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- 2021-06-15 发布
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计数原理、概率、随机变量及其分布[学生用书P211]
年份
卷别
具体考查内容及命题位置
2016
甲卷
计数原理·T5
几何概型、随机模拟·T10
互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望·T18
乙卷
二项式定理、特定项的系数·T14
几何概型·T4
柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望·T19
丙卷
排列与组合知识、新定义问题·T12
2015
Ⅰ卷
相互独立事件与独立重复试验的概率·T4
二项式定理、二项展开式特定项的系数·T10
Ⅱ卷
茎叶图及其应用、相互独立事件的概率·T18
二项式定理、二项展开式的系数和·T15
2014
Ⅰ卷
排列组合的综合应用与古典概型的概率求解·T5
二项式定理、特定项的系数·T13
Ⅱ卷
条件概率·T5
二项式定理、特定项的系数·T13
[命题分析]
1.高考对排列组合问题的考查,仍以实际生活为命题背景,在选择题、填空题或解答题中出现,在解答题中多与概率知识相交汇,难度中等.
二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主,题目难度一般,多出现在第9~10或第13~15题的位置上.
2.概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一,命题形式为“一小一大”,即一道选择或填空题和一道解答题.选择或填空题常出现在第4~10题或第14~15题的位置,主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型,难度一般.解答题常出现在第18或19题的位置,多以交汇性的形式考查,交汇点主要有两种:一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇来考查;二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查,难度中等.
题示参数
真题呈现
考题溯源
题示对比
(2016·高考全国卷乙,T14)(2x+)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)
(2016·高考全国卷甲,T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
(2015·高考全国卷Ⅱ,T18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:
62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:
73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
题溯源
(选修23 P37习题1.3A组 T5)求下列各式的二项展开式中指定各项的系数:
(1)的含的项;
(2)的常数项.
题溯源
(必修3 P136例1)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
题溯源
(必修3 P82习题2.2B组T1)某地区为了解高中生学习统计图表的情况,把标有本地区58所高中名称的号签放入一个不透明的纸箱中,充分搅拌后,逐个抽出了4个号签.再从抽出的4所学校中随机选取高一年级的一个班,得到了一个容量为173的样本.样本中的每名学生被要求做一份时间为20分钟的试卷.
(1)上述选取学校的方法是哪种抽样方法?
(2)下面是试卷中的一道题,请你按照要求解答这道题.
某班学生一次数学测验的成绩(满分为100分)如下:
男生 98,96,93,95,95,97,
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
91,93,94,90,88,85,82,84,86,83,81,80,87,80,81,89,70,73,68,61,78,52,41,50,49.
女生 97,95,94,90,93,90,85,83,85,82,81,84,89,86,82,81,87,85,87,86,83,88,81,80,70,68,66,74,61,51.
利用学过的统计图表整理和描述上面的数据,并根据统计图表分析这个班的学习情况.(注:尽可能多地使用统计图表.)
(3)下表是根据调查的173名学生解答这道题的情况制成的.你认为这个统计表有问题吗?如果有,问题在哪里,该如何改正?
学生使用统计图表的统计表
扇形图
频率分布表
频率分布直方图
频率分布折线图
茎叶图
合计
人数
75
101
91
78
55
400
百分比
18.75%
25.25%
22.75%
19.5%
13.75%
100%
题材评说
T1考题是利用通项公式求x3的系数,与教材题目类同,其解法也相同
T2中两题的说法不同,其实质是相同的,转化为长度比求解
T3
(1)考题将教材情景嫁接,从统计图表的多样类型中选择茎叶图为数据的表现形式,让教材问题具体化
(2)考题源于教材而高于教材,第二问的设置是教材问题的锦上添花,将事件关系和概率巧妙地融合,实则匠心独具,这也是教材问题升华为高考试题的途径之一
1.(必修3 P146复习参考题B组T3改编)鞋柜里有3双不同的鞋,随机取出2只,则取出的是一只左脚的,一只右脚的,但不成双的概率为( )
A. B.
C. D.
D [解析] 设A1,A2,A3表示左脚的,对应的右脚记为B1,B2,B3,则基本事件为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1)(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共15种.
所求事件包含的基本事件为(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),共6种.
所以P==,故选D.
2.(必修3 P142习题3.3A组T2改编)某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( )
A. B.
C. D.
B [解析] 设正三角形的边长为a,圆的半径为R,
则正三角形的面积为a2.
由正弦定理得2R=,即R=a,
所以圆的面积S=πR2=πa2.
由几何概型的概率计算公式得概率P==.
故选B.
3.(选修23 P40复习参考题A组T8(4)改编)(1+x+x2)·的展开式中的常数项为( )
A.5 B.-5
C.35 D.-35
B [解析] 的展开式的通项为
Tk+1=Cx6-k=(-1)kCx6-2k.
令6-2k=0,得k=3,T4=(-1)3C=-C;
令6-2k=-1,得k=(舍去);
令6-2k=-2,得k=4,T5=(-1)4Cx-2=Cx-2.
所以(1+x+x2)的展开式中的常数项为1×(-C)+C=-20+15=-5.故选B.
4.(选修23 P27习题1.2A组T7改编)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,则该台晚会节目演出顺序的编排方法数共为________.
[解析] 分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间4个节目无限制条件,有A种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法,其他3个节目有A种排法,故有CA种排法,由分类加法计数原理,知共有A+CA=42种编排方法.
[答案] 42
5.(必修3 P82习题2.2A组T6改编)某校拟举办“成语大赛”,高一(1)班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试,在相同的测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)的茎叶图如图所示.
(1)你认为选派谁参赛更好?并说明理由;
(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析,设抽到的2次成绩中,90分以上的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望E(X).
[解] (1)由茎叶图可知,甲的平均成绩为=73.8(分),乙的平均成绩为=82.8(分),乙的平均成绩大于甲的平均成绩,
又甲的成绩的方差为×[(58-73.8)2+(55-73.8)2+(76-73.8)2+(88-73.8)2+(92-73.8)2]=228.16,
乙的成绩的方差为×[(65-82.8)2+(82-82.8)2+(87-82.8)2+(85-82.8)2+(95-82.8)2]=97.76,
乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差,
因此选派乙参赛更好.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
P
E(X)=0×+1×+2×=.