数学文卷·2018届湖北省黄冈中学高二上学期期末考试模拟测试（1）（2017-01） 10页

2016—2017 学年上学期期末考试 模拟卷（1） 高二文科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5．考试范围：必修 5、选修 1-1。 第 I 卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．设命题 ： ，则 为 A． B． C． D． 2．抛物线 的准线方程是 A． B． C． D． 3．设 ，则“ ”是“ 且 ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知曲线 在 处的切线的斜率为 ，则实数 的值为 A． B． C． D． p 2, 2nn n∃ ∈ >N p¬ 2, 2nn n∀ ∈ >N 2, 2nn n∃ ∈ ≤N 2, 2nn n∀ ∈ ≤N 2, =2nn n∃ ∈N 24y x= 1y = 1y = − 1 16y = 1 16y = − ,a b∈R 4a b+ > 2a > 2b > cosy ax x= ( ,0)2 π 1 2 a 2 π 2 π− 1− π 1 π 5．在等差数列 中， ，则 的值为 A．6 B．12 C．24 D．48 6．已知双曲线 的离心率为 2，则双曲线 的渐近线方程为 A． B． C． D． 7．若变量 满足约束条件 ，则 的最大值和最小值分别为 A． B． C． D． 8．已知 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边长，且 ， ， ，则 的面积为 A． B． C． D． 9．已知函数 与 的图象如下图所示，则函数 的单调递减区间为 A． B． ， C． D． ， 10．如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30°，塔 a b c A B C 4a = 5b c+ = 3 2 3 3 3 3 2 5 2 }{ na 1 8 153 120+ + =a a a 1193 aa − 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > C y x= ± 3 3y x= ± 3y x= ± 2 2y x= ± ,x y 2 1 0 x y x y + ≤  ≥  ≥ 2z x y= + 4 3和 4 2和 3 2和 2 0和 ABC△ 3C π= ABC△ ( )f x ( )f x′ ( )( ) ex f xg x = (0,4) ( ,1)−∞ 4( ,4)3 4(0, )3 (0,1) (4, )+∞ 底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角，小王向前走了 1200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角， 则电视塔 CD 的高度为 A． B． C． D． 11 ．已知 各项均为正数的等比数列 的前 项之积为 ，且 ， ， 则当 最大时， 的值为 A．5 或 6 B．6 C．5 D．4 或 5 12．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范 围是 A． B． C． D． 第 II 卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．不 等式 的解集是 . 14．已知数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式为 . 15．用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然 后把四边形翻转 90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为 . 16．已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与 轴的交点为 ，点 在抛物线上，且 ，则 的面积为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 7 0 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） { }na n nT 600 2 m 600 3 m 200 2 m 200 3 m 2 27a = 3 6 9 1 27a a a⋅ ⋅ = nT n 3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a (2, )+ ∞ (1, )+∞ ( , 2)−∞ − ( , 1)−∞ − 2 2 5 2x x x− − ≥ { }na n n nS 23+= { }na 2 2y px= F 2 2 17 9 x y− = x Κ Α | | 2 | |ΑΚ ΑF= ΑFΚ△ 17．（本小题满分 10 分）已知命题 “ ， ”，命题 “ 是焦点在 轴上的椭圆的标准方程”.若命题“ ”是真命题，求实数 的取值范围. 18．（本小题满分 12 分）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，等比数列 满足 ， ， ． （1）求 ， ； （2）记数列 的前 项和为 ，求 ． 19 ．（本 小 题 满 分 12 分 ） 在 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 满 足 ， 是 边上的一点. （1）求角 的大小； （2）若 ， ， ，求 的长. 20．（本小题满分 12 分）某公司生产一批 产品需要原材料 500 吨，每吨原材料可创造利润 12 万元，该公司通过设备升级，生产这批 产品所需原材料减少了 吨，且每吨原材 料 创造的利润提高了 ；若将少用的 吨原材料全部用于生产公司新开发的 产 品，每吨原材料创造的利润为 万元，其中 ． （ 1）若设备升级后生产这批 产品的利润不低于原来生产该批 产品的 利润，求 的 取值范围； （2）若生产这批 产品的利润始终不高于设备升级后生产这批 产品的利润，求 的 最大值． 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 的短轴长为 2，离心率为 ， 直线 过点 交椭圆 于 两点， 为坐标原点． { }na 2d = n nS { }nb 1 1b a= 2 4b a= 3 13b a= na nb n nT nT :p [0,1]x∀ ∈ 2 0x a− ≤ :q 2 22 11 x y a a + =− x p q∧ a 1{ } nS ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 cos cos c a b A B − = D BC B 7AC = 5AD = 3DC = AB A A x 0.5 %x x B 1312( )1000a x− 0a > A A x B A a 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 6 3 l ( 1,0)− E A B、 O （1 ）求椭圆 的标准方程； （2）求 面积的最大值． 22．（本小题满分 12 分）已知函数 . （1）若函数 在 时取得极值，求实数 的值； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. E OAB△ 2 1( ) 2 ln ( )af x x a x ax −= − − ∈R ( )f x 2x = a ( ) 0f x ≥ [1, )x∈ +∞ a 2016—2017 学年上学期期末考试 模拟卷（1） 高二文科数学·参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C D C B C D A D C 13． 或 14． 15 ． 16．32 17．（本小题满分 10 分） 【解析】由“ ”是真命题，知 为真命题， 也为真命题 . （2 分） 若 为真命题，则 恒成立，∵ ，∴ ，∴ . （5 分） 若 为真命题，则有 ，即 .（8 分） 所以所求实数 的取值范围为 .（10 分） 18．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题意知 ，又等差数列 的公差 ， ， ， ， 所以 ，即 ，解得 ，（2 分） 所以 ，（4 分） 设等比数列 的公比为 ，则 ，所以 ．（6 分） （2）由（1）得 ， 所以 ，（8 分） 因此 2 2 1 3b b b= { }na 2d = 1 1b a= 2 4b a= 3 13b a= 1 3a = 3 ( 1) 2 2 1na n n= + − × = + { }nb q 2 4 1 1 3b aq b a = = = 3n nb = 1 1 1 1 1( )( 2) 2 2nS n n n n = = −+ + { | 5x x ≥ 1}x ≤ − 1 5, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ 3128 000cm p q∧ p q p 2a x≥ [0,1]x∈ 2 [0,1]x ∈ 1a ≥ q 1 02 a a> − > 1 2a< < a (1,2) 2 4 1 13a a a= ⋅ 2 1 1 1( 6) ( 24)a a a+ = + (3 2 1) ( 2)2n n nS n n + += = + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )]2 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n = × − + − + − +⋅⋅⋅+ − + −− + + ．（12 分） 19．（本小题满分 12 分） 【 解 析 】（ 1 ） 由 ， 得 ， 即 ， 根 据 正 弦 定 理 得 ， ，（2 分） 因为 ，所以 ，（4 分） 又 ，所以 .（6 分） （2）在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， 所以 ， ， （8 分） 在 中， ， ， ， 由正弦定理得 ， 所以 . （ 12 分） 20．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题意得： ． 整理得： ，又 ， 故 ．（4 分） （2）由题意知，生产 产品创造的利润为 万元， 设备升级后，生产 产品创造的利润为 万元，（5 分） 1 1 1 1(1 )2 2 1 2n n = × + − −+ + 3 2 3 4 2( 1)( 2) n n n += − + + 0x > 0 300x< ≤ 2 cos cos c a b A B − = 2 cos cos cosc B a B b A− = 2 cos cos cosc B a B b A= + 2 sin cos sin cos sin cos sin( ) sinC B A B B A A B C= + = + = sin 0C ≠ 2cos 2B = 0 180B° < < ° 45B = ° ADC△ 7AC = 5AD = 3DC = 2 2 2 cos 2 AD DC ACADC AD DC + −∠ = ⋅ 2 2 25 3 7 1 2 5 3 2 + −= = −× × 120ADC =∠ ° 60ADB∠ = ° ABD△ 5AD = 45B = ° 60ADB∠ = ° sin sin AB AD ADB B =∠ 35sin 5sin 60 5 62 sin sin 45 22 2 ADAB ADB B ×⋅ ∠ °= = =°= 12(500 )(1 0.5 %) 12 500x x− + ≥ × 2 300 0x x− ≤ B 1312( )1000a x x− A 12(500 )(1 0.5 %)x x− + 则 12 恒成立，（6 分） ∴ ，且 ， ∴ ．（8 分） ∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立， ∴ ， ∴ 的最大值为 5.5．（12 分） 21．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题意得 ，由 ，得 ，（3 分） ∴椭圆 的标准方程为 .（4 分） （2 ）依题意可 设直线 的方程为 , 由 ，得 ，（6 分） ，设 ，则 ，（8 分） ， 设 ，则 ，（10 分） ∵ ，∴ ， ∴当 ，即 时， 的面积取得最大值 ，此时 ．（12 分） 22．（本小题满分 12 分） 0x > 500 3 125 2 xa x ≤ + + 500 5002 4125 125 x x x x + ≥ − 500 125 x x = 250x = 0 5.5a< ≤ a 13( ) 12(500 )(1 0.5 %)1000a x x x x− ≤ − + 2 3500125 2 xax x≤ + + 5002 4125 x x ⋅ = 1b = 2 2 6 3 1 c a a c  =  = + 3 2 a c  = = E 2 2 13 x y+ = l 1x my= − 2 2 13 1 x y x my  + =  = − 2 2( 3) 2 2 0m y my+ − − = 2 24 8( 3) 0m m∆ = + + > 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3 my y m y y m  + = +  = − + 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 3 61 ( ) 42 2 ( 3)OAB mS y y y y y y m += × × − = + − = +△ 2 3 ( 3)m t t+ = ≥ 2 2 2 3 3 1 3 1 1 33( ) 3( )2 4OAB tS t t t t −= = − + = − − +△ 3t ≥ 1 10 3t < ≤ 1 1 3t = 3t = OAB△ 6 3 0m = 【解析】（1） ，（1 分） 依题意有 ，即 ，解得 .（3 分） 检验：当 时， . 此时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，满足在 时取得极 值.（4 分） 综上可知 .（5 分） （2）依题意可得： 对任意 恒 成立等价转化为 在 上恒成立. （ 6 分） 因为 ， 令 得： ， .（8 分） ①当 ，即 时，函数 在 上恒成立，则 在 上 单调递增， 于是 ，解得 ，此时 ；（10 分） ② 当 ， 即 时 ， 时 ， ； 时 ， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 于是 ，不合题意，此时 . 综上所述，实数 的取值范围是 .（12 分） 2 2 1 2( ) 1 a af x x x −′ = + − (2) 0f ′ = 2 11 04 a a −+ − = 3 2a = 3 2a = 2 2 2 2 2 3 3 2 ( 1)( 2)( ) 1 x x x xf x x x x x − + − −′ = + − = = ( )f x (1,2) (2, )+∞ 2x = 3 2a = ( ) 0f x ≥ [1, )x∈ +∞ min( ) 0f x ≥ [1, )x∈ +∞ 2 2 2 2 2 1 2 2 (2 1) [ (2 1)]( 1)( ) 1 a a x ax a x a xf x x x x x − − + − − − −′ = + − = = ( ) 0f x′ = 1 2 1x a= − 2 1x = 2 1 1a − ≤ 1a ≤ ( ) 0f x′ ≥ [1, )+∞ ( )f x [1, )+∞ min( ) (1) 2 2 0f x f a= = − ≥ 1a ≤ 1a ≤ 2 1 1a − > 1a > [1,2 1)x a∈ − ( ) 0f x′ ≤ (2 1, )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x [1,2 1)a − (2 1, )a − +∞ min( ) (2 1) (1) 2 2 0f x f a f a= − < = − < a ∈ ∅ a ( ,1]−∞