程为=1;‎ ‎(Ⅱ)因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,‎ 所以直线方程为y=x+1,和椭圆方程联立得到 ‎,消掉y,得到7x2+8x﹣8=0,‎ 所以△=288,x1+x2=,x1x2=﹣,‎ 所以|CD|=|x1﹣x2|=×=;‎ ‎(Ⅲ)当直线l无斜率时,直线方程为x=﹣1,‎ 此时D(﹣1,),C(﹣1,﹣),△ABD,△ABC面积相等,|S1﹣S2|=0,‎ 当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 和椭圆方程联立得到,消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,‎ 显然△>0,方程有根,且x1+x2=﹣,x1x2=,‎ 此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|‎ ‎=2|k(x2+x1)+2k|==≤==,(k=时等号成立)‎ 所以|S1﹣S2|的最大值为.‎ ‎19、解:(1)∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA,‎ ‎∴可得:bc=6,‎ ‎∵sinB+sinC=sinA,可得:b+c=,‎ ‎∴由周长为4(+1)=+a,解得:a=4,‎ ‎∴cosA====,‎ ‎(2)∵cosA=,‎ ‎∴sinA==,‎ ‎∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A﹣1=﹣,‎ ‎∴cos(2A﹣)=cos2Acos+sin2Asin=.‎ ‎20、解:(Ⅰ) 由题意知 当n=1时,;‎ 当 两式相减得an=2an﹣2an﹣1(n≥2),整理得:(n≥2)‎ ‎∴数列{an}是为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎∴bn=4﹣2n ‎==,‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①﹣②得 ‎∴‎ ‎21、解:(Ⅰ)函数f(x)=+ax,x>1.‎ ‎,由题意可得f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立;‎ ‎∴,‎ ‎∵x∈(1,+∞),∴lnx∈(0,+∞),‎ ‎∴时函数t=的最小值为,‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ) 当a=2时,‎ 令f′(x)=0得2ln2x+lnx﹣1=0,‎ 解得或lnx=﹣1(舍),即 当时,f'(x)<0,当时,f′(x)>0‎ ‎∴f(x)的极小值为 ‎(Ⅲ)将方程(2x﹣m)lnx+x=0两边同除lnx得 整理得 即函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点;‎ 由(Ⅱ)可知,f(x)在上单调递减,在上单调递增,当x→1时,,∴,‎ 实数m的取值范围为 ‎22、解:( I)∵f(x)=|x﹣1|.‎ ‎∴不等式f(x﹣1)+f(x+3)≥6等价|x﹣2|+|x+2|≥6,‎ 若当x≥2时,不等式等价为x﹣2+x+2≥6,‎ 即2x≥6,解得x≥3.‎ 当﹣2<x<2时,不等式等价为2﹣x+x+2≥6,‎ 即4≥6,此时不成立.‎ 当x≤﹣2时,不等式等价为2﹣x﹣x﹣2≥6,‎ 即2x≤﹣6,即x≤﹣3.‎ 综上不等式的解集为(﹣∞,﹣3]∪3,+∞).‎ ‎( II)要证,‎ 只需证|ab﹣1|>|b﹣a|,‎ 只需证(ab﹣1)2>(b﹣a)2‎ 而(ab﹣1)2﹣(b﹣a)2=a2b2﹣a2﹣b2+1=(a2﹣1)(b2﹣1)>0,‎ ‎∵|a|<1,|b|<1,‎ ‎∴a2<1,b2<1,‎ 即a2﹣1<0,b2﹣1<0,‎ 即(a2﹣1)(b2﹣1)>0,成立,‎ 从而原不等式成立.‎