甘肃省张掖市2018-2019学年高二上学期期末联考文科数学试卷（解析版） 15页

张掖市2018—2019学年第一学期期末高二年级 学业水平质量检测数学（文科）试卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标．‎ ‎【详解】由题意得抛物线的标准方程为，‎ ‎∴焦点在轴的负半轴上，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而得到所求，属于基础题．‎ ‎2.若，则是方程表示椭圆的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出方程表示椭圆时k的范围，然后根据充分必要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】若方程表示椭圆，则解得k>3,‎ 故是方程表示椭圆的充要条件，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题 D. “”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对A，若，则”的否命题是“若，则”；对B，当时，成立，但时，或，所以应为充分不必要条件；对D，，则，反之，若则，所以为必要不充分条件，所以选C．‎ 考点：1．充分必要条件的判定；2．四种命题．‎ ‎4.已知，满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ 详解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，‎ 化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，‎ 由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（，﹣）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×﹣=．‎ 故选：A． 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5.在上定义运算：，则满足的实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由定义运算⊙可知不等式x⊙（x－2）＜0为，解不等式得解集为（－2,1）‎ 考点：一元二次不等式解法 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.已知函数，则的值为（ ）‎ A. 10 B. -10 C. -20 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义，计算函数f（x）在x＝1处的导数即可．‎ ‎【详解】函数f（x）＝2lnx+8x+1，所以f′（x）＝+8；‎ 所以 ‎＝-2‎ ‎＝-2f′（1）‎ ‎＝-2×(2+8）‎ ‎＝-20．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查导数的定义及其应用，是基础题．‎ ‎7.在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（ ）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理化为角的关系，再根据诱导公式以及两角和与差关系化简得角的关系，进而确定三角形的形状.‎ ‎【详解】因为所以,即三角形一定是等腰三角形，选C.‎ ‎【点睛】判断三角形形状的方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎8.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 16 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列性质求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可．‎ ‎【详解】等比数列{an}中，a3a11＝4a7，‎ 可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，‎ ‎∴b7＝4，‎ 数列{bn}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎9.曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，求在x＝1处的导数值即为切线斜率，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．‎ ‎【详解】∵y＝ex+1，∴y'＝ex，∴f'（1）＝e，f（1）＝1+e，‎ 在点（1，1+e）处的切线方程为：y﹣1﹣e＝e（x﹣1）,即y=ex+1,‎ 与坐标轴的交点为：（0，1），（﹣，0），‎ S＝，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率，考查函数在某点处的切线方程的求法，属基础题．‎ ‎10.已知，是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，与轴垂直，，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在直角中，由得到a,b,c的等量关系，结合计算即可得到离心率.‎ ‎【详解】由已知，得，则,‎ 又在椭圆中,,‎ 故,‎ 即,‎ 解得e=,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查椭圆简单的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题.‎ ‎11.已知双曲线：的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，由图形找到a,b,c的等量关系，然后得到渐近线的斜率，从而得到倾斜角.‎ ‎【详解】由已知可设双曲线的顶点A到渐近线x的距离|AB|=1,‎ 焦点到渐近线的距离|，‎ 由AB//得,‎ 则 设渐近线倾斜角为，则tan 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，关键是构造a,b,c的等量关系，属于基础题.‎ ‎12.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．‎ ‎【详解】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时， ‎∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．‎ ‎∴F（x）在当x＜0时为增函数． ‎∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）． 故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数． ‎∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数． 已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0． 构造如图的F（x）的图象，可知 F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题。‎ ‎13.在中，，，的外接圆半径为，则___‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件和三角形面积公式求出sinA，再利用正弦定理，即可求出a值．‎ ‎【详解】∵△ABC中，bc＝20，S△ABC＝，‎ ‎∴bcsinA＝，即sinA＝，‎ ‎∵△ABC的外接圆半径R＝，‎ ‎∴由正弦定理＝2R，得a＝2RsinA＝2×＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，以及三角形的面积公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎14.若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为：（-2）n-1．‎ 考点:等比数列的通项公式．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎15.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】（-4，2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为当且仅当时取等号，所以 考点：基本不等式求最值 ‎16.已知双曲线与抛物线有 一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设点P(m，n)，依题意得，点F(2，0)，由点P在抛物线y2＝8x上，且PF＝5得由此解得m＝3，n2＝24.于是有由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.‎ 三、解答题 ‎17.设：实数满足，：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2＜x＜3（2）≤a≤2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由得（x-a）（x-（2a+1））＜0，当a=1时，代入可得．由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，即可得出．利用p∧q为真，则p真且q真，即可得出；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出 试题解析：（1）由x2﹣（3a+1）x+2a2+a＜0得（x﹣a）（x﹣（2a+1））＜0‎ 当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3 ‎ 由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4‎ 即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，‎ 若p∧q为真，则p真且q真，‎ ‎∴实数x的取值范围是2＜x＜3．‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，‎ 则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，‎ 设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，‎ 又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥2a+1}，‎ B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，‎ 则0＜a≤2，且2a+1≥4‎ ‎∴实数a的取值范围是≤a≤2．‎ 考点：复合命题的真假 ‎18.已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，设数列的前项和，求最小的正整数，使得.‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2），运用裂项相消求和法求和，解不等式可得n的最小值．‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意有， ‎ 即 因为，所以解得，， ‎ 从而的通项公式为，. ‎ ‎（2）因为， ‎ 所以 ‎ 令，解得，故 ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若点在边上，且，的面积为，求边的长.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得，故.（2）利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由及正弦定理可得 ‎，故，‎ 而，所以，即 ‎（2）由及可得是正三角形.‎ 由的面积为可得，即，‎ 故，在中，由余弦定理可得，‎ 即.‎ ‎20.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎【答案】（1）（2）函数在时取得极小值.无极大值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，利用导数几何意义可得k=,又切线与垂直，即即可得a值；（2）根据导数判断函数的单调性，由单调性即可得到函数极值.‎ ‎【详解】（1）对求导得， ‎ 由在点处切线垂直于直线 知， ‎ 解得； ‎ ‎（2）由（1）问知， ‎ 则， ‎ 令，解得或.‎ 因不在的定义域内，故舍去. ‎ 当时，，故在内为减函数； ‎ 当时，，故在内为增函数 ‎ 由此知函数在时取得极小值.无极大值；‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，属于基础题.‎ ‎21.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为和，且，点在该椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：‎ 椭圆C两焦点坐标分别为，. .……………1分 ‎. .……………3分 又 ， ……………4分 故椭圆的方程为. .……………5分 ‎（Ⅱ）当直线轴，计算得到：，‎ ‎，不符合题意. .……………6分 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，‎ 由，消去y得， .……………7分 显然成立，设，‎ 则.……………8分 又 即， .……………9分 又圆的半径.……………10分 所以 化简，得，‎ 即，解得 所以，， .……………12分 故圆的方程为：. .……………13分 ‎（Ⅱ）另解：设直线的方程为，‎ 由，消去x得，恒成立，‎ 设，则……………8分 所以 ‎ ‎ .……………9分 又圆的半径为， .……………10分 所以，解得，‎ 所以， ……………12分 故圆的方程为：. .……………13分 ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）见解析；‎ ‎（Ⅲ）（﹣1，0）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数在区间上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当时，求出函数的最小值为，故问题转化为当时恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴．‎ ‎∴当时，单调递减；当时，单调递增．‎ ‎∴当时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为．‎ 又，，‎ ‎∴．‎ 所以函数在区间上的最小值为，最大值为．‎ ‎（2）由题意得，．‎ ‎①当，即时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递减．‎ ‎②当时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递增．‎ ‎③当时，，‎ 由得，或（舍去），‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增．‎ 综上可得，当，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在单调递增；‎ 当时，在上单调递减．‎ ‎（3）由（2）可得，当时，，‎ 若不等式恒成立，则只需，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．‎ ‎（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理．对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数．‎