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考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.坐标系与极坐标
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线性质
掌握
2018课标全国Ⅱ,22;
2018课标全国Ⅱ,23;
2018课标Ⅰ,23;2018湖南,12;
2018安徽,4
解答题
★★★
2.参数方程
了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质
掌握
2018课标全国Ⅲ,22;2018江苏,21C;
2018课标全国Ⅲ,23
2018陕西,23;2018课标Ⅰ,23;
2018北京,3
解答题
★★★
分析解读 坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.
五年高考
考点一 坐标系与极坐标
1.(2018北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 .
答案 1
2.(2018天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 .
答案 2
3.(2018课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解析 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cos α·=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
4.(2018课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分)
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分)
|AB|=|ρ1-ρ2|==.(8分)
由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分)
所以l的斜率为或-.(10分)
5.(2018课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解析 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)
教师用书专用(6—21)
6.(2018安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B.2
C. D.2
答案 D
7.(2018江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
答案 A
8.(2018安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2 B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1
答案 B
9.(2018北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcos θ-ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B两点,则|AB|= .
答案 2
10.(2018湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为 .
答案 x2+y2-2y=0
11.(2018广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为 .
答案 (2,-4)
12.(2018湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且
|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .
答案 ρcos=1
13.(2018重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= .
答案
14.(2018广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 .
答案 (1,1)
15.(2018天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 .
答案 3
16.(2018北京,9,5分)在极坐标系中,点到直线ρsin θ=2的距离等于 .
答案 1
17.(2018湖北,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为 .
答案
18.(2018广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 .
答案 ρcos θ+ρsin θ=2
19.(2018辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得
由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.
故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
即ρ=.
20.(2018课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解析 (1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将代入x2+y2-8x-10y+16=0得
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
21.(2018辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
解析 (1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)
注:极坐标系下点的表示不唯一.
(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
由参数方程可得y=x-+1,所以
解得a=-1,b=2.(10分)
考点二 参数方程
1.(2018江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
解析 直线l的普通方程为x-2y+8=0.
因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),
从而点P到直线l的距离d==.
当s=时,dmin=.
因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.
2.(2018课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解析 (1)C1的普通方程为+y2=1.
C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.(8分)
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)
3.(2018陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
解析 (1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
从而有x2+y2=2y,
所以x2+(y-)2=3.
(2)设P,又C(0,),
则|PC|==,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,P点的直角坐标为(3,0).
4.(2018课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解析 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为
d=|4cos θ+3sin θ-6|.
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,
其中α为锐角,且tan α=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
5.(2018课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解析 (1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M的轨迹的参数方程为
(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
教师用书专用(6—13)
6.(2018北京,3,5分)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上
答案 B
7.(2018湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为 .
答案 (,1)
8.(2018湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为 .
答案 3
9.(2018陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为 .
答案 (θ为参数)
10.(2018江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
解析 椭圆C的普通方程为x2+=1.
将直线l的参数方程代入x2+=1,得
+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.
所以AB=|t1-t2|=.
11.(2018福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
解析 (1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,
圆C的普通方程为x2+y2=16.
(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.
12.(2018江苏,21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.
解析 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-8.
所以AB=|t1-t2|=8.
13.(2018福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解析 (1)由点A在直线ρcos=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,
从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,
因为圆心C到直线l的距离d==<1,
所以直线l与圆C相交.
三年模拟
A组 2018—2018年模拟·基础题组
考点一 坐标系与极坐标
1.(2018四川南充模拟,22)在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,圆C的圆心是C,半径为1,求:
(1)圆C的极坐标方程;
(2)直线l被圆C所截得的弦长.
解析 (1)因为圆C的圆心是C,半径为1,
所以转化成直角坐标为C,半径为1,
所以圆的方程为+=1,
转化成极坐标方程为ρ2-ρcos θ-ρsin θ=0.
(2)已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,
所以ρ=1,
即x+y-=0.
直线l的方程为x+y-=0,圆心C满足直线的方程,所以直线经过圆心,
所以直线l被圆C所截得的弦为圆的直径.
由于圆的半径为1,所以所截得的弦长为2.
2.(2018四川德阳模拟,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程;
(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=-与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积.
解析 (1)曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.
转化为直角坐标方程为x2+y2=4x.
直线l的参数方程为(t为参数),
转化为直角坐标方程为y=x-m.
(2)当m=0时,A,B,
所以S△AOB=×2×2sin=+1.
3.(2018安徽合肥二模,22)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
(1)求出圆C的直角坐标方程;
(2)已知圆C与x轴交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l',若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.
解析 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,故x2+y2-4x=0,即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)l:y=2x关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+2m,易知AB为圆C的直径,故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,故≤2,于是,实数m的最大值为-2.
4.(人教A选4—4,一,1-3,5,变式)在极坐标系中,曲线C:ρ=4acos θ(a>0),直线l:ρcos=4,C与l有且只有一个公共点.
(1)求a的值;
(2)若O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.
解析 (1)曲线C的直角坐标方程为(x-2a)2+y2=4a2(a>0),曲线C表示以(2a,0)为圆心,2a为半径的圆.
l的直角坐标方程为x+y-8=0.
由题意知直线l与圆C相切,则=2a,解得a=(舍负).
(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=cos θ+cos=8cos θ-sin θ=cos,
所以当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值,为.
考点二 参数方程
5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcos θ+1=0,l与C相交于A、B两点.
(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;
(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.
解析 (1)直线l的参数方程为(t为参数),
转化为直角坐标方程为x-y-1=0.
曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcos θ+1=0,
转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.
(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4t+2=0,A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,
则|MA|·|MB|=|t1·t2|=2.
6.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=asin θ(a≠0).
(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;
(2)设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,求a的值.
解析 (1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0.
由圆C的极坐标方程为ρ=asin θ(a≠0),可得ρ2=aρsin θ,根据ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,
可得圆C的直角坐标方程为x2+y2-ay=0,
即x2+=.
(2)由(1)可知圆C的圆心为,半径r=,
直线方程为4x+3y-8=0,
圆心到直线l的距离d==,
直线l截圆C的弦长为=2,
解得a=32或a=,
故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时,a的值为32或.
7.(2018河北石家庄二中3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别是(t是参数)和(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;
(2)射线OM:θ=α与曲线C1的交点为O,P,与曲线C2的交点为O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值.
解析 (1)C1的普通方程为y2=4x,C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(2)由(1)可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ,与直线θ=α联立可得:ρ=,即OP=,同理可得OQ=2sin α.
所以|OP|·|OQ|==,令f(α)=,易知f(α)在α∈上单调递减,所以(|OP|·|OQ|)max==8.
B组 2018—2018年模拟·提升题组
(满分:40分 时间:35分钟)
解答题(共40分)
1.(2018辽宁鞍山一模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:+=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:ρ(2cos θ-sin θ)=6.
(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程;
(2)在曲线C1上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.
解析 (1)曲线C1:+=1,
设θ为参数,令x=cos θ,y=2sin θ,
则曲线C1的参数方程为(θ为参数).
又直线l:ρ(2cos θ-sin θ)=6,
即2ρcos θ-ρsin θ-6=0,
化为直角坐标方程是2x-y-6=0.
(2)设P(cos θ,2sin θ),
则P到直线l的距离d=
=,
∴cos=-1,即P时,
点P到直线l的距离最大,最大值为=2.
2.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.
解析 (1)∵曲线C的参数方程是(α为参数),
∴将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,
即x2+y2-6x-8y=0.(2分)
∴C的极坐标方程为ρ=6cos θ+8sin θ.(4分)
(2)把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ1=4+3,
∴A.(6分)
把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ2=3+4,
∴B.(8分)
∴S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB
=×(4+3)×(3+4)sin=12+.(10分)
3.(2018福建泉州二模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cos θ.
(1)求l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(2)当φ∈(0,π)时,l与C相交于P,Q两点,求|PQ|的最小值.
解析 (1)由直线l的参数方程(t为参数),
消去参数t,得(x-3)sin φ-(y-1)cos φ=0,
即直线l的普通方程为xsin φ-ycos φ+cos φ-3sin φ=0.
由圆C的极坐标方程ρ=4cos θ,得ρ2-4ρcos θ=0(*).
将代入(*)得,x2+y2-4x=0.
即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)将直线l的参数方程代入(x-2)2+y2=4,
得t2+2(cos φ+sin φ)t-2=0.
设P,Q两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=-2(cos φ+sin φ),t1t2=-2.
所以|PQ|=|t1-t2|
=
=2
=2,
因为φ∈(0,π),所以2φ∈(0,2π),
所以当φ=,即sin 2φ=-1时,|PQ|取得最小值2.
4.(2018河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin =5,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解析 (1)因为圆C的参数方程为(φ为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x2+(y-2)2=4.
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+(y-2)2=4,
得圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.
设P(ρ1,θ1),则由解得ρ1=2,θ1=.
设Q(ρ2,θ2),则由解得ρ2=5,θ2=.
所以|PQ|=3.
C组 2018—2018年模拟·方法题组
方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
1.(2018四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l过点(-1,0),且斜率为,射线OM的极坐标方程为θ=.
(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;
(2)已知射线OM与曲线C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解析 (1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),
∴曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入整理得ρ+2cos θ-2sin θ=0,
即曲线C的极坐标方程为ρ=2sin.
∵直线l过点(-1,0),且斜率为,
∴直线l的方程为y=(x+1),
∴直线l的极坐标方程为ρcos θ-2ρsin θ+1=0.
(2)当θ=时,|OP|=2sin=2,|OQ|==,
故线段PQ的长为2-=.
2.(2018四川凉山州模拟,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求证:|PA|×|PB|为定值.
解析 (1)圆C的方程为ρ=6sin θ,
转化为直角坐标方程为x2+y2-6y=0.
(2)证明:点P(1,2),圆C与直线l交于点A,B,
把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6y=0中,
整理得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,设t1和t2分别为A和B对应的参数,则t1·t2=-7(定值),
故|PA|×|PB|=|t1·t2|=7为定值.
3.(2018山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中φ为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.
解析 (1)C1的普通方程为+y2=1,
C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,
C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,
联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,
则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4.
令t=1+sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,
当0<α<时,t∈(1,2).
设f(t)=+4t-4,
易得f(t)在(1,2)上单调递增,
∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).
方法2 参数方程与普通方程的互化方法
4.(2018湖北荆州一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)求曲线C的普通方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的方程为ρsin+=0,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.
解析 (1)曲线C的参数方程为(α为参数),
sin α=,cos α=,
普通方程为+=1,
化简得x2+y2=2.
(2)由ρsin+=0,
知ρ(cos θ-sin θ)+=0,化为普通方程为x-y+=0,
圆心到直线l的距离d=,
由垂径定理得|AB|=.
5.(2018河南郑州质检,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;
(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.
解析 (1)由(α为参数)消去参数α,得+y2=1,即曲线C的普通方程为+y2=1,
由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,①
将代入①得y=x+2,
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),
即(t为参数),将其代入+y2=1并化简得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=.
6.(2018湖南长郡中学六模,22)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.
解析 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1,
C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(2)当t=时,P(-4,4),又Q(8cos θ,3sin θ),故M,
又C3的普通方程为x-2y-7=0,则M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|3sin θ-4cos θ+13|=|5(sin θ-φ)+13|其中φ满足tan φ=,所以d的最小值为.