2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§2-6 函数的图象（讲解部分） 18页

考点一　函数的图象 考点清单 考向基础 1.利用描点法作函数的图象 首先,确定函数的定义域,化简函数解析式,讨论函数的性质(奇偶性、单调 性、周期性);其次,列表(尤其注意特殊点,零点,最大值与最小值,与坐标轴 的交点),描点,连线(用平滑的曲线连点). 2.利用图象变换作图 (1)平移变换 y = f ( x )   y = f ( x - h ) ; y = f ( x )   y = f ( x )+ k . (2)对称变换 y = f ( x )   y =- f ( x ) ; y = f ( x )   y = f (- x ) ; y = f ( x )   y = f (2 a - x ) ; y = f ( x )   y =- f (- x ) . (3)翻折变换 y = f ( x )   y =| f ( x )| ; y = f ( x )   y = f (| x |) . 3.函数图象的对称性 (1)若 y = f ( x )满足 f ( a + x )= f ( a - x ),即 f ( x )= f (2 a - x ),则 f ( x )的图象关于直线 x = a 对称. (2)若 y = f ( x )满足 f ( a + x )= f ( b - x ),则 f ( x )的图象关于直线 x =   对称. (3)若 y = f ( x )满足 f ( x )=2 b - f (2 a - x ),则 f ( x )的图象关于点 ( a , b ) 中心对称. (4)函数 y = f ( a + x )与 y = f ( a - x )的图象的对称轴为直线 x =0 ,并非直线 x = a . (5)函数 y = f ( a + x )与 y = f ( b - x )的图象的对称轴为直线 x =   . (6)函数 y = f ( x - a )+ b 与 y =- f ( a - x )+ b 的图象关于点 ( a , b ) 对称. 考向一　函数图象的识辨 考向突破 例1    (2018安徽马鞍山第二次教学质量监测,4)已知函数 f ( x )=   g ( x )= x 2 ,则函数 y = f ( x )· g ( x )的大致图象是   (　　)   解析　对于函数 f ( x ),当 x >0时,- x <0,所以 f (- x )=e -(- x ) -4=e x -4= f ( x ),同理,当 x ≤ 0 时,- x ≥ 0,则 f (- x )= f ( x ),故函数 f ( x )是偶函数.令 h ( x )= f ( x )· g ( x ),所以 h (- x )= f (- x )· g (- x )= f ( x )· g ( x )= h ( x ),所以函数 h ( x )是偶函数,所以排除B,D. 当 x →+ ∞ 时, f ( x )→+ ∞ , g ( x )→+ ∞ ,∴ h ( x )→+ ∞ ,故选A. 答案    A 考向二　函数图象的变换 例2    (2018安徽黄山一模,8)已知图①中的图象对应的函数为 y = f ( x ),则图 ②中的图象对应的函数为   (　　)   A. y = f (| x |)　    B. y = f (-| x |) C. y =| f ( x )|　    D. y =- f (| x |) 解析　观察函数图象可得,②是由①保留 y 轴及其左侧图象,然后将 y 轴左侧 图象翻折到右侧所得,结合函数图象的对称变换可得函数的解析式为 y = f (-| x |).选B. 答案    B 考向基础 函数图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,是体现数形结合思想的 基础,因此,应解决好以下三个方面的问题:(1)作图:应注意在定义域内依据 函数的性质选取关键部分的点;(2)识图:在观察、分析图象时,要注意到图 象的分布及变化趋势、具有的性质、解析式与图象的关系;(3)用图:函数 的图象形象地显示了函数的性质,充分利用图象提供的信息,可以研究函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等问题,利用图象还可以判断 f ( x )= g ( x )的解的个数、求不等式的解集等. 考点二　函数图象的应用 例3　若函数 f ( x )=   与 g ( x )=| x + a |+1的图象上存在关于 y 轴对称的 点,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.R　　 B.(- ∞ ,-e] C.[e,+ ∞ )　     D. ⌀   考向　函数图象的应用 考向突破 解析　设 y = h ( x )与 y = f ( x )的图象关于 y 轴对称, 则 h ( x )= f (- x )=   ∵ f ( x )与 g ( x )的图象上存在关于 y 轴对称的点, ∴ h ( x )与 g ( x )的图象有交点, ∴作出 h ( x )与 g ( x )的函数图象,如图所示:   由图知- a ≤ -e,即 a ≥ e.故选C. 答案    C 方法1 　函数图象的识辨方法 1.由解析式确定函数图象.此类问题往往需要化简函数解析式,利用函数的 性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断,常用 排除法 . 2.已知函数图象确定相关函数的图象.此类问题主要考查函数图象的变换 (如平移变换、对称变换等),要注意函数 y = f ( x )与 y = f (- x )、 y =- f ( x )、 y =- f (- x )、 y = f (| x |)、 y =| f ( x )|等的相互关系. 3.借助动点探究函数图象.解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析 式后再判断函数的图象;也可采用“以静观动”,即将动点置于某些特殊的 位置处考察图象的变化特征,从而作出选择. 4. 极限思想 的运用也是识辨函数图象的常用方法. 方法技巧 例1    (2018课标全国Ⅱ,3,5分)函数 f ( x )=   的图象大致为   (　　)   解析　本题主要考查函数的图象. ∵ f (- x )=- f ( x ),∴ f ( x )为奇函数,排除A选项; 又∵ f (2)=   >1,排除C,D选项,故选B. 答案    B 方法2 　函数图象的应用 1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶 性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究,但一定要注意性质与图 象特征的对应关系. 2.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化 为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解. 3.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本初等函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 f ( x )=0的根就是函数 f ( x )的图象与 x 轴的交点的横坐标,方程 f ( x )= g ( x )的根就 是函数 f ( x )与 g ( x )图象的交点的横坐标. 例2    (2019山西吕梁4月模拟,12)记函数 f ( x )=   +cos π x 在区间(-2,4)上 的零点分别为 x = x i ( i =1,2, … , n ),则   x i =   (　　) A.5　    B.6　    C.7　    D.8 解析　由 f ( x )=   +cos π x =0得-   =cos π x ,设 g ( x )=-   , h ( x )=cos π x , 则 g ( x )的图象关于直线 x =1对称, h ( x )的图象关于直线 x =1对称,作出函数 g ( x )与 h ( x )在(-2,4)上的图象,由图象 知两个函数图象有7个交点,其中6个交点两两关于直线 x =1对称,第7个交点 的横坐标为 x =1, 设6个交点的横坐标从小到大依次为 a , b , c , d , e , f , 则对应的两点的横坐标 a , f 满足   =1,即 a + f =2,同理 b + e =2, c + d =2,则   x i = 3 × 2+1=6+1=7,故选C. 答案    C   解题关键    根据条件判断两函数图象关于直线 x =1对称,以及利用数形结 合确定交点个数是解决本题的关键.