2019高三数学（人教A版 文）一轮教师用书：第9章 重点强化课5 统计与统计案例 9页

重点强化课(五)　统计与统计案例 ‎(对应学生用书第143页)‎ ‎[复习导读]　本章是新课程改革增加内容，是命题的热点，以程序框图、回归分析、统计图表为重点，以客观题为主．命题注重背景新颖、角度灵活．但近几年统计与统计案例、统计与概率交汇，加大了考查力度.2015年、2016年全国卷均以解答题的形式呈现，强化统计思想方法和创新应用意识的考查，复习过程中应引起注意，多变换角度，注重新背景、新材料题目的训练．‎ 重点1　程序框图及应用 角度1　程序框图与数列交汇 ‎　执行如图1的程序框图，如果输入的N＝100，则输出的X＝(　　) ‎ ‎【导学号：79170336】‎ ‎ A．0.95　　　 B．0.98　　　‎ ‎ C．0.99　　　 D．1.00‎ 图1‎ ‎ C　[由程序框图知，输出的X表示数列的前99项和，‎ ‎ ∴X＝＋＋…＋ ‎ ＝＋＋…＋＝.]‎ 角度2　程序框图与统计的渗透 ‎　(2017·合肥模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图2，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图3是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．‎ 图2　　　　　　　图3‎ ‎ i<5？或i≤4？　[由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i<5？或i≤4？.]‎ 角度3　程序框图与函数交汇渗透 ‎　如图4所示的程序框图的输入值x∈[－1,3]，则输出值y的取值范围为 ‎(　　)‎ 图4‎ ‎ A．[1,2] B．[0,2]‎ ‎ C．[0,1] D．[－1,2]‎ ‎ B　[当0≤x≤3时，1≤x＋1≤4，‎ ‎ 所以0≤log2(x＋1)≤2.‎ ‎ 当－1≤x<0时，0<－x≤1⇒1<2－x≤2，‎ ‎ 所以0<2－x－1≤1.‎ ‎ 因此输出值y的取值范围为[0,2]．]‎ ‎ [规律方法]　　1.完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．‎ ‎ 2．求解该类问题，关键是准确理解程序框图的结构，明确程序框图的功能，按照程序框图中的条件进行程序．‎ 重点2　用样本估计总体 ‎　随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图，如图5所示．‎ 图5‎ ‎ (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；‎ ‎ (2)计算甲班的样本方差；‎ ‎ (3)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．‎ ‎ [解]　(1)由茎叶图可知：甲班同学身高集中在162～179 cm，而乙班同学身高集中在170～179 cm，因此乙班的平均身高高于甲班．‎ ‎ (2)甲＝ ‎ ＝170(cm)，‎ ‎ 甲班的样本方差s＝×[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm)2.‎ ‎ (3)记“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A．从乙班10名同学中抽出2名身高不低于173 cm的同学有：(173,176)，(173,178)，(173,179)，(173,181)，(176,178)，(176,179)，(176,181)，(178,179)，(178,181)，(179,181)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，故P(A)＝＝.‎ ‎ [规律方法]　　1.利用统计图表解决实际问题的关键在于从统计图表中提炼准确的数据信息．‎ ‎ 2．本例通过茎叶图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识．‎ ‎[对点训练1]　为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图6所示.‎ ‎　　　　甲　　　　‎ 乙 ‎　　　　　 7‎ ‎4‎ ‎5　　　　　 ‎ ‎　　　5 3 3 2‎ ‎5‎ ‎3 3 8‎ ‎　　　5 5 4 3 3 3 1 0 0‎ ‎6‎ ‎0 0 0 1 1 2 2 3 3 5‎ ‎　　　　　 8 6 6 2 2 1 1 0 0‎ ‎7‎ ‎0 0 2 2 2 3 3 6 6 9‎ ‎　　　　　 7 5 4 4 2‎ ‎8‎ ‎1 1 5 5 8‎ ‎　　　　　 2 0‎ ‎9‎ ‎0　　　　　 ‎ 图6‎ ‎ (1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；‎ ‎ (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值. 【导学号：79170337】‎ ‎ [解]　(1)设甲校高三年级学生总人数为n.‎ ‎ 由题意知＝0.05，解得n＝600.2分 ‎ 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为 ‎ ×100%≈83%. 5分 ‎ (2)设甲、乙两校样本平均数分别为′1，′2，‎ ‎ 根据样本茎叶图可知30(′1－′2)＝30′1－30′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15，‎ ‎ 因此′1－′2＝0.5，‎ ‎ 故1－2的估计值为0.5分. 12分 重点3　统计的应用 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 图7‎ ‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．‎ ‎ (1)若n＝19，求y与x的函数解析式；‎ ‎ (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；‎ ‎ (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎ [解]　(1)当x≤19时，y＝3 800；‎ ‎ 当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，‎ ‎ 所以y与x的函数解析式为 ‎ y＝(x∈N). 4分 ‎ (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19. 8分 ‎ (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000. 10分 ‎ 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90＋4 500×10)＝4 050. ‎ ‎ 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 12分 ‎ [规律方法]　　1.本题将分段函数、频率分布、样本的数字特征交汇命题，体现了统计思想的意识和应用．‎ ‎ 2．本题易错点有两处：一是混淆频率分布直方图与柱状图致误；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避免此类错误，需认真审题，读懂题意，并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别，纵轴表示的意义．‎ ‎[对点训练2]　(2018·池州模拟)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制的频率分布直方图如图8所示．规定80分以上者晋级成功，否则晋级失败(满分为100分)．‎ ‎ 【导学号：79170338】‎ ‎ (1)求图中a的值；‎ ‎ (2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；‎ ‎ (3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．‎ 晋级成功 晋级失败 总计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 总计 图‎ ‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d P(K2≥k)‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎0.780‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎ [解]　(1)由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1，得(2a＋0.020＋0.030＋0.040)×10＝1，解得a＝0.005. 3分 ‎ (2)由频率分布直方图知各小组的中点值依次是55,65,75,85,95，‎ ‎ 对应的频率分布为0.05,0.30,0.40,0.20,0.05，‎ ‎ 则估计该次考试的平均分为＝55×0.05＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.05＝74(分). 6分 ‎ (3)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.2＋0.05＝0.25，‎ ‎ 故晋级成功的人数为100×0.25＝25， 8分 ‎ 填写2×2列联表如下：‎ 晋级成功 晋级失败 总计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ ‎ 10分 ‎ K2＝ ‎ ＝≈2.613＞2.072，‎ ‎ 所以有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关. 12分