天津市静海区2019届高三上学期三校联考数学（文）试卷 10页

静海区 2018—2019 学年度第一学期三校联考试卷 高三文数试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 页 至第 1 页，第Ⅱ卷第 1 页至第 2 页。试卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题（共 8 题；每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目的要求．请将答案填在答题纸上．） 1.若复数 满足 ，则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 2.设 ， 满足 则 （ ） A．有最小值 2，最大值 3 B．有最小值 2，无最大值 C．有最大值 3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 3. 已知命题 ： ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ） p 1sin, ≤∈∀ xRx 1sin,: >∈∃¬ xRxp 1sin,: ≥∈∀¬ xRxp 1sin,: ≥∈∃¬ xRxp 1sin,: >∈∀¬ xRxp z (3 4 ) | 4 3 |i z i− = + z 4− 4 5 − 4 4 5 x y 2 4, 1, 2 2, x y x y x y + ≥  − ≥  − ≤ z x y= + A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 设 ，若“ ”是“ ”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.为了得到函数 y＝sin3x＋cos3x 的图象，可以将函数 y＝ 2cos3x 的图象(　　) A．向右平移π 4个单位 B．向左平移π 4个单位 C．向右平移 π 12个单位 D．向左平移 π 12个单位 7．函数 的零点所在的一个区间是（　　）． A. 　　 B. 　　　　C. 　　　D. 8. 已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，请将答案填在答题纸上） 9. 已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为__________． 10. 阅读如图所示的程序框图，若输入的 分别为 1，2，运行相应的程序，则输出 的值为 __________． 11.抛物线 的焦点坐标为__________． 12.若命题“∃x∈R，使得 x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数 a 的取值范围是__________ ( ) e 2xf x x= + − ( )2, 1− − ( )1,0− ( )0,1 ( )1,2 2 2y x= 13. 函数 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 上，其 中 ,则 的最小值为______________. 14.如图，在 中， 为 上异于 ， 的任一点， 为 的中点，若 ，则 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 请将答案填在答题纸上．） 15.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 ． 16. 某公司需要对所生产的 三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如下表所 示： 产品 A B C 数量（件） 180 270 90 采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取 6 件. （1）求分别抽取三种产品的件数； （2）将抽取的 6 件产品按种类 编号，分别记为 ，现从这 6 件产品中 随机抽取 2 件. （ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果； （ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率. ABC∆ H BC B C M AH AM AB ACλ µ= +   λ µ+ = ABC∆ A B C a b c sin 3 sinb A c B= 6a = 1cos 3B = b cos(2 )6B π+ 17.如图四边形 是正方形，四边形 为直角梯形， ， ， 且平面 平面 . （Ⅰ）若 为 中点，求证： ∥平面 ； （Ⅱ）求证：直线 平面 ； （Ⅲ）若正方形 边长为 ， ，求直线 与平面 所成角的余 弦. 18. 已知等差数列 满足： ， ， ， 成等比数 列， . （Ⅰ）求数列 ， 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 . 19. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率 e= ，P（ ， ）为椭圆 C 上的点． （Ⅰ） 求椭圆 C 的方程； （Ⅱ） 若直线 y=kx+b（k≠0）与椭圆 C 交于不同的两点 A、B，且线段 AB 的垂直平分线 过定点 M（ ，0），求实数 k 的取值范围． 20. 已知函数 （其中 ）表示的曲线在点 处的 切线方程为 ． （Ⅰ）求 的值； PDCE ABCD PDCE ABCD M PA AC MDE PDCE PDCE DCAB // 090=∠ADC ⊥ ⊥PC ADE a2 aADAB == BE { }na ( )* 1 11, n na a a n N+= > ∈ 1 1a + 2 1a + 3 1a + 22log 1n na b+ = − { }na { }nb { }n na b⋅ n nT ( ) lnf x ax b x= + − a b∈R， (2 (2))f， 2 2ln 2 0x y− − = a b， （Ⅱ）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅲ）求证：当 时， ( ) 2f x kx −≥ (0 )x∈ + ∞， k *n ∈ N e 1( 1) 2 e 1 n n n −+ −≤ 一、选择题（每题 5 分） DBAC ACCD 二、填空题（每题 5 分） 9、1 10、 11、（ ，0） 12、a<–1,或 a>3 13、 14、 三简答题（15——18 每题 13 分，19、20 每题 14 分） 15.解：（Ⅰ）在 中， ，可得 ， 又由 ，可得 ，又因 ，故 ． 由 ，则 ，可得 ． -------------- （6 分） （Ⅱ）由 ，可得 ，进而得 ， ， 所以 --------------（7 分） 16、（1）由题意得在每层中抽取的比例为 ， 因此，在 产品中应抽取的件数为 件， 在 产品中应抽取的件数为 件， 在 产品中应抽取的件数为 件． 所以 A、B、C 三种产品分别抽取了 2 件、3 件、1 件. --------------（4 分） （2）（i）设 产品编号为 ； 产品编号为 产品编号为 ， 则从这 6 件产品中随机抽取 2 件的所有结果是： ，共 个． 8 15 2 1 223 + 2 1 ABC∆ sin sin a b A B = sin sinb A a B= sin 3 sinb A c B= 3a c= 6a = 2c = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 1cos 3B = 4 2b = 1cos 3B = 2 2sin 3B = 2 7cos2 2cos 1 9B B= − = − 4 2sin 2 2sin cos 9B B B= = 7 3 4 2 1 7 3 4 2cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin6 6 6 9 2 9 2 18B B B π π π ++ = − = − ⋅ − ⋅ = − （ii）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有： ，共 11 个. 所以这两件产品来自不同种类的概率为 ． --------------（9 分） 17 证明：（Ⅰ）连接 ，连接 ，因为四边形 是正方形，所以 是 的中点， 为 中点，则 ，------------1 分 又 平面 ， ----------------------------2 分 平面 ， ----------------------------3 分 所以 ∥平面 。 ----------------------------4 分 （2）平面 平面 ，平面 平面 = . 所以 ------------5 分 所以 平面 ----------------------------6 分 又 平面 ，所以 --------------------------7 分 又正方形 中 -------------------------8 分 所以直线 平面 ----------------------------9 分 （3）取 的中点 ，连接 ，则 则 平面 ----------------------------10 分 连接 ，则 是 在平面 内的射影， 所以 是直线 与平面 所成角 ---------------------11 分 中 中 所以 中 ----------------------------12 分 直线 与平面 所成角的余弦 ----------------------------13 分 18. 解：（Ⅰ）设 为等差数列 的公差， ， 则 ， ∵ ， ， 成等比数列， PDCE M PA MDE AC MDE AC MDE PDCE ^ ABCD PDCE ABCD PDCE PDCE PDCE PDCE PDCE PDCE PDCE ODEPC =∩ MO O PC ACMO // ⊂MO ⊄ ∩ CD 090=∠ADC DCAD ⊥ ⊥AD ⊂PC PCAD ⊥ DEPC ⊥ DADDE =∩ ⊥PC ADE AD N BN ADBN // ⊥BN NE NE BE BEN∠ BE BCNRt∆ aCNBNBC 222 =+= BCERt∆ aCEBCBE 622 =+= BENRt∆ 6 6sin ==∠ BE BNBEN BE 6 30 d { }na 1 1a = 2 31 , 1 2a d a d= + = + 1 1a + 2 1a + 3 1a + ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . --------------（6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ∴ ， . ①-②得 ， ， ∴ . -------------- （7 分） 19、解：（Ⅰ）依题意，得 ，解得 ，故椭圆 C 的方程为 + =1； -------------- （4 分） （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 ，消去 y， 得（4k2+3）x2+8kbx+4b2﹣12=0， 依题意△=（8kb）2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＞0， 即 b2＜3+4k2， ( ) ( )22 2 4 2d d+ = + 0d > 2d = 2 1na n= − 22log 1n na b+ = − 2log nb n= − 1 2n nb = 2 1 2n n n na b −⋅ = 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2n n nT −= + + + + 2 3 4 1 1 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2n n nT + −= + + + + 2 3 1 1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2n n n nT + − = + × + + + −   2 -1 1 1 1 1 111 1 2 1 1 1 3 2 32 22 112 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n nT + + +  −  − − = + × − = + − = − − 2 33 2n n nT += − 而 x1+x2=﹣ ，则 y1+y2=k（x1+x2）+2b= ， 所以线段 AB 的中点坐标为（﹣ ， ）． 因为线段 AB 的垂直平分线的方程为 y=﹣ （x﹣ ）． 所以（﹣ ， ）在直线 y=﹣ （x﹣ ）上， 即 =﹣ （﹣ ﹣ ）． 故 4k2+3kb+3=0，则有 b=﹣ （3+4k2）， 所以 ＜3+4k2， 故 k2＞ ．解得 k＜﹣ 或 k＞ ． 所以实数 k 的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞） --------------（10 分） 解：（Ⅰ）∵ ， ∴ ． 又曲线在点 处的切线方程为 ， ∴ ， ． ∴ ． …………… 4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 对于 恒成立， 即 在 上恒成立， 也即 在 上恒成立． 设 ， ． 令 ，得 ． 由 得， ；由 得， ， ∴ 在 内单调递减，在 内单调递增． ( ) lnf x ax b x= + − 1( )f x a x ′ = − (2 (2))f， 2 2ln 2 0x y− − = 1 1(2) 2 2f a′ = − = (2) 2 ln 2 1 ln 2f a b= + − = − 1 la b= = −， ( ) 1 lnf x x x= − − ( ) 2f x kx −≥ (0 )x∈ + ∞， 1 ln 2x x kx− − −≥ (0 )+ ∞， 1 lnx xk x + −≤ (0 )+ ∞， 1 ln( ) ( 0)x xg x xx + −= > 2 ln 2( ) xg x x −′ = ( ) 0g x′ = 2ex = ( ) 0g x′ < 20 ex< < ( ) 0g x′ > 2ex > ( )g x 2(0 e )， 2(e )+ ∞， ∴ ． ∴ ． ……………9 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ，即 ． 令 ，得 ，即 ． ∴ ， 即 ， ∴ ． ……………14 分 min( ( ))g x = 2 2 1(e ) 1 eg = − 2 11 ek −≤ 2 1 ln 1( ) e x xg x x + −= −≥1 2e (ln 1)x x −≥ 2etx += 2 2e e ( )t t+ ≥ +1 et t≥ +1 0 1 2 1e + e e e + 2 + 3 + +n n−+ + + ≥1 1 e ( 1) 1 e 2 n n n− + − ≥ e 1( 1) 2 e 1 n n n −+ −≤ *( )n∈N