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  • 2021-06-15 发布

山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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祁县二中 2019-2020 学年第一学期期中考试试题 高一数学 一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集为 R ,集合  2 3A x x x  = 或 ,  2,0,2 4B   , ,则 ( )RC A B  ( ) A. { }2,0,2- B.  2,2,4 C.  2,0,3 D.  0,2,4 【答案】A 【解析】 集合  2 3A x x x  = 或 ,  2,0,2 4B   , ,      | 2 3 ,  2,0,2R RC A x x C A B       . 故选 A. 2.函数     1lg 10 1 f x x x     的定义域是( ) A. R B.  1,10 C.  1,10 D.    , 1 1,10   【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数的真数大于零,被开方数不小于零,分母不为零列不等式组,解不等式组即可. 【详解】解:由已知得 10 0 1 0 x x      ,解得1 10x  , 函数     1lg 10 1 f x x x     的定义域是 1,10 , 故选:C. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,关注常见的限制条件,如真数大于零,被开方数 不小于零,分母不为零等,是基础题. 3.已知幂函数 ( )y f x 的图象过点 3,3 3( ),则 3log (3)f 的值为 A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意,设幂函数   ( )f x x R   ,根据题设条件,求得 3 2   ,即   3 2f x x ,代入即 可求解答案. 【详解】由题意,设幂函数   ( )f x x R   , 又由幂函数 ( )y f x 的图象过点 3,3 3( ),则3 3 3 ,解得 3 2   ,即   3 2f x x 所以 3 2 3 3 3log (3) log 3 2f   ,故选 C. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式及其对数的应用,其中解答中根据幂函数的定义, 求得幂函数的解析式,再利用对数的运算计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力, 属于基础题. 4.下列函数中,既是偶函数又在区间 ( ,0) 上单调递增的是( ) A. 2 1( )f x x  B. 2( ) 1f x x  C. 3( )f x x D. ( ) 2 xf x  【答案】A 【解析】 试题分析: A 中 2 1( )f x x  是偶函数,且在 ( ,0) 上是增函数,故 A 满足题意;B 中 2( ) 1f x x  是偶函数,但在 ( ,0) 上是减函数;C 中 3( )f x x 是奇函数;D 中 ( ) 2 xf x  是非奇非偶函数.故 , ,B C D 都不满足题意,故选 A. 考点:1、函数的奇偶性;2、单调性. 5.已知函数 2 2 , 2( ) log ( 1), 2 x xf x x x      ,则 ( (5))f f 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 由函数 2 2 , 2( ) log ( 1), 2 x xf x x x      ,可得   2 25 log (5 1) log 4 2f     , 所以 2( (5)) (2) 2 4f f f   ,故选 D. 6.已知    3 1 0f x ax bx ab    ,若  2018f k ,则  2018f  等于( ) A. k B. k C. 1 k D. 2 k 【答案】D 【解析】 【分析】 利用     2f x f x   可求  2018f  的值. 【详解】因为   3 1f x ax bx     ,所以     2f x f x   , 所以    2018 2018 2f f   即  2018 2f k   ,选 D. 【点睛】一般地,如果    f x g x m  ,其中  g x 为奇函数,那么  f x 的图像关于 0,m 对称,且     2f x f x m   . 7.要使   13xg x t  的图象不经过第二象限,则t 的取值范围为( ) A. 1t   B. 1t   C. 3t £ - D. 3t   【答案】C 【解析】 【分析】 函数   13xg x t  是由指数函数 3xy  平移而来的,根据条件作出其图象,由图象来解. 【详解】解:指数函数 3xy  过定点 (0,1) , 函数   13xg x t  过定点 (0,3 )t 且为增函数,要使   13xg x t  的图象不经过第二象 限, 只须函数   13xg x t  与 y 轴的交点的纵坐标小于等于 0 即可, 如图所示, 即图象不过第二象限,则3 0t  3t   , 则 t 的取值范围为: 3t £ - . 故选:C. 【点睛】本小题主要考查指数函数的图象变换、函数图象的应用、不等式的解法等基础知识, 考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 8.设 1 3 2 1 2 1 12 , log , log3 3a b c     ,则( ) A. a b c  B. a c b  C. b a c  D. b c a  【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 1 2 2 1log log 33c   , 函 数 2logy x 在 ( )0,+¥ 上 单 调 递 增 , 故 2 1 2 1 1log log3 3b c   , 又 1 3 1 2 2 1 1log log 3 1, 2 , 0 1,3 3 c a a a c           , 而 2 1log 03b   .综上知b a c  考点:指数函数,对数函数的性质 9.函数 2( ) (4 1) 2f x x a x    ,在 -1,2 上不单调,则实数 a 的取值范围是( ) A. 1( , )4   B. 1 5- 4 4 ( ,) C. 1 5- 4 4      , D. 5( , )4  【答案】B 【解析】 【分析】 根二次函数的图象与性质,可得其对称轴的方程为 4 1 2 ax  ,要使得函数  f x 在区间  1,2 上不是单调函数,只需 4 11 22 a    ,即可求解. 【详解】由题意,二次函数 2( ) (4 1) 2f x x a x    的开口向上,对称轴的方程为 4 1 2 ax  , 又因为函数  f x 在区间 1,2 上不是单调函数,所以 4 11 22 a    ,解得 1 5 4 4a   , 即实数 a 的取值范围是 1 5( , )4 4  ,故选 B. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记二次函数的图象与 性质,合理列出不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能,以及分析问题和解答问题 的能力,属于基础题. 10.已知函数 2 2( ) log 2 xf x x   ,则函数 ( )f x 的图象( ) A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于直线 y x 对称 D. 关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据 f(-x)=-f(x),可得 f(x)为奇函数,故 f(x)的图象关于原点对称. 【详解】∵   2 2log 2 xf x x   ,∴   2 2log 2 xf x x    =- 2 2log 2 x x   =-f(x), ∴f(x)为奇函数,故 f(x)的图象关于原点对称, 故选:D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于 y 轴对称. 11.函数 y=loga(-x)(a>0 且 a≠1)与函数 y=ax(a>0 且 a≠1)在同一坐标系内的图象可 能是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像形状可以区分出指数函数与对数函数的类型,结合 a 对函数的影响可以求得. 【详解】当 1a  时, xy a 和 logay x 均为增函数,而 log ( )ay x  的图像和 logay x 的 图像关于 y 轴对称,结合选项可得 A. 【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数图像的识别.底数 a 的值对函数的单调性起决定作 用,应该从 a 进行分析. 12.若函数  f x 为偶函数,且在  0,  上是减函数,又  3 0f  ,则     0f x f x x    的 解集为( ) A.  3,3 B.    , 3 3,   C.    3,0 3,   D.    , 3 0,3   【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象,利用函数的奇偶性将不等式进行化简,然后 利用函数的单调性确定不等式的解集. 【详解】解:由题意画出符合条件的函数图象: ∵函数  y f x 为偶函数, ∴     0f x f x x    转化为 ( ) 0xf x  , 由图得, 当 0x  时, ( ) 0f x  ,则 3x  ; 当 0x  时, ( ) 0f x  ,则 3 0x   ; 综上得,     0f x f x x    的解集是: ( 3,0) (3, )   , 故选:C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用数形结合的思想是解决本题的关键. 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 0a  且 1a  ,则函数 2 4( ) 3xf x a   的图象恒过定点______. 【答案】  2,4 【解析】 【分析】 先根据指数部分为零求解出 x 的值,再根据 x 的值即可计算出对应的  f x 的值,则图象恒过 的定点为   ,x f x . 【详解】令 2 4 0x   ,得 2x  , 0(2) 3 4f a    , 函数 2 4( ) 3xf x a   的图象恒过定点 2,4 . 故答案为: 2,4 . 【点睛】对于形如  0bx cy a d b   , 0a  且 1a  的指数型函数,其恒过的定点的求解 方法: 先令 0bx c  ,计算出 x 的值即为定点的横坐标,再根据 x 的值计算出  f x 的值即为纵坐 标,所以恒过的定点为   ,x f x . 14.已知幂函数 2( ) ( 1) mf x m m x   在 (0, )x  上单调递减,则实数 m  . 【答案】 1 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 2( ) ( 1) mf x m m x   为 幂 函 数 , 故 2 21 1 2 0 2m m m m m         或 1m   ,而函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减,故 0m  ,所以 1m   . 考点:幂函数的图像与性质. 15.已知  3log log ln 0n x    ,则满足条件的 x 的值是__________. 【答案】 3e 【解析】 【分析】 利用式子 log 1 0,log 1a a a  等计算即可. 【详解】解:  3log log ln 0n x    ,  3log ln 1x  , ln 3x  , 3x e  , 故答案为: 3e . 【点睛】本题考查解简单的对数方程,充分利用 log 1 0,log 1a a a  进行计算,是基础题. 16.若函数     , 0 3 4 , 0 xa xf x a x a x       满足      1 2 1 2 0f x f x x x     对定义域中的任 意两个不相等的 1 2,x x 都成立,则 a 的取值范围是____________. 【答案】 10, 4     【解析】 【分析】 首先根据条件判断函数是单调递减函数,那么分段函数在每段都是单调递减函数,并且分界 点处需满足  0 3 0 4a a a    ,列不等式组求解 a 的范围. 【详解】设 1 2x x      1 2 1 2 0f x f x x x     ,    1 2f x f x  ,  f x 是定义域内的单调递减函数, 则分段函数在每段都是单调递减函数,并且分界点处需满足  0 3 0 4a a a    ,  0 0 1 3 0 4 a a a a        ,解得: 10 4a  , 故答案为: 10, 4     【点睛】本题考查根据分段函数的单调性,求参数的取值范围,属于基础题型,除了每段函 数的单调性和函数的单调性一致,还需保证分界点处的不等式,不要漏掉. 三、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分) 17.计算: (1)   1 1 2 30 61 32 3.8 3 124 2               ; (2) 3 4 1lg 2 lg 3lg5 log 2 log 94     . 【答案】(1) 1 2  ;(2)2 【解析】 【分析】 (1)利用指数幂的运算性质计算即可; (2)利用对数的运算性质计算即可. 【详解】解:(1)   1 1 2 30 6 31 3 9 3 3 12 3.8 3 12 1 3 12 1 34 2 4 2 2 2                         ; (2) 3 4 1lg 2 lg 3lg5 log 2 log 94     3 2lg 2 2lg 2 3lg5 log 2 log 3      53 lg2 lg 1  2 . 【点睛】本题考查指数对数的运算性质,特别是对数的计算,公式 log log 1,log log na n a b ab a b b   的灵活使用是关键,是基础题. 18.已知集合      |1 7 , | 2 10 , |A x x B x x C x x a        ,全集为实数集 R . (1)求  , RA B C A B  ,; (2)如果 A C  ,求 a 的取值范围. 【答案】(1) 1 10x x , | 7 10x x  ;(2) 1a  . 【解析】 试题分析:(1)根据集合的交集和并集、补集的运算,即可求解  , RA B C A B  ;(2)由 A C  ,画出数轴,即可运算得到 a 的取值范围. 试题解析:(1)  1 10A B x x   ,2 分        | 1 7 | 2 10 | 7 10RC A B x x x x x x x         或 .5 分 (2)当 1a  时满足 A C   .10 分 考点:集合的运算. 19.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=-x2+2x+2. (1)求 f(x)的解析式; (2)画出 f(x)的图像,并指出 f(x)的单调区间. 【答案】(1) 见解析; (2)增区间为[-1,0)及(0,1],减区间为(-∞,-1]及[1,+∞) 【解析】 【分析】 (1)只需先求出 x≤0 时的表达式.由奇函数的性质可得 f(﹣0)=﹣f(0),可求得 f(0); 当 x<0 时,﹣x>0,利用已知表达式可求得 f(﹣x),根据奇函数性质可得 f(x)=﹣f(﹣ x),由此可求得 f(x);(2)根据二次函数的图像的性质可分段求出单调区间; 【详解】(1)设 x<0,则-x>0. ∴f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2. 又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x2+2x-2. 又 f(0)=0,∴f(x)= (2)先画出 y=f(x)(x>0)的图像,利用奇函数的对称性可得到相应 y=f(x)(x<0)的图像,其 图像如图所示. 由图可知,其增区间为[-1,0)及(0,1], 减区间为(-∞,-1]及[1,+∞) 【点睛】本题考查利用奇偶性求分段函数的解析式,考查二次函数的单调性,考查分类讨论 思想.求解析式时,一般是求谁设谁,再通过奇偶性将设的自变量的范围转化到已知表达式 的一段上的自变量的范围,直接代入解析式,最终通过奇偶性得到结果即可. 20.某公司试销一种成本单价为 500 元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不 高于 800 元,经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单价 x(元)可近似看成一次函数 y kx b  (如图). (1)根据图象,求一次函数 y kx b  的表达式; (2)设公司获得的利润(利润=销售总价-成本总价)为T 元。试用销售单价 x 表示利润T , 并求销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润,最大利润是多少?此时的销售量是多少? 【答案】(1)  1000 500 800y x x     ;(2)当销售单价为 750 元时,可获得最大利润, 为 62500 元,此时销售量为 250 件. 【解析】 【分析】 (1)因为 y kx b  ,由图象可知,当 x=600 时,y=400;当 x=700 时,y=300,代入一次 函数表达式,列方程组求出 a、b; (2)由销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,求出毛利 润的函数关系式,利用配方法,即可求得最大值. 【详解】解:(1)由已知,点 600,400 , 700,300 在图象上,代入 y kx b  得 600 400 700 300 k b k b      ,解得 1 1000 k b     , ∴  1000 500 800y x x     . (2)由已知,    500 1000 500 1000T xy y x x x           22 1500 500000 750 62500 500 800x x x x          , ∴当销售单价为 750 元时,可获得最大利润,为 62500 元,此时销售量为 250 件. 【点睛】本题主要考查运用二次函数解决实际问题,考查配方法的运用,属于中档题. 21.设函数 f(x)=loga(1+ 1 2 x),g(x)=loga(1- 1 2 x),(a>0 且 a≠1),若 h(x)=f(x)-g(x). (1)求函数 h(x)的定义域; (2)判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 f(2)=1,求使 h(x)>0 成立的 x 的集合. 【答案】(1)(-2,2) (2) h(x)为奇函数 (3)  / 0 2x x  【解析】 【分析】 (1)根据函数定义域的定义,列出使得  h x 有意义的条件,即可求解函数的定义域; (2)根据函数的奇偶性性的定义,即可作出证明,得到函数  h x 的奇偶性; (3)由  2 1f  ,求得 2a  ,得到函数  h x 的解析式,再由   0h x  ,得到不等式 1 11 12 2x x   ,即可求得不等式的解集. 【详解】(1)由 1+ 1 2 x>0 且 1- x>0 得-20 得:1+ 1 2 x>1- 1 2 x,所以 x>0 又由(1)知 -2