2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第一章　第1讲　集合及其运算 13页

第1讲　集合及其运算 一、知识梳理 ‎1．集合与元素 ‎(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 表示 关系 　‎ 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)‎ A⊆B ‎(或B⊇A)‎ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB ‎(或BA)‎ 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}‎ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}‎ 常用结论 ‎1．三种集合运算的性质 ‎(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.‎ ‎(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.‎ ‎(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．‎ ‎2．集合基本关系的四个结论 ‎(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．‎ ‎(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身．‎ ‎(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC.‎ ‎(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．‎ 二、教材衍化 ‎1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(　　)‎ A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D 答案：B ‎2．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为(　　)‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ 解析：选C.当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2，5，6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.‎ ‎3．已知集合A＝{1，3，－a2}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则实数a＝________．‎ 解析：因为B⊆A，所以a＋2＝3或a＋2＝－a2(此方程无实根)，所以a＝1，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．‎ 答案：1‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)‎ ‎(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)‎ ‎(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)‎ ‎(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　)‎ ‎(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×‎ 二、易错纠偏 (1)忽视集合中元素的互异性致误；‎ ‎(2)忽视空集的情况致误；‎ ‎(3)忽视区间端点值致误．‎ ‎1．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．‎ 解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.‎ 答案：0或3‎ ‎2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．‎ 解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝.‎ 答案：0或 ‎3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________．‎ 解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，‎ ‎(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．‎ 答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞)‎ ‎[学生用书P2]‎ ‎　　　　　　集合的概念(自主练透)‎ ‎1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)‎ A．5个　　　　　　　 B．4个 C．3个 D．无数个 解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，‎ 故B中有3个元素．‎ ‎2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．‎ 解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.‎ 答案：0或 ‎ 3.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．‎ 解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.‎ 答案：(16，＋∞)‎ ‎4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ 解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，‎ 则m＝1或m＝－.‎ 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；‎ 当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.‎ 答案：－ 求解与集合中的元素有关问题的注意事项 ‎(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．‎ ‎(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．　 ‎ ‎　　　　　　集合的基本关系(典例迁移)‎ ‎ (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|05}，试求m的取值范围．‎ 解：因为B⊆A，‎ 所以①当B＝∅时，2m－14.‎ 综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．‎ ‎(1)判断两集合关系的方法 ‎①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系；‎ ‎②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．‎ ‎(2)根据两集合间的关系求参数的方法 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．‎ ‎[提醒]　空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．‎ ‎1．(2020·西安模拟)设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则(　　)‎ A．MN B．NM C．M＝N D．M∪N＝R 解析：选C.集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.故答案为C.‎ ‎2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)‎ A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 解析：选A.由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．‎ ‎3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．‎ 解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，‎ 解得－2＜m＜2，符合题意；‎ ‎②若1∈B，则12＋m＋1＝0，‎ 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；‎ ‎③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，‎ 解得m＝－，此时B＝，不合题意．‎ 综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．‎ 答案：[－2，2)‎ ‎　　　　　　集合的基本运算(多维探究)‎ 角度一　集合的运算 ‎ (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－40}，B＝{y|y≥2}，则(∁RA)∪B＝(　　)‎ A. B．∅‎ C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎【解析】　(1)通解：因为N＝{x|－20}＝，所以∁RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．故选C.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)C 角度二　利用集合的运算求参数 ‎ (1)(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B． C. D．(1，＋∞)‎ ‎(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．‎ ‎(3)已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)由题意可得3a－1≥1，解得a≥，即实数a的数值范围是.故选C.‎ ‎(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.‎ ‎(3)集合A＝{x|x＜－3或x＞4}，因为A∩B＝{x|x＞4}，所以－3≤m≤4.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)4　(3)[－3，4] ‎ ‎(1)集合运算的常用方法 ‎①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；‎ ‎②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．‎ ‎(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ‎①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；‎ ‎②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．‎ ‎[提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　 ‎ ‎1．(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知集合M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝(　　)‎ A．[0，1] B．[－1，1]‎ C．[0，1) D．(0，1]‎ 解析：选A.由于M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，所以N＝[0，1]，所以M∩N＝[0，1]．故选A.‎ ‎2.(2020·安徽宣城八校联考)如图，设全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) ‎ A．{2，4} B．{7，8}‎ C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5}‎ 解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以(∁UA)∩B＝{2，4}．故选A.‎ ‎3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝(　　)‎ A．{x|－1＜x＜0} B．{x|－1＜x≤0}‎ C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x＜2}‎ 解析：选B.因为函数y＝有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤0}．故选B.‎ ‎[学生用书P4]‎ ‎　集合新定义问题中的核心素养 ‎ (1)(2020·河南南阳第一中学第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．0‎ C．－1 D．sin α＋cos α ‎(2)(2020·河北保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝(　　)‎ A．{x|00}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　　)‎ A．(－∞，1) B．(－2，1)‎ C．(－3，－1) D．(3，＋∞)‎ 解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.‎ ‎3．(2020·河南许昌、洛阳三模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0，1)，则A∩B＝(　　)‎ A．(0，1) B．(0，1]‎ C．(－1，1) D．[－1，1]‎ 解析：选A.由题意得A＝[－1，1]，又B＝(0，1)，所以A∩B＝(0，1)．故选A.‎ ‎4．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则(　　)‎ A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅‎ 解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M⊆N.故选B.‎ ‎5．(2020·广东湛江测试(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选C.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集个数为22＝4.故选C.‎ ‎6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A．9 B．8‎ C．5 D．4‎ 解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.‎ 法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.‎ ‎7．已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝(　　)‎ A．－2 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：选B.因为A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，‎ 所以或 当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}(舍)；‎ 当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}．‎ 综上，x＝0.故选B.‎ ‎8．(2020·滁州模拟)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为(　　)‎ A．{1}　　　　　　　　　 B．{－1，1}‎ C．{1，0} D．{－1，1，0}‎ 解析：选D.M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，当a＝0时，N＝∅，满足N⊆M，当a≠0时，因为N⊆M，所以＝－1或＝1，即a＝－1或a＝1.故选D.‎ ‎9.(2020·太原模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是(　　) ‎ A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)‎ C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]‎ 解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.‎ ‎10．(2020·福建厦门3月质量检查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)‎ C．(－∞，1) D．(－∞，1]‎ 解析：选D.A＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x－a<0}＝{x|x