数学理卷·2017届河北省石家庄市高三冲刺模考试（2017 12页

河北省石家庄市2017届高三冲刺模考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设集合，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3.已知，，，则下列不等关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎5.等差数列的前项和为，已知，则的值为（ ）‎ A． 38 B．-19 C. -38 D．19‎ ‎6.执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（ ）‎ A． 17 B．22 C. 18 D．20‎ ‎7.已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． 2 B． C. D．‎ ‎8.某多面体的三视图如下图所示（格纸上小正方形的边长为1），则该多面体的表面积为（ ）‎ A． B． C. 12 D．‎ ‎9.正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点 是此抛物线焦点，则满足条件的三角形的个数为（ ）‎ A． 0 B． 1 C. 2 D．3‎ ‎10.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中的系数是 ．（用数字作答）‎ ‎14.已知菱形的边长为2，，则 ．‎ ‎15.设实数满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎16.已知数列满足，，且，则数列的前项和取最大值时， ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角的对边长分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19. 棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300的为“长纤维”，其余为“短纤维”）‎ 纤维长度 甲地（根数）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ 乙地（根数）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.‎ 甲地 乙地 总计 长纤维 短纤维 总计 附：（1）；‎ ‎（2）临界值表；‎ ‎0．10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎20. 已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）已知两点的坐标分别为，，点是直线上的一个动点，且直线分别交（1）中点的轨迹于两点（四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标.‎ ‎21. 已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）函数的图象与轴交于两点，，点在函数的图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为正实数，且，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1．B． 2．A． 3．D． 4．D． 5．C． 6．D．‎ ‎7．B． 8．A． 9．C． 10．C． 11．D 12．D．‎ 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．．‎ 三、解答题 ‎17．解析：（Ⅰ）由，可得 ‎．‎ 根据正弦定理得，‎ 由余弦定理，得 ‎，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，‎ 其中，， ‎ ‎，∴ ， ‎ ‎∴ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 所以．即 ‎18．（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，．‎ 取的中点为，连结，．‎ 在中，，，所以．‎ 在中，，，所以．‎ 所以，，即．‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 面．‎ 又面，所以面面．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且 所以 面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ‎ ‎，，，‎ ‎ ‎ 设平面，的法向量分别为，则 ‎，则，‎ ‎，则 ‎， ‎ ‎，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎19．解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表：‎ 甲地 乙地 总计 长纤维 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 短纤维 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎ ‎ 根据列联表中的数据，可得 所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． ‎ ‎（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为，‎ 的可能取值为：0,1,2,3， ‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎∴ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴ ．‎ ‎20．解析：（Ⅰ）依题意有，，‎ 且，‎ 所以点的轨迹方程为：．‎ ‎（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，‎ 代入椭圆方程得：‎ 且：①，② ‎ ‎∵直线：，直线：‎ 由题知，的交点的横坐标为4，得：‎ ‎，即 即：，整理得：‎ ‎③ ‎ 将①②代入③得：‎ 化简可得：‎ 当变化时，上式恒成立，故可得：‎ 所以直线恒过一定点. ‎ ‎21．解析：（Ⅰ）．‎ ‎①当时，则，则函数在是单调增函数．‎ ‎②当时，令，则，‎ 若，，所以在上是单调减函数；‎ 若，，所以在上是单调增函数．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，函数其图象与轴交于两点，则有，则．‎ 于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，所以，即，‎ 由直角三角形斜边的中线性质，可知，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 即． ‎ 因为，则，‎ 又，所以， ‎ 即，则所以．‎ ‎22．解析：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为，‎ 所以 所以圆的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）由圆的方程，可得，‎ 所以圆的圆心是，半径是2，‎ 将，代入，得，‎ 又直线过，圆的半径是2，所以，‎ 即的取值范围是．‎ ‎23．解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）∵ ，，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，‎ 又，所以，∴ ．‎