专题4-7+解三角形及其应用举例（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 21页

第07节 解三角形及其应用举例 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理及其应用 ‎2013浙江文18； ‎ ‎2014浙江文18；理10，18；‎ ‎2015浙江文16；理16；‎ ‎2016浙江文16；理16；‎ ‎2017浙江14.‎ ‎1.测量距离问题；‎ ‎2.测量高度问题；‎ ‎3.测量角度问题.‎ ‎4.备考重点：‎ ‎（1）掌握正弦定理、余弦定理；‎ ‎（2）掌握几种常见题型的解法.‎ ‎（3）理解三角形中的有关术语.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 测量距离问题 实际问题中的有关概念 ‎(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．‎ ‎(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．‎ ‎(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)‎ ‎①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．‎ ‎②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．‎ ‎③南偏西等其他方向角类似．‎ ‎　　　‎ ‎(4)坡度：‎ ‎①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．‎ ‎②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．‎ 对点练习：‎ ‎【浙江宁波模拟】如图，某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道，某公园位于商业中心北偏东角，且与商业中心的距离为公里处，现要经过公园修一条直路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小时，的距离为 公里．‎ ‎【答案】．‎ ‎ ‎ ‎2. 测量高度问题 余弦定理： ， ， .‎ 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 对点练习：‎ ‎【2015高考湖北】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，，，在中，由，‎ 所以，因为，由正弦定理可得，即m，‎ 在中，因为，，所以，所以m. ‎ ‎3. 测量角度问题 应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．‎ 对点练习：‎ ‎【2017广东佛山二模】某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中， ， ， ， ， 位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行， 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ，故.‎ ‎ ‎ ‎【考点深度剖析】‎ 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等以下.‎ ‎ 高考对正弦定理和余弦定理应用的考查，主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意，难度不大．主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．从近几年浙江卷来看，三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形，考查边角的计算，也有与导数结合考查的情况.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 测量距离问题 ‎【1-1】【2017北京市延庆区一模】在相距2千米的两点错误！未找到引用源。处测量目标错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。两点间的距离是_______________千米.‎ ‎【答案】错误！未找到引用源。‎ ‎【解析】如图，由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x,∵∠CAB=75°，‎ ‎∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-75°-60°=45°，∴错误！未找到引用源。 ，‎ ‎∴在Rt△ABD中，错误！未找到引用源。 （千米），所以错误！未找到引用源。两点间的距离是错误！未找到引用源。 千米.‎ ‎【1-2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．‎ ‎【答案】‎ ‎∴AB＝(km)．∴A，B两点间的距离为 km.‎ ‎【1-3】如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB，‎ ‎∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB＝200 m.‎ 即A，B两点间的距离为200 m. ‎ ‎【领悟技法】‎ 研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有：‎ (1)两点都不可到达；‎ (2)两点不相通的距离；‎ (3)两点间可视但有一点不可到达.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式二】如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为 (　　)‎ A．50m　　 　B．50m C．25m D.m ‎【答案】　A ‎【解析】由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，∴AB＝＝ ‎＝50(m)．‎ 考点2 测量高度问题 ‎【2-1】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)‎ ‎【答案】‎ ‎【2-2】要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，设电视塔AB高为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得 BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝x.‎ 在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，‎ 解得x＝40，所以电视塔高为40米． ‎ ‎【2-3】如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎ 已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解.‎ ‎ 已知两边和夹角，余弦定理求出对对边.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.‎ ‎【答案】‎ 在中， . ‎ ‎【变式二】如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，，由正弦定理得，所以.‎ 在中，.‎ 考点3 测量角度问题 ‎【3-1】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，‎ ‎【3-2】如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.‎ ‎ (1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；‎ ‎(2)当θ为何值时，观光道路最长？‎ ‎【答案】（1），；（2）当时，观光道路最长．‎ 解：(1)在△OCD中，由正弦定理，得 ＝＝＝，‎ 所以CD＝sin＝cos θ＋sin θ，OD＝sin θ，‎ 因为OD