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  • 2021-06-15 发布

高中数学讲义微专题28 三角函数性质

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- 1 - 微专题 28 三角函数及函数 性质 一、基础知识: 1、正弦函数 的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)周期: (4)对称轴(最值点): (5)对称中心(零点): ,其中 是对称中心,故 也是奇函数 (6)单调增区间: 单调减区间: 2、余弦函数 的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)周期: (4)对称轴(最值点): 其中 是对称轴,故 也是偶函数 (5)对称中心(零点): (6)单调增区间: 单调减区间: 3、正切函数 的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)周期:  siny A x   siny x x R  1,1y  2T   2x k k Z      ,0k k Z   0,0 siny x 2 , 2 ,2 2k k k Z         32 , 2 ,2 2k k k Z        cosy x x R  1,1y  2T   x k k Z  0x  cosy x  ,02 k k Z       2 , 2 ,k k k Z        2 , 2 ,k k k Z    tany x | ,2x x x k k Z        y R T  - 2 - (4)对称中心: (5)零点: (6)单调增区间: 注:正切函数的对称中心由两部分构成,一部分是零点,一部分是定义域取不到的 的值 4、 的性质:与正弦函数 相比,其图像可以看做是由 图像变换得 到( 轴上方图像不变,下方图像沿 轴向上翻折),其性质可根据图像得到: (1)定义域: (2)值域: (3)周期: (4)对称轴: (5)零点: (6)单调增区间: 单调减区间: 5、 的性质:此类函数可视为正弦函数 通过坐标变换所得, 通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下: (1)定义域: (2)值域: (3)周期: (4 )对称轴(最值点),对称中心(零点),单调区间需通过换元计算所求。通常设 ,其中 ,则函数变为 ,在求以上性质时,先利用正弦函数性质与 图像写出 所满足的条件,然后将 还原为 再解出 的值(或范围)即可 注:1、余弦函数也可看做 的形式,即 ,所以其性 质可通过计算得到。  ,02 k k Z       ,0k k Z  , ,2 2k k k Z         x siny x siny x siny x x x x R  0,1y T   2 kx k Z   x k k Z  , ,2k k k Z      , ,2 k k k Z          sin 0y A x A    siny x x R  ,y A A  2T   t x   0  siny A t t t x  x  siny A x   cos sin 2y x x       - 3 - 2 、对于某些解析式的性质(如对称轴,单调区间等)可根据解析式的特点先变形成为 ,再求其性质 二、典型例题: 例 1:函数 ( ) A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增 C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增 思路: 单调递增区间: 单调递减区间: 符合条件的只有 D 答案:D 例 2:函数 的一个单调递减区间为( ) A. B. C. D. 思路:先变形解析式, ,再求出单调区间: , 时,D 选项符合要求 答案:D 例 3: 的递减区间为( ) A. B. C. D. 思路:在解函数性质之前首先把 的系数变正: ,再求其  siny A x     3sin 2 cos2f x x x  ,3 6       ,6 3       ,06     0, 6        3 13sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2sin 22 2 6f x x x x x x                  2 2 22 6 2 3 6k x k k x k k Z                     3 22 2 22 6 2 6 3k x k k x k k Z                   22cos 14y x       3,2 2       3,4 4       ,2 2      ,4 4      22cos 1 cos 2 sin 24 4y x x x                     2 2 22 2 4 4k x k k x k k Z                  0k  sin 23y x     52 , 2 ,12 12k k k Z         5 114 , 4 ,3 3k k k Z        5 11, ,12 12k k k Z        5, ,12 12k k k Z         x sin 2 sin 23 3y x x               - 4 - 单调区间: ,由于 , 所以区间 等同于 答案:D 例 4:已知函数 ,则下列关于函数性质判断正确的是( ) A. 最小正周期为 ,一个对称中心是 B. 最小正周期为 ,一个对称中心是 C. 最小正周期为 ,一个对称中心是 D. 最小正周期为 ,一个对称中心是 思路: 对称中心: 时,一个对称中心是 答案:A 例 5:函数 的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 思路:求单调区间可设 ,即 ,只需找到 所满足的条件然后解出 的 范围即可。 的取值需要满足两个条件,一是保证 ,二是取 单调增的部分,  52 2 22 3 2 12 12k x k k x k k Z                    k Z 5,12 12k k        5,12 12k k        sin cos12 12y x x              ,012       ,06      2 ,012      2 ,06      1sin cos sin 212 12 2 6y x x x                      2  2T      2 6 12 2 kx k x k Z        0k  ,012        ln sin 2 6f x x          ,12 3k k k Z         ,6 3k k k Z          7,3 12k k k Z         5,3 6k k k Z        2 6t x    ln siny t t x t sin 0t  siny t - 5 - 所以可得: ,即 ,解得: 答案:A 例 6:设函数 ,则下列关于函数 的说法中正确的是( ) A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 图像关于点 对称 D. 在区间 上是增函数 思路:先判断 的周期,可结合图像进行判断,可得: ;对于对称轴,对称中心, 单调区间,可考虑设 ,即 ,借助图像先写出 所符合的条件,再求出 的 值(或范围)即可。 对称轴: ,不是偶函数 对称中心: ,关于点 对称 单调增区间: 答案:C 例 7:函数 的图像的两条相邻对称轴间的距离为( ) A. B. C. D. 思路:根据 图像的特点可得:相邻对称轴之间的距离是周期的一半 ,所以间距为: 答案:B 例 8:已知函数 的图像关于直线 对称,则 的值为_______ 思路一: 可以利用辅角公式变形为 的形式,但是由于系数含参,所 以辅角只能用一个抽象的 代替:  0 2 22k t k k Z       0 2 2 26 2k x k k Z         12 3k x k k Z         sin 2 3f x x       f x  f x  f x   f x ,06      f x 7,3 12        f x 2T  2 3t x   siny t t x  22 3 2 12 2 kt k x k x k Z                2 3 6 2 kt k x k x k Z            ,06      2 2 2 2 22 3 2 6 12k t k k x k k x k k Z                        2sin 4 6y x      8  4  2    siny A x   2 2T     1 2 4T    sin 2 cos2f x x a x  8x   a  f x  siny A x    - 6 - 因为 关于直线 对称, 思路二:本题还可以利用特殊值法求出 的值,再进行验证即可:因为 关于直线 对称,所以代入一组特殊值: ,再代入验证 ,其一条对称轴为 ,符合题意 答案: 例 9:已知 在 单调递增,求 的取值范围 思 路 : 的 图 像 可 视 为 仅 由 放 缩 得 到 。 , 由 在 单 调 递 增 可 得 : ,即 答案: 例 10:已知函数 在区间 上为增函数,且图像关于点 对称, 则 的取值集合为______________ 思 路 : 的 图 像 可 视 为 的 图 像 横 坐 标 变 为 了 , , 则 ,因为 在 上单调增,所以 ,即 ;另一方面, 的 对 称 轴 为 , 所 以 解 得 , 再 结 合    2 2 2 2 11 sin 2 cos2 1 sin 2 ,tan 1 1 af x a x x a x a a a              f x 8x   32 8 2 4k k                 tan 1a     a  f x 8x    0 sin 14 2f f a a                    sin 2 cos2 2 sin 2 4f x x x x        8x   1a      2sin 0f x x   ,3 4         2sinf x x siny x , ,3 4 3 4x x                  f x ,3 4      , ,3 4 2 2                33 2 2 4 2            30 2  30 2   sin 0y x   0, 2       3 ,0  siny x siny x 1  0, 2x     0, 2x      siny x 0, 2      2 2   0 1  siny x  kx k x k Z      3k   3 k  - 7 - 可得 答案: 三、近年好题精选 1、函数 的最小正周期是 ,若其图象向右平移 个单 位后得到的函数为奇函数,则函数 的图象( ) A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 2、(2015,湖南)将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像,若对满足 的 ,有 ,则 ( ) A. B. C. D. 3、(2016,重庆万州二中)若函数 与函数 在 上的单调性相 同,则 的一个值为( ) A. B. C. D. 4、将函数 的图像向左平移 个单位,得到函数 的 图像,若 在 上为增函数,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 5、(2015,天津)一直函数 ,若函数 在 内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,则 的值为_______ 6、(2014,安徽)若将函数 的图像向右平移 个单位,所得图像关于 0 1  1 2, ,13 3  1 2, ,13 3        sin 0, 2f x x            6   f x ,012      12x  ,06      6x    sin2f x x 0 2        g x    1 2 2f x g x  1 2,x x 1 2 min 3x x     5 12  3  4  6  cos2y x  sin 2y x   0, 4       6  4  3 4  3 2     2sin 03f x x        3    y g x  y g x 0, 4       1 2 3 4    sin cos 0 ,f x x x x R       f x  ,   f x x     sin 2 4f x x       y - 8 - 轴对称,则 的最小正值是__________ 7、(2014,北京)设函数 ( 是常数, )若 在区间 上具有单调性,且 ,则 的最小正周期为 ______ 8、已知 的图像在 上恰有一个对称轴和一 个对称中心,则实数 的取值范围是______ 9、(2014,福建)已知函数 (1)若 ,且 ,求 的值 (2)求函数 的最小正周期及单调递增区间 10、(2016,山东潍坊中学高三期末)已知函数 ( ). (1)求 最小正周期和单调递增区间; (2)求 在区间 上的最大值和最小值.     sinf x A x   , ,A   0, 0A    f x ,6 2       2 2 3 6f f f                     f x     2sin cos sin 0f x x x x       0,1x      1cos sin cos 2f x x x x   0 2   2sin 2   f   f x   2 2cos cos 3f x x x       Rx  f x  f x ,3 6      - 9 - 习题答案: 1、答案:B 解析:由最小正周期可得: ,向右平移 个单位后解析式为 , 即 ,由奇函数可知 ,所以 ,对称轴: , 对称中心: ,即 ,配合选项可 得 B 正确 2、答案:D 解析: ,由 可知 分别取 到 最 大 最 小 值 , 不 妨 设 , 所 以 ,由 可知 3、答案:C 解析:先求出 的单调性, ,解得单调递减区间为: ,即 在 上单调递减。所以 在 单调减, ,所以 ,有 ,可知 C 符合题意 2  6  sin 2 6y x           sin 2 3y x       3     sin 2 3f x x         2 3 2 12 2 kx k k Z x k Z              2 3 6 2 kx k k Z x k Z          ,06 2 k           sin 2 2g x f x x        1 2 2f x g x     1 2,f x g x  1 22 2 ,2 2 2 ,2 2x k x m k m Z           1 2 2x x k m       1 2 min 3x x   2 3 6        cos2y x 0 2 2 2k x k      , ,2k k k Z      cos2y x 0, 4       sin 2y x   0, 4      0, 2 ,4 2x x                 3, 2 , 22 2 2k k                  22 2 23 222 2 k k k k                       - 10 - 4、答案:B 解析:先利用图像变换求出 解析式: , 即 ,其图像可视为 仅仅通过放缩而得到的图像。若 最大,则要求 周期 取最小,由 为增函数可得: 应恰好为 的第一个正的最大值点 5、答案: 解析: ,由 在 内单调递增,且对称轴为 可知 在 达到最大值,所以 ,由 在 单增可知 ,从而解得 6、答案: 解析:平移后的解析式为: ,由对称轴为 可知 ,令 即得到最小正值 7、答案: 解析:由 可得 为一条对称轴,由 可知 为一个对称中心。因为 在区间 单调,所以可知 与 为相邻 的对称轴与对称中心,所以  g x   2sin3 3 3g x f x x                       2sing x x siny x  T 0, 4      4x   g x 24 2       2    2 sin 4f x x       f x  ,  x   f x x   2 2sin 1 24 4 2 k k Z               f x  ,  2 2 2 T       2   3 8   sin 2 sin 2 24 4y x x                0x   2 4 2 8 2 kk k Z              1k  3 8    2 2 3f f           2 72 3 2 12x      2 6f f            03      ,  f x ,6 2       7 12x  03      , 74 12 3T           1 3,2 2f x          min max 1 3,2 2f x f x   - 11 - 8、答案: 解析: 由 可得: ,若恰有一个对称轴和对称中心,则对称轴和 对称中心为 ,所以 9、解析:(1)由 及 可得: (2) 解得: 的单调递增区间为 10、解析:(1) 周期 3 5,8 8         2sin cos sin sin 2 1 cos2 2 sin 2 14f x x x x x x x                  0,1x 2 ,24 4 4x x           0,0 , 2x  3 52 ,2 4 8 8               0, 2      2sin 2  2cos 2      1 2 2 2 1 1cos sin cos +2 2 2 2 2 2f                   1cos sin cos 2f x x x x   2 1cos sin cos 2x x x    1 1 cos2 1 1 2sin2 sin2 cos2 sin 22 2 2 2 2 4 xx x x x            T    2 2 22 4 2k x k k Z          3 8 8k x k        f x 3 , ,8 8k k k Z           2 2cos cos 3f x x x       1 cos 2 31 cos2 1 21 cos2 cos 22 2 2 3 xx x x                       1 1 3 11 cos2 cos2 sin 2 1 cos 22 2 2 2 6x x x x                T  - 12 - 单调递增区间: 所以 单调递增区间: (2) 5 112 2 2 26 12 12k x k k x k                  f x 5 11, ,12 12k k k Z        ,3 6x       2 ,6 2 2x           cos 2 0,16x      

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