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  • 2021-06-15 发布

人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值、最值A

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课时作业(十五)A [第15讲 导数与函数的极值、最值]‎ ‎ [时间:45分钟  分值:100分]‎ ‎1.下列命题中正确的是(  )‎ A.导数为0的点一定是极值点 B.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0且f′(x0)=0,那么f(x0)是极大值 C.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0且f′(x0)=0,那么f(x0)是极小值 D.如果在点x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0且f′(x0)=0,那么f(x0)是最小值 ‎2.函数y=x+的极值情况是(  )‎ A.既无极小值,也无极大值 B.当x=1时,极小值为2,但无极大值 C.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值 D.当x=1时,极小值为2,当x=-1时,极大值为-2‎ ‎3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3处取得极值,则a=(  )‎ A.2 B.‎3 C.4 D.5‎ ‎4.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图K15-1,则(  )‎ 图K15-1‎ A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点 B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点 C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点 D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点 ‎5. 函数f(x)=ax3+bx在x=处有极值,则ab的值为(  )‎ A.2 B.-2‎ C.3 D.-3‎ ‎6.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)(  )‎ A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 ‎7. 若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(  )‎ A.2 B.‎3 C.6 D.9‎ ‎8.已知函数f(x)=x4-2x3+‎3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A.m≥ B.m> C.m≤ D.m< ‎9. 设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是(  )‎ 图K15-2‎ ‎10.函数f(x)=x2-lnx的最小值为________.‎ ‎11. 已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n=________.‎ ‎12.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为________.‎ ‎13.已知函数f(x)=x3-bx2+c(b,c为常数).当x=2时,函数f(x)取得极值,若函数f(x)只有三个零点,则实数c的取值范围为________.‎ ‎14.(10分)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1,仅当x=-1,x=1时取得极值,且极大值比极小值大4.‎ ‎(1)求a、b的值;‎ ‎(2)求f(x)的极大值和极小值.‎ ‎15.(13分)已知f(x)=x3+bx2+cx+2.‎ ‎(1)若f(x)在x=1时有极值-1,求b、c的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围.‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=xlnx.‎ ‎(1)求f(x)的最小值;‎ ‎(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1成立,求实数a的取值范围.‎ 课时作业(十五)A ‎【基础热身】‎ ‎1.B [解析] 根据可导函数极值的判别方法,如果在点x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值,反之是极小值,而导数为0的点不一定是极值点.‎ ‎2.D [解析] 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y′=1-=,令y′=0,得x=-1或x=1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:‎ x ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,0)‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以当x=-1时,有极大值f(-1)=-2,当x=1时有极小值f(1)=2.‎ ‎3.D [解析] f′(x)=3x2+2ax+3,由题意得f′(-3)=0,解得a=5.‎ ‎4.A [解析] x1、x4是导函数的不变号零点,因此它们不是极值点,而x2与x3是变号零点,因此它们是极值点,且x2是极大值点,x3是极小值点.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.D [解析] 由f′=‎3a2+b=0,可得ab=-3.故选D.‎ ‎6.A [解析] 由题意可得f′(x)=2-(x<0),令f′(x)=0得x=-(舍正),‎ 列表如下:‎ x ‎- f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ f(x)‎  极大值  由表可得:当x=-时,f(x)取得最大值,无最小值;‎ f(x)在-∞,-单调递增,在-,0单调递减,故选A.‎ ‎7.D [解析] f′(x)=12x2-2ax-2b,‎ ‎∵f(x)在x=1处有极值,‎ ‎∴f′(1)=0,即12-‎2a-2b=0,化简得 a+b=6,‎ ‎∵a>0,b>0,‎ ‎∴ab≤2=9,当且仅当a=b=3时,ab有最大值,最大值为9,故选D.‎ ‎8.A [解析] 因为函数f(x)=x4-2x3+‎3m,所以f′(x)=2x3-6x2,令f′(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=‎3m-,不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,所以‎3m-≥-9,解得m≥.‎ ‎9.D [解析] 设F(x)=f(x)ex,‎ ‎∴F′(x)=exf′(x)+exf(x)=ex(2ax+b+ax2+bx+c),‎ 又∵x=-1为f(x)ex的一个极值点,‎ ‎∴F′(-1)=e-1(-a+c)=0,即a=c,‎ ‎∴Δ=b2-‎4ac=b2-‎4a2,‎ 当Δ=0时,b=±‎2a,即对称轴所在直线方程为x=±1;‎ 当Δ>0时,>1,即对称轴在直线x=-1的左边或在直线x=1的右边.‎ 又f(-1)=a-b+c=‎2a-b<0,故D错,选D.‎ ‎10. [解析] 由得x>1.‎ 由得00,a>-.‎ 考察f(x)、f′(x)随x的变化情况:‎ x ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  极大值  极小值  由此可知,当x=-1时取极大值,当x=1时,取极小值.‎ ‎∴f(-1)-f(1)=4,即[(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1]-(15+a·13+b·1+1)=4,‎ 整理得a+b=-3②,‎ 由①②解得 ‎(2)∵a=-1,b=-2,‎ ‎∴f(x)=x5-x3-2x+1.‎ ‎∴f(x)的极大值为f(-1)=3.‎ f(x)的极小值为f(1)=-1.‎ ‎15.[解答] (1)∵f(x)=x3+bx2+cx+2,‎ ‎∴f′(x)=3x2+2bx+c.‎ 由已知得f′(1)=0,f(1)=-1,‎ ‎∴解得b=1,c=-5.‎ 经验证,b=1,c=-5符合题意.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=x3+x2-5x+2,‎ f′(x)=3x2+2x-5.‎ 由f′(x)=0得x1=-,x2=1.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎- ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  极大值  极小值  根据上表,当x=-时函数取得极大值且极大值为f=,当x=1时函数取得极小值且极小值为f(1)=-1.‎ 根据题意结合上图可知k的取值范围为.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[解答] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数f′(x)=1+lnx.‎ 令f′(x)>0,解得x>;令f′(x)<0,解得01时,g′(x)=1-a+lnx>1-a≥0,‎ 故g(x)在(1,+∞)上为增函数,所以,x≥1时,g(x)≥g(1)=1-a≥0,即f(x)≥ax-1.‎ ‎②若a>1,方程g′(x)=0的根为x0=ea-1,‎ 此时,若x∈(1,x0),则g′(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.‎ 所以x∈(1,x0)时,g(x)1时,因为g′(x)=>0,‎ 故g(x)是(1,+∞)上的增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,‎ 所以a的取值范围是(-∞,1].‎

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