北京市顺义牛栏山第一中学2020届高三3月高考适应性测试数学试题 21页

‎2020年3月牛栏山一中高三高考适应性测试试题 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项.‎ ‎1.复数的共轭复数是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以的共轭复数是，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2.已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m²}.若BA，则实数m的取值集合为（ ）‎ A. {1} B. {} C. {1，-1} D. {，-}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到或，计算得到答案.‎ ‎【详解】集合A={-2，3，1}，集合B={3，m²}.若BA 则或，解得 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.在的展开式中，的系数是（ ）‎ A. B. C. 5 D. 40‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.‎ ‎【详解】因为的展开式的通项为，‎ 令，则的系数是.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.‎ ‎4.在中，“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.‎ ‎【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，‎ 由，可得，，由正弦定理可得.‎ 因此，“”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎5.设且，“不等式”成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A. B. 且 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解不等式，根据不等式的解集，即可求得必要条件.‎ ‎【详解】不等式，可整理得，‎ 解得且.‎ 故当是且的必要不充分条件；‎ 而其它选项都不满足必要性.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的求解，以及命题的必要条件的求解，属综合基础题.‎ ‎6.已知两条直线，与两个平面，，下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据线线、线面、面面位置关系，结合选项，进行逐一分析即可求得.‎ ‎【详解】对：若，，则的位置关系不确定，故错误；‎ 对：若，，则的关系可以平行，可以垂直，故错误；‎ 对：若，，则的位置关系不确定，故错误；‎ 对：若，，且，故可得//，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查线线，线面，面面位置关系的判断，属基础题.‎ ‎7.已知两条直线和互相平行，则等于（ ）‎ A. 0或3或-1 B. 0或‎3 ‎C. 3或-1 D. 0或-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两直线平行的充要条件构造方程进行求解．‎ ‎【详解】两条直线和互相平行 ‎，或和同时不存在 解得：或 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查两条直线平行的应用，是基础题，解题时易错点是忽略其中一条直线斜率不存在的情况．‎ ‎8.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原几何体，故此可以判断.‎ ‎【详解】根据三视图还原几何体为如下：‎ 故可得侧面三角形为直角三角形，合计3个.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及考查棱锥的结构，属基础题.‎ ‎9.已知正的边长为4，点为边的中点，点满足，那么的值为（　　）‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：EB=EC= ，‎ 又 所以 所以 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．‎ ‎10.当x∈[0，1]时，下列关于函数y=的图象与的图象交点个数说法正确的是（　　）‎ A. 当时，有两个交点 B. 当时，没有交点 C. 当时，有且只有一个交点 D. 当时，有两个交点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数图象、二次函数性质，分类讨论判断选择项真假.‎ ‎【详解】设f（x）=，g（x）= ，其中x∈[0，1]‎ A．若m=0，则与在[0，1]上只有一个交点，故A错误．‎ B．当m∈（1，2）时，‎ 即当m∈（1，2]时，函数y=的图象与的图象在x∈[0，1]无交点，故B正确，‎ C．当m∈（2，3]时，，‎ 当时，此时无交点，即C不一定正确．‎ D．当m∈（3，+∞）时，g（0）=＞1，此时f（1）＞g（1），此时两个函数图象只有一个交点，故D错误，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象以及二次函数性质，考查分类讨论思想方法与基本判断求解能力，属中档题.‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共5题，每题5分，共25分.‎ ‎11.已知函数的周期为，则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降幂扩角公式以及诱导公式化简函数，根据周期求得参数.‎ ‎【详解】因为.‎ 因为其周期为，故可得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，以及由函数周期求参数，属综合基础题.‎ ‎12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线方程列出关系式，据此即可求得结果.‎ ‎【详解】因为渐近线方程为，且双曲线焦点在轴上，‎ 故可得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由双曲线渐近线求参数值，属基础题.‎ ‎13.已知点在圆上，则点到直线的距离为3的点个数为__________个.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断直线与圆的位置关系，根据其位置关系判断结果.‎ ‎【详解】因为圆的圆心为，半径，‎ 故可得圆心到直线的距离；‎ 则直线与圆相交.‎ 故圆上任意一点到直线的距离，不可能为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题.‎ ‎14.若函数在区间上为增函数，写出一个满足条件的实数的值__________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将写成分段函数，根据二次函数的图像，结合对称轴的分类讨论，即可容易求得.‎ ‎【详解】根据题意可知 对，其对称轴.‎ 当，即时，（为方便说明，略去轴以及坐标原点）‎ 其示意图图像如下所示：‎ 由图可知，此时要满足题意，只需或，‎ 解得或.又因为，‎ 故此时要满足题意，只需；‎ 当，即时，（为方便说明，略去轴以及坐标原点）‎ 其示意图图像如下所示：‎ 此时要满足题意，只需或，‎ 解得或，又因为，‎ 故此时要满足题意，只需.‎ 综上所述：或.‎ 具体到本题答案可以在此区间中任取一个数即可.‎ 本题中，选取.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图像，以及根据分段函数的单调区间求参数范围，属中档题.‎ ‎15.对于集合，给出如下三个结论：‎ ‎①如果，那么；‎ ‎②若，对于，则有；‎ ‎③如果，，那么.‎ ‎④如果，，那么 其中，正确结论的序号是__________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的定义，对选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】对①：对，‎ 总是有，，故，则①正确；‎ 对②，若，则存在，使得 ‎，‎ 因为当一个是偶数，一个是奇数时，‎ 是奇数，也是奇数，故也是奇数，‎ 而显然是偶数，故，故，故②错误；‎ 对③如果，，‎ 不妨设，‎ 则，‎ 故，故③正确；‎ 对④同理，设，‎ 则，‎ 故不满足集合的定义，故④错误.‎ 综上所述，正确的是①③.‎ 故答案为：①③.‎ ‎【点睛】本题考查集合新定义问题，属中档题.‎ 三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎16.已知函数 ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间；‎ ‎（3）求函数在上的最值.‎ ‎【答案】（1）{且，}（2）单调递减区间为，（3）最大值；最小值0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正切函数的定义域，即可求得结果；‎ ‎（2）利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简至标准型正弦函数，再结合其单调性和定义域，即可求得结果；‎ ‎（3）先求的范围，再利用正弦函数单调性，即可求得值域.‎ ‎【详解】(1）函数的定义域为{且，}‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 由于定义域为{且，}‎ 所以的单调递减区间为，‎ ‎（3）由于，，，‎ 当即时，有最大值 当即时，有最小值0.‎ ‎【点睛】本题考查正切函数的定义域，利用三角恒等变换化简三角函数，以及三角函数的单调区间、值域的求解，属综合中档题.‎ ‎17.如图，平面平面，，四边形为平行四边形，，为线段的中点，点满足.‎ ‎（Ⅰ）求证：直线平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)见证明； (3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）连接，交于点，利用平几知识得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量垂直进行论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，根据面面垂直得两平面法向量垂直，进而得P点坐标，最后利用空间向量数量积求线面角.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接 ‎ 在平行四边形中，因为，所以，‎ 又因为，即，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，所以直线平面.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为，为线段的中点，所以，‎ 又因为平面平面于，平面所以平面 在平行四边形中，因为，所以 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则 因为平面所以设，‎ 则 所以 所以，又因为 所以平面，又因为平面 所以平面平面. ‎ ‎（Ⅲ）解：因为 设为平面的一个法向量 则不妨设 因为 设为平面的一个法向量 则不妨设 因为平面平面，所以，所以 因为 所以 所以，‎ 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理、利用空间向量证明面面垂直以及求线面角，考查综合分析论证求解能力，属中档题.‎ ‎18.由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：‎ ‎5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754‎ ‎7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850‎ 对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：‎ 步数分组统计表（设步数为）‎ 组别 步数分组 频数 ‎2‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）写出的值，并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；‎ ‎（Ⅱ）记组步数数据的平均数与方差分别为,,组步数数据的平均数与方差分别为，，试分别比较与以，与的大小；(只需写出结论)‎ ‎（Ⅲ）从上述两个组别数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1），，；（2），;（3）见解析 ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）利用对这20个数据按组距1000进行分组，得到，，利用中位数定义能求出这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在B组；‎ ‎（Ⅱ）由平均数与方差的性质能比较与，与的大小；‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为 0,600,3400,4000,分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.‎ 解析：解：（Ⅰ），，；‎ ‎（Ⅱ），;‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为 0,600,3400,4000,‎ ‎0‎ ‎600‎ ‎3400‎ ‎4000‎ 的数学期望为 点睛：求随机变量及其分布列一般步骤 ‎(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．‎ ‎(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；‎ ‎(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．‎ ‎19.设函数，为f（x）的导函数．‎ ‎（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；‎ ‎（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；‎ ‎（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）的极小值为 ‎（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；‎ ‎（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.‎ ‎（3）由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：‎ 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；‎ 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，‎ 因为，所以．‎ 当时，．‎ 令，则．‎ 令，得．列表如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ 极大值 所以当时，取得极大值，且是最大值，故．‎ 所以当时，，因此．‎ ‎【详解】（1）因为，所以．‎ 因为，所以，解得．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 从而．令，得或．‎ 因为，都在集合中，且，‎ 所以．‎ 此时，．‎ 令，得或．列表如下：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以的极小值为．‎ ‎（3）因为，所以，‎ ‎．‎ 因为，所以，‎ 则有2个不同的零点，设为．‎ 由，得．‎ 列表如下：‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以的极大值．‎ 解法一：‎ ‎．因此．‎ 解法二：‎ 因为，所以．‎ 当时，．‎ 令，则．‎ 令，得．列表如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ 极大值 所以当时，取得极大值，且是最大值，故．‎ 所以当时，，因此．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．‎ ‎20.已知为椭圆的左焦点，过的直线与椭圆交于两点，.‎ ‎（1）若直线的倾斜角为45°，求；‎ ‎（2）设直线的斜率为，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，所在直线的斜率为.若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求得；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理，结合点的对称，求得的斜率，找到的关系，根据已知条件，即可求得.‎ ‎【详解】（1）设，，由已知，椭圆的左焦点为，‎ 又直线的倾斜角为45°，所以直线的方程为，‎ 由得，‎ 所以，.‎ ‎.‎ ‎（2）由得，‎ 所以，.‎ 依题意，，且，，‎ 所以，，‎ 其中，‎ 结合，可得.‎ 解得，.‎ ‎【点睛】本题考查直线截椭圆的弦长，以及利用韦达定理求解椭圆中的问题，属综合中档题.‎ ‎21.给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.‎ ‎（1）设数列为，，，，写出，，的值；‎ ‎（2）设是公比大于的等比数列，且.证明：是等比数列.‎ ‎（3）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.‎ ‎【答案】充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明一个数列是等差数列或等比数列，常用定义法.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）.‎ ‎（2）因为，公比，所以是递增数列.‎ 因此，对，，‎ 于是对，.‎ 因此，，且，即成等比数列.‎ ‎（3）设为的公差.‎ 对，因为，‎ 所以，‎ 又因为，所以.‎ 从而递增数列.因此.‎ 又因为，所以.‎ 因此.‎ 所以.‎ 所以 因此，对于都有，‎ 即是等差数列.‎ ‎【考点定位】本题考查了数列的最值、等差数列和等比数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大，解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.‎