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- 2021-06-15 发布
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天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试
高三数学(理)
第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
3.设变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.阅读如图所示的程序框图,若输入的分别为1,2,运行相应的程序,则输出的值为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一个焦点为,
且双曲线的两条渐近线的夹角为,则双曲线的方程为( )
A. B.
C. 或 D.或
6.在中,内角的对边分别为,已知,且,,则等于( )
A. B. C. 2 D.
7.如图,平面四边形中,,,点在对角线上,,则的值为( )
A. 17 B.13 C. 5 D.1
8.已知函数(其中是自然对数的底数),若当时,恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)
9.已知为虚数单位,则 .
10.在的展开式中的系数为 .(用数字作答)
11.一个四棱柱的三视图如图所示,该四棱柱的体积为 .
12.已知曲线与直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则 .
13.在平面直角坐标系中,已知抛物线(为参数)的焦点为,动点在抛物线上,动点在圆(为参数)上,则的最小值为 .
14.已知函数,若函数恰有3个零点,则实数的取值范围为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.已知函数,.
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的最大值与最小值.
16.某大学现有6名包含在内的男志愿者和4名包含在内的女志愿者,这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作,从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作,另外5人参加径赛服务工作.
(1)求参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的概率;
(2)设表示参加径赛服务工作的女志愿者人数,求随机变量的分布列与数学期望.
17. 在如图所示的几何体中,,,,
,,二面角的大小为.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成的角(锐角)的大小;
(3)若为的中点,求直线与平面所成的角的大小.
18. 已知是等比数列,满足,且成等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)设,数列的前项和为 , ,求正整数的值,使得对任意均有.
19. 设椭圆的左焦点为,离心率为,为圆的圆心.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.
20. 已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,令,其导函数为,设是函数的两个零点,判断是否为的零点?并说明理由.
天津市部分区2017~2018学年度第一学期期末考试
高三数学(理)参考答案
一、选择题:
1-8CABDC CDB
二、填空题:
9. 10. 11. 12. 13.3 14.
三、解答题:
(15)解:(Ⅰ)
所以,所以的最小正周期为.
(Ⅱ)由,得,
所以当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减;
且当,即时,,此时;
当,即时,,此时;
当,即时,,此时;
所以当时,取得最小值;当时,取得最大值
(16)解:(I)记参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的事件为,
则基本事件的总数为,
事件包含基本事件的个数为,
则.
(II)由题意知可取的值为:.
则
因此的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望是
=
(17)解:方法一:(I)因为,则,,
所以为二面角的平面角,即,
在中,,,,
所以,所以,即,
由,,且,可知平面,
又平面,所以,
又因为,平面,平面,
所以平面.
(II)由平面得,,又,即,,
两两垂直,
则以,,分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
由(I)知, 则,,,
由得,
依题意,,
设平面的一个法向量为,
则,即,不妨设,可得,
由平面可知平面的一个法向量为
设平面与平面所成的角(锐角)为,
所以,于是,
所以平面与平面所成的角(锐角)为.
(III)若为的中点,则由(II)可得,所以,
依题意平面,可知平面的一个法向量为,
设直线与平面所成角为,则
,所以直线与平面所成角的大小.
方法二:(I)因为,则,,
所以为二面角的平面角,即,
在中,,,,
所以,所以,即,
由,,且,可知平面,
又平面,所以,
又因为,平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)令的延长线的交点为,连。则平面平面,
∴二面角即平面与平面所成的角(锐角)
∵∥,,∴是的中位线,∴,
∴为正三角形。
令的中点为,连。易知,且
在直角中,,
在直角中,,∴,∴,
∴是二面角的平面角。
在直角中,,∴
∴平面与平面所成的角(锐角)为
(Ⅲ)∵,∥,∴,即。
又∵是正的边的中点,∴,
∵是平面内的两条相交直线∴平面。
∴是直线与平面所成的角。显然。
∵∥,∴直线与平面所成的角为
(18)解:(Ⅰ)设数列的公比为,则由条件得:,
又,则,
因为,解得:,
故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,
则 ①
②
①- ②得:
所以
则,则
由
得:当时,;
当时,;
所以对任意,且均有,故
(19)解:(Ⅰ)由题意知,则,
圆的标准方程为,从而椭圆的左焦点为,即,
所以,又,得.
所以椭圆的方程为:.
(Ⅱ)可知椭圆右焦点.
(ⅰ)当l与x轴垂直时,此时不存在,直线l:,直线,
可得:,,四边形面积为12.
(ⅱ)当l与x轴平行时,此时,直线,直线,
可得:,,四边形面积为.
(iii)当l与x轴不垂直时,设l的方程为,并设,.
由得.
显然,且, .
所以.
过且与l垂直的直线,则圆心到的距离为,
所以.
故四边形面积:.
可得当l与x轴不垂直时,四边形面积的取值范围为(12,).
综上,四边形面积的取值范围为.
20.解:(Ⅰ)依题意知函数的定义域为,且.
(1)当时, ,所以在上单调递增.
(2)当时,由得:,
则当时;当时.
所以在单调递增,在上单调递减.
(Ⅱ)不是导函数的零点.
证明如下:由(Ⅰ)知函数.
∵,是函数的两个零点,不妨设,
∴,两式相减得:
即:
又.
则
.
设,∵,∴,
令,.
又,∴,∴在上是増函数,
则,即当时,,
从而,
又所以,
故,所以不是导函数的零点.