数学理卷·2018届湖北省荆州中学高三第十三次双周考（2018 10页

荆州中学2018届高三年级双周考试卷（13）‎ 理科数学 一 .选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则等于( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )‎ ‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎ ‎3.已知命题，使；命题，都有，下列结论中正确的是( )‎ A.命题“”是真命题 B.命题“”是真命题 C.命题“”是真命题 D.命题“”是假命题 ‎4. 已知，是空间中两个不同平面，，是空间中两条不同直线，则下列命题中错误的是（ ）‎ A．若，⊥，则⊥ B．若，，则 C．若⊥，⊥，则 D．若⊥，，则 ‎ ‎5．已知，则函数的图象大致为( ) ‎ ‎6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )‎ A．24里 B．48里 C．96里 D．192里 ‎7．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为( )‎ A．　　 B．　 C．4　　 D．‎ ‎9.已知实数满足条件，若恒成立，则实数的 取值范围是 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知，执行所给的程序框图，则输出的值是( )‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 在中，若,,则的面积的最大值为( )‎ ‎ A． B． C. D． ‎ ‎12. 已知函数，若存在实数满足成立，则实数的最大值为( )‎ ‎ A． B． C. D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.‎ ‎13.从编号为的个产品中任意抽取个产品进行质量检测，则抽出的编号的中位数是 的概率 为 . ‎ ‎14.若的展开式中的系数为2，则实数的值为__________．‎ ‎15.设，为单位向量，满足，非零向量，则的最大值为 .‎ ‎16.在平面直角坐标系中,若点的坐标,均为整数,则称点为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为,其内部的格点数记为,边界上的格点数记为.例如图中是格点三角形,对应的,,.已知格点多边形的面积可表示为,其中,,为常数.若某格点多边形对应的,,则　　　　 (用数值作答).‎ 三.解答题：本题共小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）‎ 在中，，，分别为角，，的对边．若， ‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求边的长；‎ ‎（Ⅱ）若，求角的大小．‎ ‎18．（12分）‎ ‎ 如图，在直角梯形中，，，,．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面． ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）延长至点,使，为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值．‎ ‎19. （12分）‎ 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.‎ ‎（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率(%)与月份代码之间的关系．求关于的线性回归方程，并预测公司2017年5月份（即时）的市场占有率；‎ ‎（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.‎ 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？‎ ‎（参考公式：回归直线方程为，其中）‎ ‎20. （12分）‎ 已知抛物线的标准方程为，为抛物线上一动点，为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为．特别地，当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，△的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）记，若值与点位置无关，则称此时的点为“稳定点”.试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由．‎ ‎21. （12分）‎ 已知函数 (),.‎ ‎（Ⅰ）当时，问在轴的右侧，函数与的图象一共有多少个公共点？(是的导函数)；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数在上的最小值．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．‎ ‎22．（10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数，）．‎ ‎（Ⅰ）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；‎ ‎（Ⅱ）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为 的直线与曲线相交于,两点，若，求实数的值．‎ ‎23. （10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数，.‎ ‎ (Ⅰ)解不等式； ‎ ‎(Ⅱ)设，求证：.‎ 理科数学参考答案（13）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A B D C C A D D A B ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17. （Ⅰ）（法一）在△中，,由余弦定理，得，①‎ 同样，由，得，②‎ ‎①+②，得：，.‎ ‎（法二）因为在△中，,则 ‎， 由，得 ‎，代入上式得： . …… 6分 ‎（Ⅱ）由正弦定理,得,‎ 又,，，.‎ ‎…… 12分 ‎18．（Ⅰ）直角梯形中，，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到,,又平面平面，平面，平面, 平面平面. …………… 4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直．分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知，所以 ‎，,,,设是平面的法向量，则，即，取，得.‎ 设的坐标为，则，由，得 ‎，,,‎ ‎,所以，当时，，点到点的距离的最小值为. …………… 12分 ‎19.解：（Ⅰ）由折线图中所给的数据计算可得，, ‎ ‎∴．‎ ‎∴．∴月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为．‎ 当时，． 故公司2017年5月份的市场占有率预计为23%． …… 6分 ‎（Ⅱ）由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，∴每辆款车可产生的利润期望值为 ‎（元）．由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，‎ ‎∴每辆款车可产生的利润期望值为：‎ ‎（元），∵，∴应该采购款单车． …… 12分 ‎20.（Ⅰ）由题意，，，‎ 抛物线C的标准方程为． …… 4分 ‎（Ⅱ）设，，设直线MN的方程为，联立，得 ‎,,,, 由对称性，不妨设. ‎ ‎（ⅰ）时，， 同号，又 ‎， ,‎ 不论a取何值，t均与m有关， 即时，A不是“稳定点”； …… 8分 ‎（ⅱ）时，，异号，又 ‎，‎ ‎，‎ 仅当，即时，t与m无关. ‎ ‎ 综上，仅有一个稳定点. …… 12分 ‎21. (Ⅰ)当时,,由，得,所以，在轴的右侧，函数与的图象公共点的个数，就是函数（）的零点的个数.由于，由，得；由，得 ‎； 所以在内单调递减，在内单调递增， 而，，，所以，在内有且只有一个零点，即在轴的右侧，函数与的图象有且只有一个公共点. …… 4分 ‎（Ⅱ）,由，得，.‎ 令，则，在时取最小值，‎ ‎.‎ 当时，，在上递减，在上递增，在上递减，的最小值为.‎ 当时，函数在区间上递减，.‎ 当时，，在上递减，在上递增，在上递减，的最小值为,由于 ‎,,所以，.‎ 综上，. …… 12分 ‎22. （Ⅰ）由题意，得曲线的参数方程为(为参数)，消去参数，得，圆心的坐标为，因为曲线上存在两点关于点成中心对称，所以,则由,得直线的斜率. …… 5分 ‎（Ⅱ）消去参数，得曲线的普通方程为，‎ 圆心的坐标为，半径为，又直线的极坐标方程可化为，其直角坐标方程为，所以，，. …… 10分 ‎23. （Ⅰ）原不等式即,或或，所以或或，即,原不等式的解集为.‎ ‎…… 5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎. …… 10分