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- 2021-06-15 发布
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第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
题型一| 指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质
(1)已知a＝2，b＝log2，c＝log，则将a，b，c按从大到小的顺序排列为________．
(2)当0a>b (2) [(1)由指数函数及对数函数的单调性易知0<2<1，log2log＝1，故c>a>b.
(2)显然04＝2，
∴0)；月需求量为y2万吨，y2＝－x2－x＋1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．
(1)若a＝，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．
[解] (1)若a＝，由y2＞y1，得－x2－x＋1＞x＋2－，
解得－40＜x＜6. 3分
因为1＜x＜14，所以1＜x＜6.
设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)＝ 5分
当1＜x＜6时，g(x)＝x＜g(6)＝. 7分
当6≤x＜14时，g(x)＝x，
则g′(x)＝－(3x2＋4x－224)＝－(x－8)(3x＋28)，
由g′(x)＞0，得x＜8，所以g(x)在[6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，
当x＝8时，g(x)有最大值g(8)＝. 10分
(2)设f(x)＝y1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，
因为a＞0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，
若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6,14)上有零点，
12分
所以即解得0＜a≤.
14分
答：(1)若a＝，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；
(2)若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是. 16分
【名师点评】 1.应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
2．函数有关应用题的常见类型及解题关键
(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图3－2所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
图3－2
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
[解] (1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得
30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝(0＜x＜10). 6分
(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(01，则h(5)＝loga5<1，即a>5.
若0
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