重庆七中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析 11页

‎2019-2020学年重庆七中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为 A. B. C. D. ‎ 2. 若a，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交 3. 圆A：与圆B：的位置关系是 A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 4. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是     ‎ A. B. C. D. ‎ 5. 过点A 、B 且圆心在直线上的圆的方程是 A. B. C. D. ‎ 6. 下列命题中，m，n表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面． 若，，则；若，，则； 若，，则；若，，，则． 其中正确的命题是   ‎ A. B. C. D. ‎ 7. 直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成角的余弦值等于 A. B. C. D. ‎ 8. 已知直线与圆交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若，则a的值为 A. 2 B. C. 4 D. 8‎ 9. 已知点A为圆上的点，点B的坐标为，P为x轴上一动点，则的最小值是 A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ 10. 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋视为球体放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心球心与蛋巢底面的距离为    ‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知点是直线上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 A. 2 B. C. D. ‎ 12. 在正三棱锥中，M，N分别是SC，BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知两条直线：，：，且，则满足条件a的值为______．‎ 14. 在正方体中，与平面所成的角为______‎ 1. 如图四边形ABCD为梯形，，，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积分别是______和______． ‎ 2. 已知圆C：和两点，若圆C上存在点M，使得，则m的最小值为______‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 3. 已知直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上． 求点C的坐标； 求的斜边中线的方程． ‎ 4. 如图，正三棱柱中，E是AC的中点． 求证：平面平面； 若，，求三棱锥的体积． ‎ ‎ ‎ 5. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切． 求圆的方程； 若直线与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． ‎ 6. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，． 若PB 的中点为E，求证：平面PCD； 若，求二面角的余弦值． ‎ ‎ ‎ 1. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，，，，，E在棱SD上． Ⅰ当时，求证：平面AEC； Ⅱ当二面角的大小为时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ 2. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆：和圆： 若直线l过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：直线经过两点， 直线AB的斜率， 设直线的倾斜角为，， 直线AB的倾斜角． 故选：C． 由直线经过，两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角． 本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：如图，在正方体中， ，AB与BC相交，与BC是异面直线， ，AB与相交，与是相交直线， ，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是异面或相交． 故选：D． 以正方体为载体，列举出所在位置关系，能求出结果． 本题考查空间中两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：圆A：的圆心坐标，半径， 圆B：的圆心坐标，半径， ， ， 圆A与圆B外切． 故选：C． 先分别求出圆A和圆B的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，由此能够判断两圆的位置关系． 本题考查圆与圆的位置关系及其判定，解题时要掌握圆的圆心坐标和圆半径的求法，要注意两点间距离公式的灵活运用． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题． 设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形得，代入求出r和l，再求出圆锥的高，代入体积公式计算． 【解答】 解：设圆锥的底面半径为r，母线为l ‎， 圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ，即， 由题意得，侧面积， 解得， ，圆锥的高， 圆锥的体积， 故选：A． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是，排除A，B选项；圆心在直线上验证D选项，不成立． 故选D． 先求AB的中垂线方程，它和直线的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程． 本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查空间中的线与面、面与面的位置关系，属于中档题． 选项由线面垂直的条件进行判断，选项用面面平行的判定定理判断，选项由线线平等的条件进行验证，选项由平行于同一平面的两个平面互相平行和一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这条直线必平行于另一个平面进行判断． 【解答】 解：由题意，m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面， 选项，此命题正确，若，则m垂直于中所有直线，由，知； 选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交； 选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面； 选项，此命题正确，因为，，所以，再由，得到． 故选C． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则0，，0，，0，，1，， 0，，1，， 设异面直线与所成角为， 则． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设，， ‎ 联立，化为， 直线与圆交于A、B两点，，解得． ， ． ． 故选：D． 联立直线方程与圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量的坐标运算求得C的坐标，代入圆的方程求解a值． 本题考查了直线与圆相交问题、向量的坐标运算，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：如图， 设圆的圆心为C，则，半径． 点关于x轴的对称点，连接，交圆C与A，交x轴于P， 则的最小值为． 故选：B． 由题意画出图形，再由两点间的距离公式求解． 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用． 蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为‎1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积得到，直径，大于折好的蛋巢边长‎1cm，由此能求出鸡蛋中心球心与蛋巢底面的距离． 【解答】 解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为‎1cm， 蛋槽立起来的小三角形部分高度是， 鸡蛋的半径根据已知的表面积得到，直径，大于折好的蛋巢边长‎1cm 四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长‎1cm， ‎ ‎ 根据图示，AB段由三角形AB求出得：， ， 鸡蛋中心球心与蛋巢底面的距离为． 故选：D． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：圆C：，圆心，半径为1． 如图，，，， ． ，． ，， 即点C到直线的距离为． ， 解得：． 故选：D． 求出圆的圆心与半径，利用四边形的最小值求出PC的最小值，利用点到直线的距离求解即可． 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，N分别是棱SC、BC的中点， ， ，可得， 由正三棱锥的性质可得， 平面且， 三棱锥是正三棱锥， 、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．侧棱， 正三棱锥的外接球的直径为：，， 故正三棱锥外接球的体积是， 故选：A． 先判断SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直，得到球的半径为三棱锥对应的正方体的体对角线的一半，求出半径，用球的体积公式求出即可． 考查了三棱锥外接球的半径的计算和体积公式，中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由于直线，则，解得， 故答案为：． 利用两直线平行得到，从而求出a的值． 本题考查两直线平行与直线一般方程之间的关系，考查转化能力与变形能力，属于基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为1， 则1，，1，，1，，0，，0，， 0，，1，，0，， 设平面的法向量y，， 则，取，得， 设与平面所成的角为， 则，． 与平面所成的角为． 故答案为：． 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出与平面所成的角的大小． 本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15.【答案】   ‎ ‎【解析】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面 ，，． 故所求几何体的表面积为： 圆台是我上底面积，下底面积 所以 又 所以，旋转体的体积为 故答案为：， 旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积． 本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是基础题． 16.【答案】3 ‎ ‎【解析】解：根据题意，点，，则AB的中点为，， 则以AB的中点为圆心，半径的圆为，设该圆为圆O， 若圆C上存在点M，使得，则圆C与圆O有交点，必有，即， 又由，解可得：， 即m的最小值为3； 故答案为：3‎ ‎． 根据题意，由A、B的坐标分析AB中点的坐标以及的值，进而求出以AB的中点为圆心，半径的圆的方程，由圆与圆的位置关系可得圆C与圆O有交点，进而可得，解可得m的取值范围，即可得答案． 本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于基础题． 17.【答案】解：直角的顶点坐标，直角顶点， 顶点C在x轴上，设， 则，求得，故C． 斜边AC的中点为，BM的斜率为， 故BM的方程为，即． ‎ ‎【解析】由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求得点C的坐标． 先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程． 本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题． 18.【答案】解：证明：正三棱柱中，平面ABC，平面ABC， ， 是正三角形，E是AC的中点，， ，平面， 平面，平面平面． 解：平面ABC，点到平面ABC的距离为， ，，，， ， 三棱锥的体积为： ． ‎ ‎【解析】推导出，，从而平面，由此能证明平面平面． 由平面ABC，得点到平面ABC的距离为，三棱锥的体积为，由此能求出结果． 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：设圆心为． 由于圆与直线相切，且半径为5， 所以，即． 即或， 解得或， 因为m为整数，故， 故所求的圆的方程是； 设符合条件的实数a存在， ，则直线l的斜率为，l的方程为，即． 由于l垂直平分弦AB，故圆心必在l上． 所以，解得． 经检验时，直线与圆有两个交点， 故存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦AB． ‎ ‎【解析】由题意圆心在x轴，且圆心横坐标是整数，设出圆心M的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d与半径r相等，列出关于m的不等式，求出不等式的解即可得到m的值，确定出圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可； 假设符合条件的实数a存在，由a不为0‎ ‎，根据两直线垂直时斜率的乘积为，由直线的斜率表示出直线l方程的斜率，再由P的坐标和表示出的斜率表示出直线l的方程，根据直线l垂直平分弦AB，得到圆心M必然在直线l上，所以把M的坐标代入直线l方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入确定出直线l的方程，经过检验发现直线与圆有两个交点，故存在． 此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质．要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．根据直线l垂直平分弦AB得到圆心M必然在直线l上是解本题第二问的关键． 20.【答案】解：证明：如图，取PC的中点F，连结AE，EF，DF， ，F分别为PB，PC的中点，，， ，且，，且， 四边形ADEF是平行四边形，， 平面PCD，平面PCD， 平面PCD． 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则0，，2，，1，，0，， ，0，，1，，1，， 设平面BDP的法向量y，， 则，取，得1，， 设平面PCD的法向量y，， 则，取，得， 设二面角的平面角为， 则， 二面角的余弦值为． ‎ ‎【解析】取PC的中点F，连结AE，EF，DF，推导出四边形ADEF是平行四边形，，由此能证明平面PCD． 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.【答案】解：在平行四边形ABCD中，，，， ，又平面ABCD， 以A为坐标原点，AC，AD，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则0，，，1， ， Ⅰ 平面AEC Ⅱ平面SAD，底面ABCD， ， 为二面角的平面角，即，此时E为SD的中点 设平面CDE的法向量为 计算可得， 即直线AE与平面CDE所成角的正弦值为． ‎ ‎【解析】先根据条件得到，再结合平面ABCD建立空间直角坐标系，求出各点的坐标； Ⅰ利用求出点E的坐标，进而得到向量的数量积为0即可证明结论； Ⅱ先根据二面角的大小为求出点E的位置，进而求出向量AE的坐标以及平面CDE法向量的坐标，最后代入线面角的计算公式即可． 本题主要考察用空间向量求直线与平面的夹角．解题的关键是要用的点的坐标比较多，写起来比较繁琐，注意不要出错． 22.【答案】解：由于直线与圆不相交； 直线l的斜率存在，设l方程为：分 圆的圆心到直线l的距离为d，被截得的弦长为 分 从而即或 直线l的方程为：或分 设点满足条件， 由题意分析可得直线、的斜率均存在且不为0， 不妨设直线的方程为， 则直线方程为：分 和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等 即分 整理得 即或 因k的取值有无穷多个，所以或分 解得或 这样的点只可能是点或点分 ‎ ‎【解析】因为直线l过点，故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程． 与相同，我们可以设出过P点的直线与的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线与的方程． 在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法． ‎