数学（理）卷·2018届甘肃省天水一中高二上学期期末考试（2017-01） 10页

天水一中高二级2016-2017学年度第一学期期末考试 数学(理科)‎ ‎（满分：100分 时间：90分钟）‎ 一、选择题(每小题4分,共40分)‎ ‎1. 如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（ ） ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2. 已知，，，若三向量共面，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知的导函数图象如图，那的图象最有可能是图中的（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.函数在上最大值和最小值分别是（ ）‎ A．5 , －15 B．5,－4 C．－4,－15 D．5,－16‎ ‎5.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（ ）‎ A．1∶2 B．1∶π C．2∶1 D．2∶π ‎6. 若，则（ ）‎ A． 0 B．1 C． 2 D．3‎ ‎7.曲线上一点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知对任意恒成立，则a的最大值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9.已知函数的图象如图所示（其中是定义域为的函数的导函数），则以下说法错误的是（ ）‎ A.‎ B.当时，函数取得极大值 C.方程与均有三个实数根 D.当时，函数取得极小值 ‎10. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每小题4分,共16分)‎ ‎11.给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.‎ 其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎12. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ． ‎ ‎13. 若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于_________。‎ ‎14. 如果函数有两个不同的极值点，那么实数的范围是 ．‎ 三、解答题(共44分)‎ ‎15.(本题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）求证：直线平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎16. (本题满分10分) 已知函数 ‎（1）求函数的极值点；‎ ‎（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程．‎ ‎17. (本题满分10分)已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求 的取值范围.‎ ‎18. (本题满分12分)已知，定义．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，且存在使，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，试讨论函数的零点个数．‎ 理科答案 ‎1.B ‎2.D ‎3. A ‎4. A ‎5. C ‎6. A ‎7. B ‎8. A ‎9. C ‎10. A ‎11. ①④‎ 解:对于①，∵=（1，-1，2），=（2，1，-12），∴•=1×2-1×1+2×（-）=0，‎ ‎∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；‎ 对于②，=（0，1，-1），=（1，-1，-1），∴•=0×1+1×（-1）+（-1）×（-1）=0，‎ ‎∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；‎ 对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；‎ 对于④，∵点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），∴=（-1，1，1），=（-1，1，0），‎ 向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．‎ 综上，以上真命题的序号是①④．‎ ‎12.‎ 解:先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，‎ 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积，‎ 而，∴曲边梯形的面积是．‎ ‎ ‎ ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.解:‎ 法一：用几何关系证明和求值.（Ⅰ）连结交于，证即可；（Ⅱ）先证平面，再证平面即可；（Ⅲ）由三垂线定理先作出二面角的平面角，根据数据关系求之即可.‎ 法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解.‎ 试题解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结． ‎ ‎ ‎ 是正方形，∴是的中点． ‎ 是的中点，∴是△的中位线．‎ ‎∴． 2分 又∵平面，平面， ‎ ‎∴平面． 4分 ‎（Ⅱ）证明：由条件有 ‎∴平面，∴6分 又∵是的中点，∴‎ ‎∴平面∴‎ 由已知，∴平面8分 ‎（Ⅲ）由(Ⅱ)知面，则直线在面内的射影为，‎ ‎∴为所求的直线与面所成的角． 10分 又，∴在中∴‎ 又 由可得∴．∴‎ ‎∴直线与平面所成角的余弦值为．13分 ‎16.解:（1）＞0．‎ 而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以是函数的极小值点，极大值点不存在．‎ ‎（2）设切点坐标为，则切线的斜率为 所以切线的方程为 又切线过点，所以有 解得 所以直线的方程为 ‎17.解:（1）∵，∴，∴若：则在上单调递增，若：则在上单调递减，上单调递增；（2）∵，∴，设，∵在上不单调，∴在上存在零点，‎ ‎∴，又∵仅在处取得最大值，‎ ‎∴只需，实数的取值范围是．‎ ‎18.解:（1）∵函数，‎ ‎∴‎ 令，得或，∵，∴，列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎∴的极大值为，极小值为 ‎（2），∵存在，使，‎ ‎∴在上有解，即在上有解，‎ 即不等式在上有解，‎ 设，∵对恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，∴当时，的最大值为4，‎ ‎∴，即．‎ ‎（3）由（1）知， 在上的最小值为，‎ ‎①当，即时，在上恒成立，‎ ‎∴在上无零点．‎ ‎②当即时，，又，‎ ‎∴在上有一个零点，‎ ‎③当，即时，设，‎ ‎∵，∴在上单调递减，‎ 又，∴存在唯一的，使得，‎ I．当时，∵，∴且为减函数，‎ 又，∴在上有一个零点；‎ II．当时，∵，∴且为增函数，‎ ‎∵，∴在上有一零点；‎ 从而在上有两个零点，‎ 综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点．‎