2019年高考数学精讲二轮教案第二讲　算法、复数、推理与证明 20页

第二讲　算法、复数、推理与证明 考点一　复数的概念与运算 ‎1．复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．‎ ‎2．复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．‎ ‎3．复数运算中常见的结论 ‎(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；‎ ‎(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；‎ ‎(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)‎ A．0 B. C．1 D. ‎[解析]　∵z＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎2．(2018·安徽安庆二模)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为(　　)‎ A.－i B.＋i C.－i D.＋i ‎[解析]　由(2＋i)z＝1－i，得z＝＝＝－i，∴＝＋i，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎3．(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z满足zi＝3＋4i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[解析]　由zi＝3＋4i，得z＝＝＝4－3i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎4．(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z＝，为z的共轭复数，则()2017＝(　　)‎ A．i B．－i C．－22017i D．22017i ‎[解析]　由题意知z＝＝＝i，可得＝－i，则()2017＝[(－i)4]504·(－i)＝－i，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎[快速审题]　(1)看到题目的虚数单位i，想到i运算的周期性；看到z·，想到公式z·＝|z|2＝||2.‎ ‎(2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．‎ ‎　复数问题的解题思路 以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．‎ 考点二　程序框图 ‎1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．‎ ‎2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．‎ ‎3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为(　　)‎ A．4 B．2 C. D．－1‎ ‎[解析]　S和n依次循环的结果如下：S＝，n＝2；S＝1－，n＝4.所以1－‎ ＝2，a＝－1，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎2．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i的值为(　　)‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎[解析]　根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n＝12，i＝1；n＝6，i＝2；6≠5；n＝3，i＝3；3≠5；n＝10，i＝4；10≠5；n＝5，i＝5；5＝5成立，程序结束，输出i＝5，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入(　　)‎ A．i＝i＋1 B．i＝i＋2‎ C．i＝i＋3 D．i＝i＋4‎ ‎[解析]　S＝1－＋－＋…＋－＝－，当不满足判断框内的条件时，S＝N－T，所以N＝1＋＋＋…＋，T＝＋＋…＋，所以空白框中应填入i＝i＋2，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是________．‎ ‎[解析]　由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋＋(－1)＋＋0＝－1－，n＝2015，输出S.‎ ‎[答案]　－1－ ‎[快速审题]　(1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．‎ ‎(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n次循环体，根据结果判断．‎ ‎(3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值．‎ ‎　求解程序框图2类常考问题的解题技巧 ‎(1)程序框图的运行结果问题 先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．‎ ‎(2)程序框图的填充问题 最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i20，退出循环，输出S的值为54，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎8．(2018·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是(　　)‎ A. B．－1 C．2008 D．2‎ ‎[解析]　模拟程序的运行，可知S＝2，k＝0；S＝－1，k＝1；S＝，k＝2；S＝2，k＝3；…，可见S的值每3个一循环，易知k＝2008对应的S值是第2009个，又2009＝3×669＋2，∴输出的S值是－1，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎9．(2018·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是(　　)‎ A．i>100，n＝n＋1 B．i<34，n＝n＋3‎ C．i>34，n＝n＋3 D．i≥34，n＝n＋3‎ ‎[解析]　算法的功能是计算1＋＋＋…＋的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎10．(2018·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎[解析]　由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎11．(2018·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为(　　)‎ A．i>6? B．i>5? C．i≥3? D．i≥4?‎ ‎[解析]　依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎12．(2018·吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为(　　)‎ A．①② B．①③‎ C．②④ D．①④‎ ‎[解析]　设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为π(R－)2；④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.‎ ‎[答案]　D 二、填空题 ‎13．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．‎ ‎[解析]　∵(1－2i)(a＋i)＝2＋a＋(1－2a)i为纯虚数，∴解得a＝－2.‎ ‎[答案]　－2‎ ‎14．如图是一个三角形数阵：‎ 按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________．‎ ‎[解析]　前15行共有＝120(个)数，故所求的数为a122＝＝.‎ ‎[答案]　 ‎15．(2018·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m＝30，n＝18，则输出的m的值为________．‎ ‎[解析]　如果输入m＝30，n＝18，第一次执行循环体后，r＝12，m＝18，n＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r＝6，m＝12，n＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r＝0，m＝6，n＝0，满足输出条件，故输出的m值为6.‎ ‎[答案]　6‎ ‎16．“求方程x＋x＝1的解”，有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2的解集是________．‎ ‎[解析]　因为x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2，所以x6＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)，所以(x2)3＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)．令f(x)＝x3＋x，所以不等式可转化为f(x2)>f(x＋2)．因为f(x)在R上单调递增，所以x2>x＋2，解得x<－1或x>2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．‎ ‎[答案]　(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎