人教A版文科数学课时试题及解析（15）导数与函数的极值、最值A 5页

课时作业(十五)A　[第15讲　导数与函数的极值、最值]‎ ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．下列命题中正确的是(　　)‎ A．导数为0的点一定是极值点 B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是极大值 C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是极小值 D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是最小值 ‎2．函数y＝x＋的极值情况是(　　)‎ A．既无极小值，也无极大值 B．当x＝1时，极小值为2，但无极大值 C．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值 D．当x＝1时，极小值为2，当x＝－1时，极大值为－2‎ ‎3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎4．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图K15－1，则(　　)‎ 图K15－1‎ A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点 B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点 ‎5． 函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，则ab的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．3 D．－3‎ ‎6．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　)‎ A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 ‎7． 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)‎ A．2 B．‎3 C．6 D．9‎ ‎8．已知函数f(x)＝x4－2x3＋‎3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．m≥ B．m> C．m≤ D．m< ‎9． 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)‎ 图K15－2‎ ‎10．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．‎ ‎11． 已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________.‎ ‎12．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．‎ ‎13．已知函数f(x)＝x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为________．‎ ‎14．(10分)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，仅当x＝－1，x＝1时取得极值，且极大值比极小值大4.‎ ‎(1)求a、b的值；‎ ‎(2)求f(x)的极大值和极小值．‎ ‎15．(13分)已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.‎ ‎(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．‎ ‎16．(12分)已知函数f(x)＝xlnx.‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1成立，求实数a的取值范围．‎ 课时作业(十五)A ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] 根据可导函数极值的判别方法，如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值，反之是极小值，而导数为0的点不一定是极值点．‎ ‎2．D　[解析] 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝1－＝，令y′＝0，得x＝－1或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,0)‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以当x＝－1时，有极大值f(－1)＝－2，当x＝1时有极小值f(1)＝2.‎ ‎3．D　[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5.‎ ‎4．A　[解析] x1、x4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x2与x3是变号零点，因此它们是极值点，且x2是极大值点，x3是极小值点．‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．D　[解析] 由f′＝‎3a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.‎ ‎6．A　[解析] 由题意可得f′(x)＝2－(x<0)，令f′(x)＝0得x＝－(舍正)，‎ 列表如下：‎ x ‎－ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎—‎ f(x)‎  极大值  由表可得：当x＝－时，f(x)取得最大值，无最小值；‎ f(x)在－∞，－单调递增，在－，0单调递减，故选A.‎ ‎7．D　[解析] f′(x)＝12x2－2ax－2b，‎ ‎∵f(x)在x＝1处有极值，‎ ‎∴f′(1)＝0，即12－‎2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6，‎ ‎∵a>0，b>0，‎ ‎∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.‎ ‎8．A　[解析] 因为函数f(x)＝x4－2x3＋‎3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝‎3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以‎3m－≥－9，解得m≥.‎ ‎9．D　[解析] 设F(x)＝f(x)ex，‎ ‎∴F′(x)＝exf′(x)＋exf(x)＝ex(2ax＋b＋ax2＋bx＋c)，‎ 又∵x＝－1为f(x)ex的一个极值点，‎ ‎∴F′(－1)＝e－1(－a＋c)＝0，即a＝c，‎ ‎∴Δ＝b2－‎4ac＝b2－‎4a2，‎ 当Δ＝0时，b＝±‎2a，即对称轴所在直线方程为x＝±1；‎ 当Δ>0时，>1，即对称轴在直线x＝－1的左边或在直线x＝1的右边．‎ 又f(－1)＝a－b＋c＝‎2a－b＜0，故D错，选D.‎ ‎10.　[解析] 由得x>1.‎ 由得00，a>－.‎ 考察f(x)、f′(x)随x的变化情况：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  由此可知，当x＝－1时取极大值，当x＝1时，取极小值．‎ ‎∴f(－1)－f(1)＝4，即[(－1)5＋a(－1)3＋b(－1)＋1]－(15＋a·13＋b·1＋1)＝4，‎ 整理得a＋b＝－3②，‎ 由①②解得 ‎(2)∵a＝－1，b＝－2，‎ ‎∴f(x)＝x5－x3－2x＋1.‎ ‎∴f(x)的极大值为f(－1)＝3.‎ f(x)的极小值为f(1)＝－1.‎ ‎15．[解答] (1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，‎ ‎∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.‎ 由已知得f′(1)＝0，f(1)＝－1，‎ ‎∴解得b＝1，c＝－5.‎ 经验证，b＝1，c＝－5符合题意．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－5x＋2，‎ f′(x)＝3x2＋2x－5.‎ 由f′(x)＝0得x1＝－，x2＝1.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  根据上表，当x＝－时函数取得极大值且极大值为f＝，当x＝1时函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.‎ 根据题意结合上图可知k的取值范围为.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数f′(x)＝1＋lnx.‎ 令f′(x)>0，解得x>；令f′(x)<0，解得01时，g′(x)＝1－a＋lnx>1－a≥0，‎ 故g(x)在(1，＋∞)上为增函数，所以，x≥1时，g(x)≥g(1)＝1－a≥0，即f(x)≥ax－1.‎ ‎②若a>1，方程g′(x)＝0的根为x0＝ea－1，‎ 此时，若x∈(1，x0)，则g′(x)<0，故g(x)在该区间为减函数．‎ 所以x∈(1，x0)时，g(x)1时，因为g′(x)＝>0，‎ 故g(x)是(1，＋∞)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1，‎ 所以a的取值范围是(－∞，1]．‎