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  • 2021-06-15 发布

数学文卷·2018届河南省中原名校(豫南九校)高三上学期第四次质量考评(期中)(2017

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河南省中原名校(豫南九校)2018届高三上学期第四次质量考评 ‎(期中)数学(文)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集,集合 ,,则的值为( )‎ A.0 B.1 C. D.‎ ‎2.复数的实部与虚部相等,则实数的值为( )‎ A.0 B. C. D.‎ ‎3. 若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 如果,那么的最小值为( )‎ A.4 B. C. 9 D.18‎ ‎5. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 连接双曲线和(其中)的四个顶点的四边形面积为,连接四个焦点的四边形的面积为,则的最小值为( )‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎7. 已知定义在上的函数,其导函数 的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )‎ ‎①;‎ ‎②函数在处取得极小值,在处取得极大值;‎ ‎③函数在处取得极大值,在处取得极小值;‎ ‎④函数的最小值为.‎ A.③ B.①② C.③④ D.④‎ ‎8. 若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,为抛物线上的一点,且满足,则点到的距离为( )‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎10. 在中,,的最大值是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎11. 已知,则的最大值为( )‎ A.1 B. C. 2 D.‎ ‎12. 已知定义在上的函数为增函数,且,则等于( )‎ A. B. C. 或 D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.,,,则按此规律可猜想第个不等式为 .‎ ‎14.如图,长方体的三个面的对角线,,的长分别是1,2,3,则该长方体的外接球的表面积为 .‎ ‎ ‎ ‎15.已知点在椭圆上,垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为,并且为线段的中点,则点的轨迹方程是 .‎ ‎16.已知数列满足,.记,则数列的前项和 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 海中一小岛的周围内有暗礁,海轮由西向东航行至处测得小岛位于北偏东,航行8后,于处测得小岛在北偏东(如图所示).‎ ‎(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.‎ ‎(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在处改变航向为东偏南()方向航行,求的最小值.‎ 附:‎ ‎18.如图,四边形是平行四边形,平面平面,,,为的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面平面. ‎ ‎19.在中,满足,是中点.‎ ‎(1)若,求向量与向量的夹角的余弦值;‎ ‎(2)若是线段上任意一点,且,求的最小值.‎ ‎20.设椭圆的右焦点为,右顶点为.已知,其中为原点,为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程及离心率的值;‎ ‎(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点.若,且,求直线的斜率的取值范围. ‎ ‎21. 设函数.若曲线在点处的切线方程为(为自然对数的底数).‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数).‎ ‎(1)将两曲线化成普通坐标方程;‎ ‎(2)求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知关于的不等式.‎ ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)如果不等式的解集为空集,求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BAADD 6-10:BAABA 11、12:CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)如图1,过点作直线的垂线,交直线于点.‎ 由已知得,,,‎ ‎∴.‎ ‎∴在中,.‎ 又,∴海轮由触礁的危险.‎ ‎(2)如图2,延长至,使,故.‎ 由(1)得.‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴.‎ 即,∴.‎ 故海轮应按东偏南15°的方向航行.‎ ‎18.解:(1)解:(1)证明:取中点,连接.在中,因为是中点,所以且,又因为,,所以且,即四边形是平行四边形,所以.‎ 又平面,平面,‎ 所以,平面. ‎ ‎(2)证明:在中,,由余弦定理可得,进而,即.又因为平面平面,平面,平面平面,所以平面.又因为平面,所以,平面平面.‎ ‎19.解:(1)设向量与向量的夹角为,‎ ‎,令,.‎ ‎(2)∵,∴,‎ 设,则.‎ 而,‎ 所以.‎ 当且仅当时,的最小值是.‎ ‎20.解:(1)设,∵,∴,‎ 又,∴,,∴,‎ 所以,因此.‎ 所以,椭圆的方程为..‎ ‎(2)解:设直线的斜率为,则直线的方程为,设,‎ 由方程组,消去,得,‎ 解得,或,由题意得,从而.‎ 由(1)知,,设,有,.‎ 由,得,所以,解得.因此直线的方程为.‎ 设,由方程组,消去,解得,在中,,即,化简得,即,解得,或.‎ 所以,直线的斜率的取值范围为.‎ ‎21.解:(1)函数的定义域为.‎ ‎.‎ 依题意得,,即 所以.‎ 所以,.‎ 当时,;当时,.‎ 所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.‎ ‎(2)设函数,故对任意,不等式恒成立.‎ 又,当,即恒成立时,‎ 函数单调递减,设,则,‎ 所以,即,符合题意;‎ 当时,恒成立,此时函数单调递增.‎ 于是,不等式对任意恒成立,不符合题意;‎ 当时,设,‎ 则;‎ 当时,,此时单调递增,‎ 所以,‎ 故当时,函数单调递增.‎ 于是当时,成立,不符合题意;‎ 综上所述,实数的取值范围为:.‎ ‎22.解:(1)由题知,曲线:的直角坐标方程为:①,‎ 圆心为,半径为1;‎ 曲线:(为参数)的直角坐标方程为②,‎ ‎(2)由①-②得,,此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.‎ 圆心到直线的距离,‎ 故两曲线的公共弦长为.‎ ‎23.解:(1)原不等式.‎ 当时,原不等式化为,解得,∴‎ 当时,原不等式化为,∴.‎ 当时,原不等式化为,解得,∴.‎ 综上,原不等式解集为.‎ ‎(2)解法一:作出与的图象.‎ 若使解集为空集,‎ 只须的图象在的图象的上方,或与重合,‎ ‎∴,所以的范围为.‎ 解法二:,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 综上,原问题等价于,∴.‎ 解法三:∵,当且仅当时,上式取等号,∴.‎

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