高中数学选修2-2课时提升作业(六) 1_3_2 13页

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(六)‎ 函数的极值与导数 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ ‎1.下列结论中，正确的是(　　)‎ A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值 C.如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值 D.如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值 ‎【解析】选B.可根据可导函数极值的定义判断.‎ ‎2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是(　　)‎ ‎【解析】选C.由函数f(x)在x=-2处取得极小值可知x<-2时，f′(x)<0，则 xf′(x)>0；x>-2时，f′(x)>0，则-20时，xf′(x)>0.‎ ‎3.(2014·烟台高二检测)已知函数f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*)存在极值，则k的取值集合是(　　)‎ A.{2，4，6，8，…} B.{0，2，4，6，8，…}‎ C.{1，3，5，7，…} D.N*‎ ‎【解题指南】对k分奇偶讨论，对原函数求导，进而探求在导数为0的左右附近，导数符号的变化，从而确定是否存在极值点.‎ ‎【解析】选A.因为k∈N*，①当k的取值集合是{2，4，6，8，…}时，函数f(x)=x2-2lnx，所以f′(x)=2x-=，由f′(x)=0得x=1.当x∈(1，‎ ‎+∞)时，f′(x)>0；当x∈(0，1)时，f′(x)<0，所以x=1是函数的极值点.‎ ‎②当k的取值集合是{1，3，5，7，…}时，函数f(x)=x2+2lnx，所以 f′(x)=2x+=，由f′(x)=0得x∈∅.故此时原函数不存在极值点.故选A.‎ ‎4.若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，则(　　)‎ A.00 D.b<‎ ‎【解析】选A.由f′(x)=3x2-3b=3(x2-b)，依题意，首先要求b>0，所以 f′(x)=3(x+)(x-)，由单调性分析，x=有极小值，由x=∈得b∈(0，1).‎ ‎【变式训练】若函数f(x)=sinx-kx存在极值，则实数k的取值范围是(　　)‎ A.(-1，1) B.[0，1)‎ C.(1，+∞) D.(-∞，-1)‎ ‎【解析】选A.因为函数f(x)=sinx-kx，所以f′(x)=cosx-k，当k≥1时，‎ f′(x)≤0，所以f(x)是定义域上的减函数，无极值；当k≤-1时，f′(x)≥0，所以f(x)是定义域上的增函数，无极值；当-10时，f(x)(　　)‎ A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 ‎【解析】选D.由题意知f′(x)=-=，‎ 令g(x)=ex-2x‎2f(x)，则g′(x)=ex-2x‎2f′(x)-4xf(x)‎ ‎=ex-2(x‎2f′(x)+2xf(x))=ex-‎ ‎=ex.‎ 由g′(x)=0得x=2，当x=2时，‎ g(x)min=e2-2×22×=0.‎ 即g(x)≥0，则当x>0时，f′(x)=≥0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，既无极大值也无极小值.‎ ‎6.(2013·福建高考)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)‎ A.∀x∈R，f(x)≤f(x0)‎ B.-x0是f(-x)的极小值点 C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点 ‎【解析】选D.对于A项，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大；‎ 对于B项，f(-x)是把f(x)的图象关于y轴对称，因此，-x0‎ 是f(-x)的极大值点；‎ 对于C项，-f(x)是把f(x)的图象关于x轴对称，因此，x0是-f(x)的极小值点；‎ 对于D项，-f(-x)是把f(x)的图象分别关于x轴、y轴作对称，因此-x0是-f(-x)的极小值点.故选D.‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎7.(2014·营口高二检测)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=____________.‎ ‎【解题指南】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值.‎ ‎【解析】求导函数可得y′=3(x+1)(x-1)，令y′>0，可得x>1或x<-1；令y′<0，可得-10⇒m<1.‎ 答案：m<1‎ ‎8.(2014·徐州高二检测)已知函数f(x)=x3-3x2，给出下列命题：‎ ‎(1)f(x)是增函数，无极值；‎ ‎(2)f(x)是减函数，无极值；‎ ‎(3)f(x)的递增区间是(-∞，0)，(2，+∞)；‎ ‎(4)f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值.‎ 其中正确命题是________.‎ ‎【解题指南】对函数f(x)=x3-3x2求导，由f′(x)>0得其单调增区间，f′(x)<0得其单调减区间，问题即可得到解决.‎ ‎【解析】因为f′(x)=3x2-6x，由f′(x)>0得x>2或x<0，由f′(x)<0得00时，f′(x)=3kx2-6x=3kx，‎ 所以f(x)的单调增区间为(-∞，0]，，单调减区间为.‎ ‎(2)当k=0时，函数f(x)不存在极小值.‎ 当k>0时，依题意f=-+1>0，‎ 即k2>4，由条件k>0，所以k的取值范围为(2，+∞).‎ ‎11.(2013·福建高考)已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).‎ ‎(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程.‎ ‎(2)求函数f(x)的极值.‎ ‎【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，求出切线方程；欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论.‎ ‎【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=1-.‎ ‎(1)当a=2时，f(x)=x-2lnx，f′(x)=1-(x>0)，‎ 所以f(1)=1，f′(1)=-1，‎ 所以y=f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.‎ ‎(2)由f′(x)=1-=，x>0可知：‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，函数f(x)无极值.‎ ‎②当a>0时，由f′(x)=0，解得x=a.‎ 因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，+∞)时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-alna，无极大值.‎ 综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，‎ 当a>0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna，无极大值.‎ 一、选择题(每小题4分，共16分)‎ ‎1.(2014·哈尔滨高二检测)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于(1，0)点，则f(x)(　　)‎ A.极大值是，极小值是0‎ B.极大值为0，极小值为 C.极大值为0，极小值为-‎ D.极大值为，极小值为-‎ ‎【解题指南】对函数求导可得，f′(x)=3x2-2px-q，由f′(1)=0，f(1)=0可求p，q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值.‎ ‎【解析】选A.对函数求导可得，f′(x)=3x2-2px-q，‎ 由f′(1)=0，f(1)=0‎ 可得解得 所以f(x)=x3-2x2+x.‎ 由f′(x)=3x2-4x+1=0，得x=或x=1，当x≥1或x≤时，函数单调递增；当0，在x=右侧f′(x)<0，所以x=是极大值点，故选C.‎ ‎3.(2014·杭州高二检测)设函数f(x)=x3-4x+a，0-1 B.x2<0‎ C.x2>0 D.x3>2‎ ‎【解题指南】利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x10；‎ 在上，‎ f′(x)<0；在上，f′(x)>0.故函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.‎ 故f是极大值，f是极小值.‎ 再由f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1.‎ 根据f(0)=a>0，且f=a-<0，‎ 可得>x2>0.故选C.‎ ‎4.(2014·铁岭高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c(a，b，c∈R)，且函数f(x)在区间(0，1)内取得极大值，在区间(1，2)内取得极小值，则z=(a+3)2+b2‎ 的取值范围为(　　)‎ A. B.‎ C.(1，2) D.(1，4)‎ ‎【解析】选B.f′(x)=x2+ax+2b，‎ 因为函数f(x)在区间(0，1)内取得极大值，‎ 在区间(1，2)内取得极小值，所以 即画出可行域如图所示，z=(a+3)2+b2为可行域内的点到(-3，0)的距离的平方，由图可知，距离的最小值为=，距离的最大值为2(最大、小值均取不到)，所以z=(a+3)2+b2的取值范围为.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为________.‎ ‎【解析】f′(x)=3x2-4cx+c2，f′(2)=c2‎-8c+12=0，c=2或6，c=2时f(x)在x=2处取极小值，c=6时f(x)在x=2处取极大值，故常数c的值为6.‎ 答案：6‎ ‎6.(2014·广州高二检测)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)·(x-a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是____________.‎ ‎【解题指南】f(x)在x=a处取到极大值，分析可得有x0，x>a时，f′(x)<0，分3种情况讨论x>a时与x0，且x>a时，‎ f′(x)=a(x+1)(x-a)<0，‎ 当a≥0时，不成立，‎ 当-10，x>a时，‎ f′(x)<0，符合题意；‎ 当a≤-1时，有xa时，f′(x)>0，f(x)在x=a处取到极小值，不合题意，‎ 综合可得：-10，得x<-或x>；‎ 令g′(x)<0，得-0)，‎ f′(x)=x-5+=，‎ 令f′(x)=0，解得x1=2，x2=3.‎ 当03时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0，2)，(3，+∞)上为增函数；‎ 当2g=.所以b≤.‎ 关闭Word文档返回原板块