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- 2021-06-15 发布
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数学试卷
一.选择题
1.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合交集的概念,直接求解,即可得出结果.
【详解】因为集合 , ,
所以 .
故选:C
【点睛】本题主要考查集合交集的运算,熟记概念即可,属于基础题型.
2.把根式 化成分数指数幂是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根式与指数幂的互化公式,即可得出结果.
【详解】
故选:D
【点睛】本题主要考查根式与指数幂的互化,熟记公式即可,属于基础题型.
3.下列函数相等的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
{ }1,2,3,4A = { }1 3B x x= − ≤ ≤ A B =
{ }1 3x x< ≤ { }0,1,2,3 { }1,2,3 { }0,1,2
{ }1,2,3,4A = { }1 3B x x= − ≤ ≤
{ }1,2,3A B =
a a
3
2( )a−
3
2( )a− −
3
2a−
3
2a
1 3
2 2a a a a a= × =
y x= 2y x= y x= 2y x=
2y x= 2( )y x= y x=
2xy x
=
【分析】
根据相等函数的概念,逐项判断,即可得出结果.
【详解】若两函数 定义域相同,对应关系一致,则两函数相等.
A 选项,因为 与 的定义域都是 ,但 ,对应关系不一致,故
与 不是相等函数;A 错;
B 选项,因为 与 的定义域都是 ,且 ,故 与 是
相等函数;故 B 错;
C 选项,函数 的定义域为 , 的定义域为 ,定义域不同,故
与 不是相等函数;故 C 错;
D 选项,函数 的定义域为 , 的定义域为 ,定义域不一致,
故 与 不是相等函数;故 D 错.
故选:B
【点睛】本题主要考查相等函数的判断,熟记相等函数的概念即可,属于基础题型.
4.函数 是奇函数,则 等于( )
A. 1 B. 0 C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义域关于原点对称,可直接得出结果.
【详解】因为函数 是奇函数,所以定义域关于原点对称,
即 ,所以 .
故选:A
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数,熟记函数奇偶性的特征即可,属于基础题型.
5.若指数函数 的图象经过点 ,则 ( )
的
y x= 2y x= R 2y x x= = y x=
2y x=
y x= 2y x= R 2y x x= = y x= 2y x=
2y x= R 2( )y x= [ )0,+∞
2y x= 2( )y x=
y x= R
2xy x
= ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
y x=
2xy x
=
( ), [ 1, ]( 1)y f x x a a= ∈ − > − a
1−
( ), [ 1, ]( 1)y f x x a a= ∈ − > −
1 0a− + = 1a =
( )f x (2,9) ( 1)f − =
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先设函数解析式 且 ,根据图像过定点,求出解析式,即可得出结果.
【详解】设指数函数 且 ,
因为 的图象经过点 ,
所以 ,解得: ,即 ,
因此 .
故选:A
【点睛】本题主要考查由指数函数过定点求参数,以及求函数值的问题,熟记指数函数解析
式即可,属于基础题型.
6. 下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( ).
A. y=- B. y=x C. y=x2 D. y=1-x
【答案】D
【解析】
A: B:增函数;C:二次函数 在对称轴 y 轴右侧 增函数;D:一
次函数 是减函数.故选 D
7.函数 ,则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数单调性,得到 在 上单调递减,进而可得出结果.
【详解】易知函数 上单调递减,
为
是
在
1
3
1
3
− 2 2−
( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠
( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠
( )f x (2,9)
2 9a = 3a = ( ) 3xf x =
1 11 3( ) 3f −− = =
1
x
1(1) 1 (2) ;2f f= − < = − 2y x=
1y x= −
1( ) , [1,2]f x xx
= ∈ ( )f x
1( )f x x
= [1,2]x∈
1( )f x x
= [1,2]x∈
所以函数 .
故选:A
【点睛】本题主要考查由函数单调性求最值,熟记幂函数单调性即可,属于基础题型.
8.以下四个图形中,可以作为函数 的图像的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:根据函数的定义知,对于定义域内的任一变量,都有唯一的函数值和其对应,显
然选项 A、B、C 中均有一个变量对应多个值,即错误,故选 D.
考点:函数的定义.
9.已知 的定义域为 ,则 的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的定义域为 ,求 的范围,即可得出结果.
【详解】因为 的定义域为 ,
即 ,所以 ,
因此函数 的定义域为 .
故选:C
( )max( ) 1 1= =f x f
( )y f x=
( 1)f x + [1,2] ( )f x
[0,1] [1,2] [2,3] [3,4]
( 1)f x + [1,2] 1x +
( 1)f x + [1,2]
1 2x≤ ≤ 2 1 3≤ + ≤x
( )f x [2,3]
【点睛】本题主要考查求抽象函数的定义域,熟记求抽象函数定义域的方法即可,属于常考
题型.
10.设 , , ,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简这三个数为 2x 的形式,再利用函数 y=2x 在 R 上是增函数,从而判断这三个数的大小关
系.
【详解】∵ =21.8, =(23)0.48=21.44, =21.5,
函数 y=2x 在 R 上是增函数,1.8>1.5>1.44,
∴21.8>21.5>21.44,故 y1>y3>y2,
故选 A.
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,体现了转化的数学思想,属于基础题.这
个题目考查的是比较指数和对数值的大小;一般比较大小的题目,常用的方法有:先估算一
下每个数值,看能否根据估算值直接比大小;如果不能直接比出大小再找中间量,经常和 0,
1,-1 比较;还可以构造函数,利用函数的单调性来比较大小.
二.填空题
11.集合 的真子集有_____________个.(用数字作答)
【答案】7
【解析】
【分析】
根据含 个元素的集合的真子集个数为 个,即可得出结果.
【详解】含 个元素的集合的真子集个数为 个,
所以集合 的真子集个数为 .
故答案为:
0.9
1 4y = 0.48
2 8y = 1.5
3
1( )2y −=
1 3 2y y y> > 2 1 3y y y> >
1 2 3y y y> > 3 1 2y y y> >
0.9
1 4y = 0.48
2 8y =
1.5
3
1
2y
− =
{ }1,0,1−
n 2 1n −
n 2 1n −
{ }1,0,1− 32 1 7− =
7
【点睛】本题主要考查求集合的子集个数,熟记公式即可,属于基础题型.
12.设 , ,则 ____________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据函数解析式,由内到外,逐步代入,即可得出结果.
【详解】因为 ,所以 ,
又 ,所以 .
故答案为:
【点睛】本题主要考查求函数值,由内到外,逐步代入即可,属于基础题型.
13.设集合 , ,若 A,B 相等,则实数 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用集合相等,列方程组求出 的值,再代入检验即可.
【详解】由集合相等的概念得
解方程组可得 ,
经检验此时 , ,满足
所以
故答案为:1
【点睛】本题考查了集合相等的概念,注意要将所得参数代入原集合检验,避免出现与集合的互
异性相悖的情况,属于基础题.
14.函数 的定义域为______.
1, 0,
( ) 0, 0,
1, 0,
x
f x x
x
>
= =
− <
1,( ) 0
xg x x
=
为有理数,
, 为无理数, [ ( )]f g π =
1,( ) 0
xg x x
=
为有理数,
, 为无理数, ( ) 0π =g
1, 0,
( ) 0, 0,
1, 0,
x
f x x
x
>
= =
− <
[ ( )] (0) 0π = =f g f
0
{ }21, 2, 1A a= − − { }21, 3 ,0B a a= − a =
a
2
2
1 0
3 2
a
a a
− =
− = −
1a =
{ }1, 2,0A = − { }1, 2,0B = − A B=
1a =
3
1 1
y
x
=
− −
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质及分母不为 0,列不等式求解即可.
【详解】由 解得 ,且 .
故答案为
【点睛】由于函数的定义域、值域均为集合,因此在填空题中,必须将函数的定义域、值域
写成集合或区间的形式,否则是错误的.
15.设 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 ____.
【答案】
【解析】
【分析】
已知 时,解析式 ,故可求得 f(-1),进而根据函数是奇函数
,求得 f(1)= -f(-1).
【详解】∵ 是奇函数,
∴ .∴f(1)= -3.
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,若函数是奇函数,则f(-x)= -f(x),若函数是偶函数,
则 f(-x)= f(x).利用函数的奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.
三.解答题
16.已知函数 且 , .
(1)求 , 的值;
(2)求 的值.
【答案】(1) , ;(2)
【解析】
【分析】
( ) ( ],0 0,1−∞
1 0,
1 1 0,
x
x
− ≥ − − ≠
1x ≤ 0x ≠
( ) ( ],0 0,1−∞
( )f x R 0x ≤ ( ) 22f x x x= − ( )1f =
3−
0x ≤ ( ) 22f x x x= −
( )f x
( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 1 1 3f f − = − = × − − − =
1( ) (1
= ∈+f x x Rx
1)x ≠ − 2( ) 2( )= + ∈g x x x R
(2)f (2)g
[ (2)]f g
1(2) 3f = (2) 6g = 1[ (2)] 7f g =
(1)根据函数解析式,直接计算,得出 , ;
(2)由(1)可直接计算出结果.
【详解】(1)因为 , ,所以 ;
;
(2)由(1)得 .
【点睛】本题主要考查求函数值,根据解析式直接代入即可,属于基础题型.
17.已知集合 .
(1)求 ;
(2)求 .
【答案】(1) 或 ;(2) 或 或
【解析】
【分析】
(1)先对集合求交集,再求补集,即可得出结果;
(2)先求出 ,再和集合 求并集,即可得出结果.
【详解】(1)因为 ,所以 ,
因此 或 ;
(2)因为 ,所以 或 ,
因此 或 或 .
【点睛】本题主要考查集合的基本运算,熟记交集、并集、补集的概念即可,属于基础题型.
18.计算下列各式
(1) ;
(2)
【答案】(1) ;(2) .
1(2) 3f = (2) 6g =
1( ) 1f x x
= +
2( ) 2g x x= + 1 1
1( 32 2)f =+=
2(2) 2 2 6g = + =
1[ (2)] (6) 7
= =f g f
{ } { }3 7 , 2 10A x x B x x= ≤ < = < <
( )RC A B
( )RA C B
{ 3x x < }7x ≥ { 2x x ≤ 3 7x≤ < }10x ≥
RC B A
{ } { }3 7 , 2 10A x x B x x= ≤ < = < < { }3 7A B x x∩ = ≤ <
{( ) 3RC A B x x∩ = < }7x ≥
{ } { }3 7 , 2 10A x x B x x= ≤ < = < < { 2RC B x x= ≤ }10x ≥
{( ) 2RA C B x x∪ = ≤ 3 7x≤ < }10x ≥
1 4
0 3 0.753 370.064 ( ) [( 2) ] 168
− − −− − + − +
1 1 3
2
1
2 3 3 2
1 ( 4 )( ) ( 0, 0).4 0.1 ( )
ab a b
a b
−−
− −
⋅ > >
27
16
4
25
【解析】
【分析】
(1)根据指数幂的运算法则,即可得出结果;
(2)根据根式与指数幂的互化公式,即可得出结果.
【详解】(1)
;
(2) .
【点睛】本题主要考查指数幂的运算,熟记运算法则即可,属于基础题型.
19.已知函数 是奇函数,且 .
(1)求 的值;
(2)判断函数 在 上的单调性.
【答案】(1) ,
(2)函数 在 上为减函数
【解析】
分析】
(1)根据函数是奇函数,得到 ,求出 ;再由 ,求出 ;
(2)先由(1)得 ,任取 作出得到
,根据单调性的定义,即可判断出结果.
【详解】(1) 是奇函数, ,
即
, ,
【
( ) ( )1 4
1 40 3 0.75 33 370.064 ( ) [( 2) ] 16 1 20 4 28 .
− − − −− −− − + − + − + − +=
5 1 1 2712 16 8 16
= − + + =
3 3
1 1 3 2 2
2
1 3 3
2 3 3 2 2 2
1 ( 4 ) 8 8 4( ) 24 50 250.1 ( ) 100
−−−
−− −
⋅ = ⋅ = =ab a b
a b a b
2 1( ) xf x ax b
+= + (1) 2f =
,a b
( )f x ( ,0)−∞
1a = 0b =
( )f x [ 1,0)−
2 21 1x x
ax b ax b
+ += −− + + 0b = (1) 2f = 1a =
2 1 1( ) xf x xx x
+= = + 1 2 0,< 1 2 1 0x x − >
1 2( ) ) 0(f x f x− < 1 2( ) ( )f x f x<
∴ ( )f x ( , 1]−∞ −
1 21 0− ≤ <
∴ ( )f x [ 1,0)−