数学理卷·2018届甘肃省高台县第一中学高三上学期第五次模拟（12月）（2017 11页

高台一中2017年秋学期高三年级第五次检测 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎2.设为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.已知向量，，若与平行，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知，则“”是“”成立的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.若，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则他们有多少种不同的坐法？（ ）‎ A．10 B．16 C．20 D．24 ‎ ‎8.若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．3 B．5 C．7 D．10 ‎ ‎9.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的一条对称轴是 B．函数的一个对称中心是 C．函数的一条对称轴是 D．函数的一个对称中心是 ‎ ‎10.，是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知函数若函数 有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎12.设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．‎ ‎14.已知等差数列的前项和为，、、三点共线，且，则 ．‎ ‎15.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则 ．‎ ‎16.已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数，数列中，满足（），且．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）若数列的前项和为，且，求．‎ ‎18.在中，，，分别是角，，的对边，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设函数，求函数在区间上的值域．‎ ‎19.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为元，．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；‎ ‎（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在的红包个数为，求的分布列和期望．‎ ‎20.如甲图所示，在矩形中，，，是的中点，将沿折起到位置，使平面平面，得到乙图所示的四棱锥．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎21.设函数，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点极坐标为，曲线的极坐标方程为（为参数）．‎ ‎（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若为曲线上的动点，求的中点到直线：的距离的最小值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ 高台一中2017年秋学期高三年级第五次检测数学试题（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由已知，即，所以数列是公比为的等比数列，‎ 又，即，即，的，‎ 又，得，故．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎．‎ ‎18.解：（1）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵是的内角，∴，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∴．‎ 由，∴，∴，‎ ‎∴函数的值域为．‎ ‎19.解：（1）由题可得，∴，众数为2.5．‎ ‎（2）由频率分布直方图可得，红包金额在的概率为，则，‎ ‎∴的取值为0，1,2,3，‎ ‎，，，．‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴（或）．‎ ‎20.（1）证明：如图，取中点，连接，在中，，‎ ‎∴，‎ 又∵平面平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴，∴．‎ 在中，易得，,,‎ ‎∴，又∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）由题意，取中点，以为坐标原点，分别以，为，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，由（1）知是平面的法向量，设平面的法向量为，则 令，则，，‎ ‎∴，设二面角的平面角为，‎ 则，‎ 由图可知，二面角的余弦值为．‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，令，则．‎ ‎①当时，，，从而，故函数在上单调递增；‎ ‎②当时，，的两个根为，，‎ 当时，，此时，当函数单调递减；当 函数单调递增．‎ 当时，，此时函数在区间，单调递增；当函数单调递减．‎ 综上：当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在区间，单调递增；在区间函数单调递减；‎ 当时，函数单调递减；当函数单调递增．‎ ‎（2）当函数有两个极值点时，，，‎ 且，即，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 令，，‎ ‎，令，，函数单调递增；‎ 令，，函数单调递减；‎ 所以，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎22.解：（1）点的直角坐标为．‎ 由，得，①‎ 将，，代入①，‎ 可得曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线：的直角坐标方程为，‎ 设点的直角坐标为，则，‎ 那么到直线的距离 ‎，‎ ‎∴（当且仅当时取等号），‎ 所以到直线：的距离的最小值为．‎ ‎23.解：（1）当时，‎ 当时，由，得，解得；‎ 当时，无解；‎ 当时，由，得，解得 所以的解集为．‎ ‎（2）等价于，‎ 当时，等价于，‎ 由条件得且，即，‎ 故满足条件的的取值范围为．‎