数学理卷·2018届黑龙江鹤岗一中高二下学期期中考试（2017-05） 7页

鹤岗一中2016 ∫_^▒〖〗 _D_D 高二数学（理科）试题 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．=（ ）‎ A. 2 B. 6 C. 10 D. 8‎ ‎3．已知，，则使不等式一定成立的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎4．已知，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎5．曲线在点处的切线方程是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知函数，若不等式的解集为，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，则（ ）‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎8．已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎9．函数 (为自然对数的底数)的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．设函数是上的奇函数， ，当时， ，则时， 的图象与轴所围成图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. 或 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．已知为虚数单位，若复数（）的实部为，则__________.‎ ‎14． 若实数满足，则的最小值是__________. ‎ ‎15．已知，用数学归纳法证明时， 等于_____________。‎ ‎16．已知函数（k是常数，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是______．‎ 三、解答题（17题10分，18—20题每题12分，共70分）‎ ‎17．求下列函数的导数 ‎（Ⅰ） （Ⅱ） ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最值．‎ ‎19．已知．‎ ‎（Ⅰ)当时，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎20．已知数列的前项和为，且 ‎（1）试求出，并猜想的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出的表达式。‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围．‎ ‎22．设，曲线在点处的切线与直线垂直. ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证： .‎ ‎ ‎ 鹤岗一中20162017学年度下学期期中考试 高二数学（理科）试题答案 ‎1---12 CBDBA ABCDA AB ‎13． 14． ‎ ‎15． 16． ．‎ ‎17．（1）（2） ‎18．（1）增区间是， ，减区间是 ‎（2）当时，在区间取到最小值为 ‎ 当时，在区间取到最大值为.‎ ‎19． (Ⅰ)当时， ，‎ 故的最小值为2，当且仅当时取到最小值． ‎ ‎(Ⅱ) ，‎ 若不等式的解集非空，则，即，‎ 因此，所有的取值范围是．‎ ‎20．（1）解： ‎ ‎`猜想 ‎（2）证明：当时， 等式成立。‎ 假设当时，等式成立，即。当时，‎ ‎，∴ ‎ ‎ ‎ 时，等式也成立。‎ 综上，对于任意， 都成立。又 ‎21． 的定义域为，，‎ ‎（1），则，‎ 令，解得：，令，解得：，‎ ‎∴的单调递增区间为和，单调递减为．‎ ‎（2）若在上单调递增，则在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 令同，则，，‎ 当且仅当，时取“=”，又 ‎∴时， ① ，∴，‎ 若在上单调递减，则在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 由①式知，，综上，的取值范围是．‎ ‎22．（Ⅰ） ， ‎ ‎，解得 ‎ ‎（Ⅱ）对于任意的，即 恒成立，‎ 设恒成立， ‎ ‎ ①若单调递增， 这与矛盾； ‎ ‎ ②若，当单调递增， 这与矛盾； ‎ ‎ ③若，当单调递减， 即恒成立.‎ ‎ 综上所述. ‎ ‎ （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时, 成立. ‎ ‎ 不妨令，所以 ‎ ‎ 于是 ‎ ‎ ‎ ‎ 累加得 ‎