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- 2021-06-15 发布
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甘肃省通渭县第二中学2018届高三级第一次月考数学(文科)试题
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项
中,只有一项是正确的.
1. 若集合A={x|0<x<2},B={x|﹣1≤x≤1},则(∁RA)∩B=( )
A. {x|-1≤x≤0} B. {x|1≤x<2}
C. {x|﹣1<x≤0} D. {x|0≤x<1}
【答案】A
2. 函数f(x)= 的定义域为( )
A. (-1,+∞) B. (-1,1)∪(1,+∞) C. [-1,+∞) D. [-1,1)∪(1,+∞)
【答案】B
【解析】由题意得,解得且,故函数的定义域为。选B。
3. 命题:“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( )
A. 若a2+b2=0,则a=0且b≠0 B. 若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
C. 若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0 D. 若a=0且b=0,则 a2+b2≠0
【答案】C
4. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A. B. C. D. y=log2x
【答案】D
【解析】选项A中,函数在区间(0,+∞)上为减函数,不合题意;
选项B中,函数在区间(0,+∞)上为减函数,不合题意;
选项C中,函数在区间(0,+∞)上为减函数,不合题意;
选项D中,函数y=log2x在区间(0,+∞)上为增函数,符合题意。选D。
5. 若函数f(x)=ax2+(2a2﹣a)x+1为偶函数,则实数a的值为( )
A. 1 B. C. 0 D. 0或
【答案】D
【解析】∵函数为偶函数,∴,即
,∴,解得或。选D。
6. 下列说法不正确的是( )
A. 若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题
B. 命题“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0”
C. 设A,B是两个集合,则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件
D. 当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减
【答案】C
【解析】选项A中,由p且q命题的真假的判定可知正确;
选项B中,由含有量词的命题的否定知正确;
选项C中,,故“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件,故C错误;
选项D中,由幂函数的性质可得正确。综上,选C。
7. 已知函数 ,则f(0)的值是( )
A. B. 24 C. D. 12
【答案】C
【解析】根据分段函数可得,。选C。
8. 函数f(x)=ex+x﹣4的零点所在的区间为( )
A. (﹣1,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (2,3)
【答案】B
【解析】由题意可得 ,
∴。故函数的零点所在区间为。选B。
9. 若a=30.6,b=log3 0.2,c=0.63,则( )
A. a>c>b B. a>b>c C. c>b>a D. b>c>a
【答案】A
【解析】试题分析:因为,,,所以.故选A.
考点:指数函数和对数函数的图像和性质.
10. 函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析:函数的定义域为,所以排除B;
又,所以函数为偶函数,图像关于轴对称,所以排除C;
又因为,所以排除D.故A正确.
考点:函数图像.
11. 设f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log3(1+x),则f(﹣2)=( )
A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】因为函数f(x)为奇函数,所以。选B。
12. 已知,为的导函数,则的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵,
∴,为奇函数,关于原点对称,排除B,D,
设,
令,
当时, ,时,,
,h(x)有极小值:,所以,
在x>0时,有两个根,排除C.
所以图象A正确,
本题选择A选项.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13. 若集合A={a﹣5,1﹣a,9},B={﹣4,a2},且A∩B={9},则a的值是_____.
【答案】﹣3
【解析】∵,∴。∴,解得。
当时,,不符合互异性,故舍去;
当时,,符合题意。故。答案:。
14. 计算的结果为_____.
【答案】7
【解析】原式。答案:7。
15. 函数f(x)=ax(0<a<1)在[1,2]中的最大值比最小值大,则a的值为_____.
【答案】
【解析】∵,∴函数在区间上单调递减,所以,由题意得,又,故。答案:
16. 已知函数f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0)对任意的x1∈[﹣1,2]都存在x0∈[﹣1,2],使得g(x1)=f(x0)则实数a的取值范围是_____.
【答案】
【解析】∵,∴,即,设函数在上的值域为A,则;同理函数在上的值域。“对任意的x1∈ [﹣1,2]都存在x0∈ [﹣1,2],使得g(x1)=f(x0)”等价于,即,所以,解得,又,所以。故实数的取值范围为。答案:。
点睛:解题的关键是理解题意,注意以下结论:
(1)“任意的x1∈ A都存在x0∈ B,使得g(x1)=f(x0)”等价于函数在区间A上的值域是函数在区间B上值域的子集;
(2)“任意的x1∈ A都存在x0∈ B,使得g(x1)>f(x0)”等价于函数在区间A上的最小值大于函数在区间B上的最小值。
三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|2x﹣4≥x﹣2},C={x|x≥a﹣1}.
(1)求A∩B.
(2)若B∪C=C,求实数a的取值范围.
【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤3}(2)a≤3
【解析】试题分析:(1)解不等式求出集合A,B,根据交集的定义求出A∩B={x|2≤x≤3};(2)等价于,转化为不等式求解。
试题解析:
解:(1)由题意知,A={x|﹣1≤x≤3} B={x|x≥2},
所以A∩B={x|2≤x≤3}。
(2)因为B∪ C=C,所以B⊆C ,
所以a﹣1≤2,
解得a≤3。
所以实数a的取值范围为。
18. 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5],
(1)当a=﹣1时,求函数的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数.
【答案】(1)[f(x)]max=37,[f(x)] min=1(2)a≤﹣5
【解析】试题分析:(Ⅰ)a=﹣1时,配方得到f(x)=(x﹣1)2+1,从而可以看出x=1时f(x)取最小值,而x=﹣5时取最大值,这样便可得出f(x)的最大值和最小值;
(Ⅱ)可以求出f(x)的对称轴为x=﹣a,而f(x)在[﹣5,5]上是单调函数,从而可以
得出﹣a≤﹣5,或﹣a≥5,这样便可得出实数a的取值范围.
解:(Ⅰ)a=﹣1,f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1;
∵x∈[﹣5,5];
∴x=1时,f(x)取最小值1;
x=﹣5时,f(x)取最大值37;
(Ⅱ)f(x)的对称轴为x=﹣a;
∵f(x)在[﹣5,5]上是单调函数;
∴﹣a≤﹣5,或﹣a≥5;
∴实数a的取值范围为(﹣∞,﹣5]∪[5,+∞).
考点:函数单调性的判断与证明;二次函数的性质.
19. 已知函数f(x)=-x3+ax,
(1)求a=3时,函数f(x)的单调区间;
(2)求a=12时,函数f(x)的极值.
【答案】(1)单调增区间(﹣1,1)单调减区间(-∞,﹣1),(1,+∞).(2)当x=-2时有极小值-16,当x=,2时有极大值16
【解析】试题分析:(1)先求出,令可得增区间,令可得减区间;
(2)先判断函数的单调性,然后根据极值的定义求得极小值和极大值。
试题解析:
(1)当时,,
∴。
由,解得;
由,解得或。
∴函数单调增区间为(﹣1,1),单调减区间(-∞,﹣1),(1,+∞)。
(2)当时,,
∴,
当时,单调递减;
当时,单调递增;
当时,单调递减。
∴当时,有极小值,且极小值为;
当时,有极大值,且极大值为。
20. 函数f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)(0<a<1).
(1)求方程f(x)=0的解;
(2)若函数f(x)的最小值为﹣1,求a的值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)求出函数的定义域,把方程转化成的形式,最后转化成求方程在函数定义域内的解。
(2)因为,又,所以有
,故函数的最小值为,令可求得。
试题解析:(1)要使函数有意义,则有,解得:﹣3<x<1,
函数可化为
由f(x)=0,得﹣x2﹣2x+3=1
即x2+2x﹣2=0,
解得或。满足﹣3<x<1。
∴方程的解为。
(2),
∵,
∴ ,
∵,
∴ 。
由题意可得,
解得,满足条件。
∴ 。
即的值为。
点睛:解决对数型函数的有关问题时,要注意以下几点:(1)函数的定义域;(2)底数与1的大小关系;(3)如何将函数解析时变形,并确保变形的等价性;(4)复合函数是怎样构成的,即它是由哪些基本初等函数复合而成的。
21. 设定义在[﹣2,2]上的函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,且f(1﹣m)<f(3m).
(1)若函数f(x)在区间[﹣2,2]上是奇函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[﹣2,2]上是偶函数,求实数m的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)由函数为奇函数可得在区间上单调递减,将不等式
转化成进行求解;
(2)由题意可得函数在上递增,在上递减,将不等式
转化成进行求解。
试题解析:
(1)∵函数f(x)在区间[﹣2,2]上是奇函数且在区间[0,2]上单调递减,
∴函数f(x)在[﹣2,2]上单调递减,
∵
∴,
解得。
∴实数m的取值范围。
(2)∵函数f(x)在区间[﹣2,2]上是偶函数且在区间[0,2]上单调递减,
∴函数f(x)在[﹣2,0]上单调递增,
∵
∴,
解得。
∴实数m的取值范围。
点睛:若函数在定义域(或某一区间上)是增函数,则。利用此结论可将“函数”不等式的求解转化为一般不等式的求解,此类问题常与函数的奇偶性结合在一起考查,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行。
22. 已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 ( 是自然对数的底数)时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)直接运用导数的几何意义求解;(2)借助题设条件运用等价转化的数学思想先进行转化,再构造运用导数的知识求其值域求解.
试题解析:
(1)当时,,,,又,
∴所求切线方程为.
(2)由题意知,,恒成立,即恒成立,
∵,∴,则恒成立.
令,则,,
∵,∴,即在上是减函数.
∴当时,.
∴的取值范围是.
考点:导数的有关知识和综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含
参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问时,这时,求解时先对已知函数进行求导,再将切点横坐标代入求得切线的斜率为,就可以求出切线的方程为;第二问中的求的取值范围问题则可直接从不等式中分离出参数,再运用导数求其最小值从而使得问题获解.