【数学】重庆九龙坡区外国语学校2019-2020学年高二上学期2月月考试题（解析版） 16页

www.ks5u.com 重庆九龙坡区外国语学校2019-2020学年 高二上学期2月月考试题 一、选择题 ‎1.对于直线和平面，可以表述为“，有”，则可以表述为（ ）‎ A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 ‎【答案】C ‎【解析】由题：对于直线和平面，可以表述为“，有”，‎ 则即命题“，有”的否定，‎ 可以表述为：，有.‎ 故选：C ‎2.“两条直线同时垂直同一条直线”是“这两条直线互相平行”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】若“两条直线平行”，则“它们同时垂直同一条直线”，‎ 考虑一条直线垂直于一个平面，平面内任意两条直线都垂直于这条直线，不能推出那两条直线平行，‎ 所以“两条直线同时垂直同一条直线”是“这两条直线互相平行”的必要不充分条件.‎ 故选：C ‎3.过点，且在轴上的截距是上的截距的2倍的直线（ ）‎ A. 只有一条 B. 有且仅有两条 C. 有三条 D. 有四条 ‎【答案】B ‎【解析】当直线过原点时，直线方程，满足题意；‎ 当直线不过原点时，设其方程为经过，，解得：，‎ 直线方程为，所以一共两条.‎ 故选：B ‎4.已知两条直线，平行，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】由题：两条直线，平行，‎ 则，，解得：或，‎ 当时：直线，平行，‎ 当时：直线，重合，（舍去），‎ 所以.‎ 故选：A ‎5.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）‎ A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切 ‎【答案】C ‎【解析】因为圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为2，又因为圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为，因此有，两圆的半径和为，半径差的绝对值为，故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值，不可能是内含关系，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系的判断，求出圆心距的最小值是解题的关键.‎ ‎6.已知的平面直观图（斜二测作法）是斜边长为的等腰直角三角形，那么原的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图：是斜边长为的等腰直角三角形，‎ 过作的平行线交轴于，，，‎ 所以在原图中，，‎ 的面积为.‎ 故选：C ‎7.如图，是正方体的棱的中点，则下列判断正确的是（ ）‎ A. 直线与是相交直线 B. 直线与互相平行 C. 直线与是异面直线 D. 直线与互相垂直 ‎【答案】D ‎【解析】由题：平面，与平面交于点，所以直线与是异面直线，所以选项A错误；‎ 平面，与平面交于点，所以直线与是异面直线，所以选项B错误；‎ 根据正方体性质，所以四点共面，所以直线与不是异面直线，所以选项C错误；‎ 正方体各个表面均为正方形，所以直线与互相垂直，所以选项D正确.‎ 故选：D ‎8.已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，点关于直线对称，‎ 且线段中点在直线上，纵坐标为，所以横坐标为，‎ ‎，‎ 在椭圆上：，，两式相减得：‎ ‎，解得：.‎ 故选：B ‎9.双曲线：的左右焦点分别为，，的右支上一点满足 ‎，若坐标原点到直线距离是，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别过，作直线的垂线，垂足为，显然, 是的中点,所以=,在中, ,‎ 由双曲线的定义,可知:,‎ 在中，,‎ 故本题选B.‎ ‎10.正方体中，，则关于多面体，有如下判断：①多面体的外接球的体积为；②多面体的体积是正方体体积的；③多面体的表面积为其中判断正确的是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出几何体，如图所示：‎ 根据不共面的四点可以确定圆可得：多面体的外接球与正方体的外接球是同一个球，所以外接球半径，外接球体积为，所以①正确；设正方体体积，‎ 多面体的体积：‎ 不是正方体体积的，所以②不正确；‎ 多面体是正四面体，棱长为，‎ 多面体的表面积，所以③正确.‎ 故选：B ‎11.已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，是圆任意一点，的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出图象，根据抛物线和圆的几何性质可得：要取得最小，‎ 必有，过作直线的垂线，垂足为，‎ 根据抛物线的几何意义，‎ 的最小值，即的最小值，‎ 过点作直线的垂线与抛物线的交点，就是所求最小值时刻的点M，‎ 所以最小值为2.‎ 故选：B ‎12.椭圆的焦点，，长轴长为，在椭圆上存在点，使 ‎，对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题：椭圆的焦点，，长轴长为，‎ 在椭圆上存在点，使，只需最大角，‎ 即当为短轴端点时，得最大角即，‎ 所以，即，‎ 又对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，临界情况即过点作圆的两条切线互相垂直，此时点到圆心的距离为2，‎ 直线上存在点到圆心距离等于2，‎ 只需到直线距离小于等于2，，，‎ 所以离心率，且，‎ 综上所述：椭圆离心率的取值范围.‎ 故选：A 二、填空题 ‎13.圆与圆的公共弦所在的直线方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题：圆与圆的标准方程为：‎ 和，‎ 圆心距为，，所以两圆相交，‎ 所以公共弦所在直线方程即：，即.‎ 故答案为：‎ ‎14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 ‎___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，‎ 所以焦点在轴上，设标准方程为，‎ 且，解得：.‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ 故答案为：‎ ‎15.已知直线与抛物线交于两点，与准线交于点，为抛物线的焦点，若，则的值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据作图如下：‎ 过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，‎ 由抛物线的几何性质：，‎ 所以直线的倾斜角为，‎ ‎，即，所以，‎ 又因为，即，，‎ ‎，解得：，所以.‎ 故答案为：‎ ‎16.一个直棱柱底面是有一个内角为的三角形，面积最大的一个侧面是边长为的正方形，则这个棱柱的外接球的表面积是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出几何图形，如图所示：‎ 由题可得直三棱柱的高为6，底面三角形最大的边为，‎ 底面三角形最大的角，‎ 底面三角形的外接圆半径，‎ 所以外接球的半径，‎ 所以外接球的表面积.‎ 故答案为：‎ 三、解答题 ‎17.在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积.‎ ‎【解】根据平面图形旋转之后得到一个圆锥，下方一个圆柱内部挖掉一个半球体，‎ 所以其表面积为：，‎ 体积为：.‎ 所以该集合体的表面积为，体积为.‎ ‎18.如图，长方体中，，，，点分别在 上，‎ ‎（1）求直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）过点的平面与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎【解】（1）连接，长方体中，，‎ 所以四边形是平行四边形，所以与平行且相等，‎ 所以与平行且相等，所以四边形为平行四边形，‎ 所以，直线与所成角就是或其补角，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在中，由余弦定理，‎ ‎，‎ 所以直线与所成角的余弦值为；‎ ‎（2）设过点的平面与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，‎ 即正方形，则，‎ 作于，作于，‎ 所以，所以图中只能点在点的右侧，‎ 平面把该长方体分成的两部分为直棱柱和直棱柱，‎ 两个直棱柱的高相等，‎ 两部分体积之比为.‎ ‎19.抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）在抛物线上有一点，且的纵坐标为正数，过作圆：的切线，切点为，当四边形的面积为时，求出切线的方程.‎ ‎【解】（1）设抛物线方程，点在抛物线上，‎ ‎，解得，所以抛物线方程；‎ ‎（2）过作圆：的切线，切点为，‎ 则，‎ 四边形的面积 当四边形的面积为时，即，‎ ‎，解得 设，，即，‎ 所以点，显然过点斜率不存在的直线与圆不相切；‎ 所以设过作圆：的切线方程为，‎ 即与相切，则圆心到直线距离等于半径，‎ ‎，，解得，‎ 所以切线方程为.‎ ‎20.设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎ （1）求的方程；‎ ‎ （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎【解】（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由得．‎ ‎ ，故．‎ 所以．‎ 由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．‎ 因此l的方程为y=x–1．‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ‎，即．‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 因此所求圆的方程为 或．‎ ‎21.设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.‎ ‎【解】（1）设P（x，y），M（）,则N（），‎ 由得.‎ 因为M（）在C上，所以.‎ 因此点P的轨迹为.‎ 由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则 ‎，‎ ‎.‎ 由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.‎ 所以，即.‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎22.椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，过坐标原点的直线交于两点，，面积的最大值为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是椭圆上与不重合的一点，证明：直线的斜率之积为定值；‎ ‎（3）当点在第一象限时，轴，垂足为，连接并延长交于点，求的面积的最大值.‎ ‎【解】（1）由题可设椭圆的方程，‎ ‎，，‎ 设，‎ 面积，‎ 最大值为2，即，解得，‎ 所以椭圆的方程为：；‎ ‎（2）设是椭圆上与不重合的一点，‎ ‎，，两式作差：，即：‎ 则直线的斜率之积，‎ 所以直线的斜率之积为定值；‎ ‎（3）点在第一象限，，设直线的方程，‎ 由得：，‎ 得，，‎ 直线的斜率，其方程为，‎ 由得：‎ 设，则是方程的两个根，由韦达定理：‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 所以，‎ 所以的面积 ‎，‎ 设，当且仅当时，，，‎ 根据勾型函数性质：函数单调递增，‎ 所以当时，取得最小值，取得最大值，‎ 即当时，的面积取最大值.‎