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- 2021-06-15 发布
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高三理科数学期末考试
第I卷(选择题,共60分)
一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1、 设全集,,,则等于( )
A. B. C. D.
2、已知i是虚数单位,复数=( )
A.i﹣2 B.i+2 C.﹣2 D.2
3、已知,y,,则( )
A. B. C. D.
4、执行如图的程序框图,若,则输出的 ( )
A. B. C. D.
5、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )
A.48cm3 B.98cm3 C.88cm3 D.78cm3
6、若满足约束条件且向量,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7、在公差不为零的等差数列{an}中,,数列是等比数列,且,则的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.1
8、若,,命题直线与圆相交;命题,则是的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9、若先将函数图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再将所得图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
A. B. C. D.
10、在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是( )
A.2 B.-1 C.-2 D.-4
11、设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有恒成立,则不等式的解集是( )
A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣2,0)∪(0,2)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣2)∪(0,2)
12、过曲线C1:的左焦点F1作曲线C2:的切线,设切点为M,延长F1M交曲线C3:于点N,其中曲线C1与C3有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线C1的离心率为( )
A. B.﹣1 C.+1 D.
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13、二项式的展开式中的常数项为 .
14、由曲线y=,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为 .
15、在中,,,分别为角,,的对边,且满足,若,则的面积的最大值是 .
16、设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有且当x∈[﹣2,0]时,,若在区间(﹣2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数根,则的取值范围是___________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
在等差数列中,,,其前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的前项和.
18.(本题满分12分)
甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班各出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或不答都得0分,已知甲队3人每人答对的概率分别为,乙队每人答对的概率都为.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用表示甲队总得分.(1)求随机变量的分布列及其数学期望;(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.
19. (本题满分12分)
如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证:AD⊥BM;
(2)若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,二面角E﹣AM﹣D的余弦值为.
20.(本题满分12分)
设椭圆:,,分别是椭圆的左右焦点,过椭圆右焦点的直线与椭圆交于,两点.
(1)是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由;
(2)若是椭圆经过原点的弦,且,求证:为定值.
21.(本题满分12分)
已知函数.
(1)当m=1时,判断方程在区间(1,+∞)上有无实根.
(2)若x∈(1,e]时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
已知中,为外接圆劣弧上的点(不与点.重合),延长,延长的延长线于.
(1)求证:;
(2) 求证:.
23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位已知直线的参数方程为(t为参数,),曲线C的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程。
(2) 设直线与曲线C相交于A,B两点,当变化时,求的最小值
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)对任意,恒有,求实数的取值范围.
参考答案
选择1-5BBDDB 6-10DBADC 11-12DD
填空13.112 14. 15. 16.(,2)
解答题
17. ,
即 得,,
.
(Ⅱ),
,
.
18
19. (1)证明:∵长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,
∴AM=BM=,∴BM⊥AM,
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM平面ABCM∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM∴AD⊥BM;
(2)建立如图所示的直角坐标系,设,
则平面AMD的一个法向量,=(,,),
设平面AME的一个法向量为,
取y=1,得x=0,y=1,z=,所以=(0,1,),
因为 求得,所以E为BD的中点.
20. (1)由题可知,直线与椭圆必相交,①当直线斜率不存在时,经检验不合题意,
②设存在直线为,且,,由得,,,
,故直线的方程为或;
(2)设,,,,由(1)可得:
,由消去,并整理得:,
,∴为定值.
21. (Ⅰ)m=1时,令,
,
∴h(x)在(0,+∞)上为增函数
又h(1)=0,∴f(x)=g(x)在(1,+∞)内无实数根
(Ⅱ)恒成立,即m(x2﹣1)<2x+2xlnx恒成立,
又x2﹣1>0,则当x∈(1,e]时,恒成立,
令,只需m小于G(x)的最小值,
,
∵1<x≤e,∴lnx>0,
∴当x∈(1,e]时,G′(x)<0,∴G(x)在(1,e]上单调递减,
∴G(x)在(1,e]的最小值为,
则m的取值范围是
22(1);
∵A,B,C,D四点共圆,∴∠ABC=∠CDF,又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF;(2)由(1)得∠ADB=∠ABF,∵∠BAD=∠FAB,
∴△BAD∽△FAB,
根据割线定理
23(Ⅰ)由,得,所以曲线C的直角坐标方程为;
(Ⅱ)将直线l的参数方程代入,得,设两点对应的参数分别为,则,,当时,的最小值为.
24(1)当时,,
的解集为.
(2),
又有,
由题意恒成立得,,
解得,的取值范围为.