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  • 2021-06-15 发布

数学理卷·2017届河北省石家庄市高三冲刺模考试(2017

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河北省石家庄市2017届高三冲刺模考 数学(理)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.已知,,,则下列不等关系正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.函数的部分图象如图所示,则的单调递减区间为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.等差数列的前项和为,已知,则的值为( )‎ A. 38 B.-19 C. -38 D.19‎ ‎6.执行下图的程序框图,如果输入的,那么输出的的值为( )‎ A. 17 B.22 C. 18 D.20‎ ‎7.已知双曲线,过点的直线与相交于两点,且的中点为,则双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. D.‎ ‎8.某多面体的三视图如下图所示(格纸上小正方形的边长为1),则该多面体的表面积为( )‎ A. B. C. 12 D.‎ ‎9.正三角形的两个顶点在抛物线上,另一个顶点 是此抛物线焦点,则满足条件的三角形的个数为( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D.3‎ ‎10.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点,为坐标原点,则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数,若存在使得成立,则实数的值为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 的展开式中的系数是 .(用数字作答)‎ ‎14.已知菱形的边长为2,,则 .‎ ‎15.设实数满足约束条件,则的最大值为 .‎ ‎16.已知数列满足,,且,则数列的前项和取最大值时, .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 在中,角的对边长分别为,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎18. 如图,在四棱锥中,四边形为梯形,,且,是边长为2的正三角形,顶点在上的射影为点,且,,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎19. 棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于300的为“长纤维”,其余为“短纤维”)‎ 纤维长度 甲地(根数)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ 乙地(根数)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.‎ 甲地 乙地 总计 长纤维 短纤维 总计 附:(1);‎ ‎(2)临界值表;‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(2)现从上述40根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求的分布列及数学期望.‎ ‎20. 已知点,点是圆上的任意一点,设为该圆的圆心,并且线段的垂直平分线与直线交于点.‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)已知两点的坐标分别为,,点是直线上的一个动点,且直线分别交(1)中点的轨迹于两点(四点互不相同),证明:直线恒过一定点,并求出该定点坐标.‎ ‎21. 已知函数,其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)函数的图象与轴交于两点,,点在函数的图象上,且为等腰直角三角形,记,求的值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数的最小值为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若为正实数,且,求证:.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1.B. 2.A. 3.D. 4.D. 5.C. 6.D.‎ ‎7.B. 8.A. 9.C. 10.C. 11.D 12.D.‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16..‎ 三、解答题 ‎17.解析:(Ⅰ)由,可得 ‎.‎ 根据正弦定理得,‎ 由余弦定理,得 ‎,.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,‎ 其中,, ‎ ‎,∴ , ‎ ‎∴ 当时,,‎ 当时,,‎ 当时,.‎ 所以.即 ‎18.(Ⅰ)证明:由顶点在上投影为点,可知,.‎ 取的中点为,连结,.‎ 在中,,,所以.‎ 在中,,,所以.‎ 所以,,即.‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 面.‎ 又面,所以面面.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,且 所以 面,且面.以所在直线为轴,所在直线为轴,过点作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示: ‎ ‎,,,‎ ‎ ‎ 设平面,的法向量分别为,则 ‎,则,‎ ‎,则 ‎, ‎ ‎,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎19.解析:(Ⅰ)根据已知数据得到如下列联表:‎ 甲地 乙地 总计 长纤维 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 短纤维 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎ ‎ 根据列联表中的数据,可得 所以,在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”. ‎ ‎(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为,‎ 的可能取值为:0,1,2,3, ‎ ‎,,‎ ‎,.‎ ‎∴ 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴ .‎ ‎20.解析:(Ⅰ)依题意有,,‎ 且,‎ 所以点的轨迹方程为:.‎ ‎(Ⅱ)依题意设直线的方程为:,‎ 代入椭圆方程得:‎ 且:①,② ‎ ‎∵直线:,直线:‎ 由题知,的交点的横坐标为4,得:‎ ‎,即 即:,整理得:‎ ‎③ ‎ 将①②代入③得:‎ 化简可得:‎ 当变化时,上式恒成立,故可得:‎ 所以直线恒过一定点. ‎ ‎21.解析:(Ⅰ).‎ ‎①当时,则,则函数在是单调增函数.‎ ‎②当时,令,则,‎ 若,,所以在上是单调减函数;‎ 若,,所以在上是单调增函数.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当时,函数其图象与轴交于两点,则有,则.‎ 于是,在等腰三角形ABC中,显然C = 90°,所以,即,‎ 由直角三角形斜边的中线性质,可知,‎ 所以,即,‎ 所以,‎ 即. ‎ 因为,则,‎ 又,所以, ‎ 即,则所以.‎ ‎22.解析:(Ⅰ)因为圆的极坐标方程为,‎ 所以 所以圆的普通方程.‎ ‎(Ⅱ)由圆的方程,可得,‎ 所以圆的圆心是,半径是2,‎ 将,代入,得,‎ 又直线过,圆的半径是2,所以,‎ 即的取值范围是.‎ ‎23.解析:(Ⅰ)因为,‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)∵ ,,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ,‎ 又,所以,∴ .‎

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