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- 2021-06-15 发布
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河南省中原名校(豫南九校)2018届高三上学期第四次质量考评
(期中)数学(文)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集,集合 ,,则的值为( )
A.0 B.1 C. D.
2.复数的实部与虚部相等,则实数的值为( )
A.0 B. C. D.
3. 若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 如果,那么的最小值为( )
A.4 B. C. 9 D.18
5. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6. 连接双曲线和(其中)的四个顶点的四边形面积为,连接四个焦点的四边形的面积为,则的最小值为( )
A. B.2 C. D.3
7. 已知定义在上的函数,其导函数
的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )
①;
②函数在处取得极小值,在处取得极大值;
③函数在处取得极大值,在处取得极小值;
④函数的最小值为.
A.③ B.①② C.③④ D.④
8. 若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称,则( )
A. B. C. D.
9. 已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,为抛物线上的一点,且满足,则点到的距离为( )
A. B.1 C. D.2
10. 在中,,的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11. 已知,则的最大值为( )
A.1 B. C. 2 D.
12. 已知定义在上的函数为增函数,且,则等于( )
A. B. C. 或 D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.,,,则按此规律可猜想第个不等式为 .
14.如图,长方体的三个面的对角线,,的长分别是1,2,3,则该长方体的外接球的表面积为 .
15.已知点在椭圆上,垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为,并且为线段的中点,则点的轨迹方程是 .
16.已知数列满足,.记,则数列的前项和 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 海中一小岛的周围内有暗礁,海轮由西向东航行至处测得小岛位于北偏东,航行8后,于处测得小岛在北偏东(如图所示).
(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在处改变航向为东偏南()方向航行,求的最小值.
附:
18.如图,四边形是平行四边形,平面平面,,,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
19.在中,满足,是中点.
(1)若,求向量与向量的夹角的余弦值;
(2)若是线段上任意一点,且,求的最小值.
20.设椭圆的右焦点为,右顶点为.已知,其中为原点,为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程及离心率的值;
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点.若,且,求直线的斜率的取值范围.
21. 设函数.若曲线在点处的切线方程为(为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数).
(1)将两曲线化成普通坐标方程;
(2)求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程.
23.选修4-5:不等式选讲
已知关于的不等式.
(1)当时,解不等式;
(2)如果不等式的解集为空集,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BAADD 6-10:BAABA 11、12:CB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1)如图1,过点作直线的垂线,交直线于点.
由已知得,,,
∴.
∴在中,.
又,∴海轮由触礁的危险.
(2)如图2,延长至,使,故.
由(1)得.
∴.
∵,∴.
即,∴.
故海轮应按东偏南15°的方向航行.
18.解:(1)解:(1)证明:取中点,连接.在中,因为是中点,所以且,又因为,,所以且,即四边形是平行四边形,所以.
又平面,平面,
所以,平面.
(2)证明:在中,,由余弦定理可得,进而,即.又因为平面平面,平面,平面平面,所以平面.又因为平面,所以,平面平面.
19.解:(1)设向量与向量的夹角为,
,令,.
(2)∵,∴,
设,则.
而,
所以.
当且仅当时,的最小值是.
20.解:(1)设,∵,∴,
又,∴,,∴,
所以,因此.
所以,椭圆的方程为..
(2)解:设直线的斜率为,则直线的方程为,设,
由方程组,消去,得,
解得,或,由题意得,从而.
由(1)知,,设,有,.
由,得,所以,解得.因此直线的方程为.
设,由方程组,消去,解得,在中,,即,化简得,即,解得,或.
所以,直线的斜率的取值范围为.
21.解:(1)函数的定义域为.
.
依题意得,,即
所以.
所以,.
当时,;当时,.
所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)设函数,故对任意,不等式恒成立.
又,当,即恒成立时,
函数单调递减,设,则,
所以,即,符合题意;
当时,恒成立,此时函数单调递增.
于是,不等式对任意恒成立,不符合题意;
当时,设,
则;
当时,,此时单调递增,
所以,
故当时,函数单调递增.
于是当时,成立,不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为:.
22.解:(1)由题知,曲线:的直角坐标方程为:①,
圆心为,半径为1;
曲线:(为参数)的直角坐标方程为②,
(2)由①-②得,,此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.
圆心到直线的距离,
故两曲线的公共弦长为.
23.解:(1)原不等式.
当时,原不等式化为,解得,∴
当时,原不等式化为,∴.
当时,原不等式化为,解得,∴.
综上,原不等式解集为.
(2)解法一:作出与的图象.
若使解集为空集,
只须的图象在的图象的上方,或与重合,
∴,所以的范围为.
解法二:,
当时,,
当时,,
当时,,
综上,原问题等价于,∴.
解法三:∵,当且仅当时,上式取等号,∴.