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- 2021-06-15 发布
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第2讲 一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为；
(2)当a<0时，解集为．
2．一元二次不等式的解集
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝
ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两个相异
实根x1，
x2(x10
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1
0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
[教材衍化]
1．(必修5P80A组T4改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，那么集合A∩(∁UB)＝________．
解析：因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x≥4}，故∁UB＝{x|－1≤x<4}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}．
答案：[－1，3]
2．(必修5P80A组T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________．
解析：由题意，得3x2－2x－2>0，令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，所以3x2－2x－2>0的解集为∪.
答案：∪
[易错纠偏]
(1)解不等式时，变形必须等价；
(2)忽视二次项系数的符号；
(3)对系数的讨论，忽视二次项系数为0的情况；
(4)解分式不等式时，忽视分母的符号．
1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以，原不等式的解集为.
答案：
2．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0.
得－40⇒x>1或x<－1.
答案：{x|x>1或x<－1}
一元二次不等式的解法(高频考点)
一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．主要命题角度有：
(1)解不含参数的一元二次不等式；
(2)解含参数的一元二次不等式；
(3)已知一元二次不等式的解集求参数．
角度一 解不含参数的一元二次不等式
解下列不等式：
(1)－x2－2x＋3≥0；
(2)已知函数f(x)＝解不等式f(x)>3.
【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(2)由题意或解得x>1.
故原不等式的解集为{x|x>1}．
角度二 解含参数的一元二次不等式
(分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．
【解】 因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
角度三 已知一元二次不等式的解集求参数
已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
【解析】 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得
即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
【答案】 {x|x≥3或x≤2}
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
1．若集合A＝，B＝{x|x2<2x}，则A∩B＝( )
A．{x|00的解集为{x|－20(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(如本例)，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
设a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值是( )
A．－ B．18
C．8 D．－6
解析：选C.因为关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个根为a，b，
所以且Δ＝4(m2－m－6)≥0，解得m≥3或m≤－2.
所以y＝(a－1)2＋(b－1)2＝(a＋b)2－2ab－2(a＋b)＋2＝4m2－6m－10＝4－.
由二次函数的性质知，当m＝3时，函数y＝4m2－6m－10取得最小值，最小值为8.故选C.
[基础题组练]
1．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝[－1，2]，B＝(1，＋∞)，A∩B＝(1，2]．
2．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为，则的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.由题意得ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.
3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1，1] B．[－2，2]
C．[－2，1] D．[－1，2]
解析：选A.法一：当x≤0时，x＋2≥x2，
所以－1≤x≤0；①
当x>0时，－x＋2≥x2，
所以01时得1x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
12．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n求|m－n|的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－＞1.
所以a＜0且＞1，所以ac＞0.
对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c
有Δ＝(a－b)2＋4ac＞0.
所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝＋8＋4.
由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t＞1)，由根与系数的关系知＝t，
所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
所以|m－n|＞，
所以|m－n|的取值范围为(，＋∞)．
[综合题组练]
1．(2020·金华市东阳二中高三调研)若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选A.由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，
所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( )
A．(－1，0)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．不能确定
解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
3．(2020·杭州模拟)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是________．
解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1，或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
所以f(x)－m<0，即f(x)1；
(2)对任意的b∈(0，1)，当x∈(1，2)时，f(x)>恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝>1⇔x2＋1<|x＋1|⇔或⇔0⇔|x＋a|>b(x＋)⇔x＋a>b(x＋)或x＋a<－b(x＋)⇔a>(b－1)x＋或a<－[(b＋1)x＋]对任意x∈(1，2)恒成立．所以a≥2b－1或a≤－(b＋2)对任意b∈(0，1)恒成立．所以a≥1或a≤－.
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