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- 2021-06-15 发布
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2018-2019学年福建省福州八县一中高一上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
本题考查集合的交、并、补运算。
点拨：对于列举法表示的集合，求补集就在全集中找剩下的元素。
解答：=.
2．函数y=的定义域是（ ）
A． {0|02}
【答案】B
【解析】
分母不为0且，解不等式。
【详解】
由题可得：，解得：，故选B。
【点睛】
求函数的定义域需注意分母不为0.中，对数中的真数必须为正，无意义等要求。
3．设x0是函数f（x）=lnx+x﹣4的零点，则x0所在的区间为（ ）
A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，4）
【答案】C
【解析】
对赋值，利用函数零点的存在性定理来判断。
【详解】
因为，，所以函数f（x）=lnx+x﹣4
的零点，故选C。
【点睛】
本题考查了函数零点的存在性定理，利用，可以判定在区间上至少有一个零点。
4．已知函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，那么，故选B.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
5．下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得，选项A:,所以不正确；选项B：，所以不正确；选项C：，所以不正确；选项D:,正确，故选D.
6．下列大小关系正确的是（ ）
A． 0.43＜30.4＜log40.3 B． 0.43＜log40.3＜30.4
C． log40.3＜0.43＜30.4 D． log40.3＜30.4＜0.43
【答案】C
【解析】试题分析：根据指数的性质可知：，，根据对数的性质,所以，故选择D.
【考点】1.指数对数的比较大小；2.指数、对数的运算性质.
7．如图所示，当时，函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
略
8．已知，若实数是方程的解，且，则的值是（ ）
A． 恒为负 B． 等于零 C． 恒为正 D． 不小于零
【答案】A
【解析】试题分析：因为都是增函数，所以f(x)在上是增函数，因为,所以，因而应选Ａ．
【考点】方程的根与函数的零点之间的关系，函数的单调性.
点评：解决本题的关系是判断出f(x)为增函数，并且根椐零点的定义可知f(x0)=0，从而可由知.
9．已知函数，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
有.关于(0,1)中心对称.
所以，故选A.
点睛：当要求的函数自变量互为相反数时，要想到函数的对称性，研究函数的对称性，即为求和的关系，当函数值相等时为轴对称，当函数和为定值时为中心对称.
10．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为函数在区间是减函数，根据复合函数的性质可知，外层是递减，内层在定义域内递增，故，综上可知实数a的范围是，选C
11．函数，，满足：对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为在上是增函数，所以在 上均单调递增，且 故有
解得
所以实数 的取值范围是
故选D
【点睛】本题考查函数的单调性的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，注意体会数形结合思想在分析问题中的作用．
12．定义在上的函数满足：且，则不等式的解集为（ )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，可判断函数在上递减，将不等式等价变形为，利用函数在上递减得解。
【详解】
因为，所以函数在上递减，不等式可化为，有即，由函数在上递减，可得：。故选B
【点睛】
本题利用函数的单调性来解抽象不等式，对不等式变形，左边成一个函数，右边成，当递增时，由得，当递减时，由得，从而解决不等式的解集等问题。
二、填空题
13．幂函数的图象经过点，则
【答案】2
【解析】试题分析：设幂函数，由于过点，，得，，，故答案为2.
【考点】幂函数的应用.
14．已知函数，则________.
【答案】
【解析】
∵，∴，故答案为.
15．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
为偶函数，所以，
等价于.
又在单调递减，所以有，解得.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
16．下列说法正确的是___________．
①任意，都有； ②函数 有三个零点；
③的最大值为； ④函数为偶函数；
⑤函数的定义域为[1，2]，则函数y=f（2x）的定义域为[2，4]．
【答案】②③
【解析】
①对赋值判断其错误。②作出与的图像，由图可知函数 有三个零点。③由指数函数的单调性可知其正确。④对赋值判断其错误。⑤对赋值可判断其错误。
【详解】
①当时，不等式不成立。
②作出与的图像，由图可知函数 有三个零点。
也可以再利用，，，判断。
③因为，令，则，所以，又当时，，所以的最大值为
④对时，，，不满足，所以不是偶函数。
⑤当函数y=f（2x）的定义域为时，令，则与函数的定义域为[1，2]矛盾，所以其结论错误。
【点睛】
对于错误的结论，只需要找到一个不满足要求的反例即可，考查了比较大小关系，函数零点个数问题，最值，奇偶性及抽象函数定义域问题。
三、解答题
17．计算：（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【答案】(1)10(2)2
【解析】
（1）利用指数运算公式化简。
（2）利用对数运算公式化简
【详解】
解:（Ⅰ）
（Ⅱ）
【点睛】
本题考查了指数运算及对数运算，熟悉指数运算及对数运算公式是解决问题的根本，计算量中等。
18．设全集U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2a＜x＜a+3}
（Ⅰ）当a=1时，求（CUA）∩B；
（Ⅱ）若（CUA）∩B=B，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(3,4),(2)
【解析】
（1）利用补集，交集知识求解。
（2）由（CUA）∩B=B转化成求解。
【详解】
解：（Ⅰ）解：当a=1时，B=（2，4），
CUA=（﹣∞，1）∪（3，+∞），
（CUA）∩B=（3，4）；
（Ⅱ）若（CUA）∩B=B，则B⊆CUA，
当时2a≥a+3，则a≥3
②当时或，则a≤﹣2或≤a＜3，
综上，实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥
【点睛】
本题考查了集合运算及集合间的关系知识。特别要注意是任何集合的子集这一规定。
19．已知函数是定义域为的奇函数，当.
（Ⅰ）求出函数在上的解析式；
（Ⅱ）在答题卷上画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间；
（Ⅲ）若关于的方程有三个不同的解，求的取值范围。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调增区间为，
单调减区间为；（Ⅲ）.
【解析】
试题分析; （Ⅰ）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以，可得当时 的解析式，从而得到在上的解析式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的解析式可画出函数的图象，进而得到的单调区间；
（Ⅲ）由（1）可得 有极大值1，极小值-1，进而可构造关于 的不等式，解不等式可得答案．
试题分析;（Ⅰ）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以．
所以.
综上：
（Ⅱ）图象如图所示．（图像给2分）
单调增区间：
单调减区间：
（Ⅲ）∵方程有三个不同的解
∴
∴
【点睛】本题考查利用奇偶性求函数解析式以及根的存在性及根的个数判断，其中根据图像得到函数的单调性和极值是解题的关键．
20．（本小题满分12分）
已知函数是奇函数:
（1）求实数和的值；
（2）证明在区间上的单调递减
（3）已知且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；（2）见解析；（3）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据f（1）=f（4）求出b的值；再结合f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立求出a的值即可；
（Ⅱ）直接按照单调性的证明过程来证即可；
（Ⅲ）先结合第二问的结论知道函数f（x）在（1，+∞）上递减，进而得到函数的不等式，最后把两个成立的范围相结合即可求出结论．
(1)由定义易得：
（2）设，
即所以在上的单调递减。
（3）已知且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
由及为奇函数得：
因为，，且在区间上的单调递减，
故任意的恒成立，故.
【考点】本题主要是考查函数奇偶性与单调性的综合．
点评：解决第一问的关键在于利用奇函数的定义得到f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立求出a的值．
21．某景点有辆自行车供游客租用，管理自行车的总费用是每日元，根据经验，若每辆自行车的日租金不超过元，则自行车可以全部租出；若超过元，则每提高元，租不出去的自行车就增加辆。规定：每辆自行车的日租金不超过元，每辆自行车的日租金元只取整数，并要求出租的所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理总费用，用表示出租的所有自行车的日净收入（即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理总费用后的所得）
（Ⅰ）求函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
【答案】(1) (2) 每辆自行车日租金定为元时才能使日净收入最多，为元．
【解析】
（1）根据题意列函数关系式.
（2）利用分段函数知识求最值。
【详解】
解：（Ⅰ）当时，，令，解得．
∵，∴，∴，且．
当时，
综上可知,
（Ⅱ）当，且时，∵是增函数，
∴当时，元．
当，时，
∴当时，元．
∵
∴答：每辆自行车日租金定为元时才能使日净收入最多，为元．
【点睛】
（1）熟悉生活中的常见模型，结合实际列函数关系式。
（2）对于分段函数模型，必须对自变量的范围讨论，把分段函数的最值问题，转化成几个函数最值问题处理。
22．已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；
（Ⅱ）若对任意，总有成立，求实数的取值范围。
【答案】(1) (2)[-11,1]
【解析】
（Ⅰ）利用换元法将复合函数问题转化成二次函数类型问题求解。
（Ⅱ）参变分离，把问题转化成函数的最值问题处理。
【详解】
（Ⅰ）当时， ，
，对称轴
，
（Ⅱ）由题意知，在上恒成立。，
，，，由 得 t≥1，
设，,
所以在上递减，在上递增，
在上的最大值为， 在上的最小值为
所以实数的取值范围为
【点睛】
（1）本题考查复合函数值域问题。换元法将复杂函数转化成基本函数类型解决。（2）恒成立问题一般是参变分离，把问题转化成函数的最值问题。再利用函数的单调性求函数的最值。
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